Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Принятие оптимальных решений в перевозках на морском транспорте. Учебное пособие
.pdf
Для того чтобы функция Z(х) была непрерывна при х = х0 или непре-
Z
Z
Z
Z
Z
рывна в точке х0, должен быть выполнен ряд требований:
1) Функция Z(х) должна быть определена в какой-нибудь окрестно-
сти точки х0, т.е. для любой точки х, определенной на данном множестве
х Х, найдется значение Z(х).
2) Предел приращения функции Z(х) стремится к нулю, когда х про-
извольно стремится к х
,
lim
0
x
()()
xxZx
= 0. Иными словами,
0
00
функция является непрерывной в данной точке, если в этой точке бесконечно малому приращению независимой переменной величины соответствует бесконечно малое приращение функции. Этот предел должен совпадать со значением функции в точке х
.
0
3) Следует также иметь в виду, что функция, непрерывная в каждой
точке интервала, будет непрерывна в этом интервале.
При значении независимой переменной х = х
= x
1
или х = х
opt1
= x
2
opt2
функция Z(х) (рис. 3.1) будет иметь минимальное или максимальное значение, если в некоторой весьма малой окрестности точки х1 или х2 выполняется неравенство Z(х1) < Z(х) при х ≠ х1 или Z(х2) > Z(х) при х ≠ х2 соответственно. Минимум или максимум функции называют экстремумом, а значения переменной х, при которых функция достигает экстремума, называют точками экстремума функции, точками максимума или минимума
функции.
Предположим, функция Z(х), определенная на неком отрезке [a, b],
имеет экстремум в точке х
[a, b] и х
0
– внутренняя точка отрезка, тогда
0
разность Z(х) – Z(х0) при (х ≠ х0) сохраняет постоянный знак в некой двухсторонней окрестности х0 – < х
0
+
точки х0. Такой экстремум называет-
ся двухсторонним.
Если х0 является точкой минимума функции, то Z(х0 – Δх
) > Z(х0)
0
при Δх0 ≠ 0 будет достаточно малым по своей абсолютной величине. Отсюда
)()(
xZxxZ
00
x
0
> 0, если Δх0 > 0 и
x
0
)()(
xZxxZ
00
< 0, если Δх
< 0.
0
При Δх0 → 0, переходя к пределу в этих неравенствах, для производной в точке х0, равной
)()(
xZxxZ
00
,
(х
) ≤ 0, если
0
соответственно имеем
(x
(х
lim
) =
0
x
0
) ≥ 0, если Δх0 > 0, и
0
x
0
Δх0 < 0. Значение производной не зависит от способа Δх0 → 0, поэтому
(х) = 0.
41
Z
Z(х) Z(х)
Z(х) → max
х2 = x
opt2
х
х
0
Z(х) → min
= x
1
opt1
х
0
Рис. 3.1. Одномерная оптимизация целевой функции
Точка х
= x
0
будет называться точкой локального минимума целе-
opt1
вой функции Z(х), если существует число ε > 0 такое, что Z(х0) > Z(х) для
всех х, когда х принадлежит окрестности ε. Здесь ε – малая положительная
величина. Точка х
целевой функции Z(х), если существует число ε > 0 такое, что Z(х
= x
0
будет называться точкой локального максимума
opt2
) < Z(х)
0
для всех х, когда х принадлежит окрестности ε.
Соответственно, при изменениях значений х вокруг точки х0 значения функции Z(х) переходят от больших к большим или от меньших к
меньшим значениям. Таким образом в точке х = х0 бесконечно малое приращение аргумента Δх дает нулевое значение целевой функции Z(х) = 0.
Таким образом, если оптимизируемая целевая функция Z(х) и неза-
висимая переменная х, по которой оптимизируется целевая функция, не
имеют никаких ограничений, то оптимизирующее значение переменной
х = х0 = х
находят вычислением первой производной целевой функции.
opt
Вычисленная производная приравнивается к нулю, и полученное уравнение решается относительно независимой переменной величины х:
dZ
=
dx
,
dZ
= 0 или
dx
dx
PAxdZ ),,(
= 0,
(3.1)
где А – нормативы, использованные при разработке целевой функции;
Р – параметры, исследуемого объекта.
Решение уравнения (3.1) позволяет найти оптимизирующее значение
х
. Поясним одномерную одноцелевую оптимизацию несколькими при-
opt
мерами.
Задача 3.1.1. Крейсерская скорость судна.
Исходные данные. Грузовое транспортное судно водоизмещением
D = 10 000 т, оборудованное судовой электростанцией мощностью
N = 5000 кВт, совершает рейс протяженностью r = 10 000 миль. Удельный
расход топлива главным двигателем составляет kd = 0,18 кг/л.с.·ч, удель-
42
ный расход топлива дизель-генераторами электростанции kg = 0,17 кг/кВт·ч,
адмиралтейский коэффициент судна С = 150.
Требуется определить крейсерскую скорость судна v
, которая
opt
представляет собой скорость при минимальном расходе топлива.
Решение. Показатель эффективности, или целевая функция, будет
представлять собой математическую модель потребления топлива Рт на
судне, которое расходуется главным двигателем Рd и двигателями судовой
электростанции Pg в течение рейса, т.е. Р
= Рd + P
т
. Массу топлива Рd, рас-
g
ходуемого главным двигателем, можно описать через его мощность, ис-
2
3
3
vD
пользуя формулу адмиралтейского коэффициента
, удельный рас-
C
r
ход топлива kd и время работы
. Масса топлива P
, потребляемого судо-
g
v
вой электростанцией, зависит от ее мощности N, удельного расхода топлива двигателями электростанции kg, а также от времени ее работы.
2
3
kvDr
Рт = Рd + Pg =
3 2 0,667
v
Р
0,18 10 10000 10000
т
d
3
Cv v
150
krN
g
0,17 10 10000 5000
→ min,
3
+
v
(3.2)
.
Далее вычисляется производная целевой функции (3.2):
3 0,667
dР
т
= –
0,18 10 10000 10000
2
dv
150
v
0,17 10 10000 5000
–
3
2
v
и полученное выражение приравнивается к нулю. Для решения полученного уравнения использован прикладной пакет MathCad и его вычислительный блок Given/Find.
Given v:= 1
3 0,667
0,18 10 10000 10000
2
150
v
0,17 10 10000 5000
–
3
2
v
= 0.
Find(v) = 9,129
Решение уравнения дает оптимальное значение скорости судна
v ≈ 9,13 узла, при котором расход топлива в рейсе будет минимальным.
Графическое решение задачи представлено на рис. 3.2.
43
B
В
v
opt
Рис. 3.2. Графический расчет крейсерской скорости
Задача 3.1.2. Раскрой материала.
Исходные данные. На судне имеется кусок брезента в форме равно-
бедренного треугольника с углом α = π/6 у основания шириной В = 5 м.
Требуется для изготовления обвеса на леерное ограждение вырезать
из имеющегося брезента прямоугольник шириной b и высотой h так, чтобы
его площадь была максимальной.
Решение. Целевая функция будет представлять собой площадь пря-
моугольника с высотой h и шириной b:
S = b · h → mах. (3.3)
Чтобы перейти к одной переменной, нужно предварительно установить зависимость между переменными b и h. Ее несложно определить выражением
h =
tg
b
.
(3.4)
2
Подставим (3.4) в (3.3) и получим выражение целевой функции S с
одной переменной b:
tg
bBb
S =
tg
=
2
b В b
2
2
→ mах.
Для аналитического решения задачи вычислим первую производную
целевой функции Z = S(b):
dS
tg 2
db
b
,
2
полученное выражение приравниваем к нулю, далее оно решается с помощью прикладного пакета MathCad и его вычислительного блока Given/Find.
44
α:= π/6 В:= 5
Given b:= 1
tg В 2b
6
= 0.
2
Find(b) = 2,5.
Геометрическое решение задачи определения максимальной площади полотнища представлено на рис. 3.3.
2
Sb()
1
0
012345
b
opt
b
b
Рис. 3.3. Графический расчет площади полотнища
Аналитическое решение полученного уравнения с указанными в исходных данных величинами дает оптимизирующее значение ширины прямоугольника b = 2,5 м, соответственно, его высота будет h = 0,722 м, а оптимальная площадь составит S = 1,805 м
2
.
Задача 3.1.3. Планирование маршрута.
Исходные данные. Планируется перевозка груза из порта А в порт В.
Получена сводка погоды, из которой явствует, что на переходе между портами судну придется идти вначале по полосе тихой погоды, где возможна
скорость v1 = 12,0 узлов, а затем нужно пересекать полосу штормовой погоды, где скорость упадет до v2 = 5,0 узлов.
Требуется проложить маршрут судна через район тихой и район
штормовой погоды при минимальной затрате времени на переход.
Решение. Целевая функция, представляющая собой время перехода,
будет описывать время перехода по полосе штилевой погоды, а затем после точки поворота – по полосе штормовой погоды. Если взять за переменную величину x положение точки поворота, считая ширину штилевой погоды b1, миль, штормовой – b2, миль, а их протяженность L, миль, то целевая функция Z(x) будет иметь вид
45
2
2
2
bx
1
Z(x) =
v
1
Вычисленную первую производную от целевой функции при b
2
bxL
)(
2
→ min.
v
2
=
1
= 500 миль, b2 = 300 миль и L = 4000 миль нужно приравнять к нулю, далее
полученное выражение решается с помошью прикладного пакета MathCad
и его вычислительного блока Given/Find.
b
:= 500 b2:= 300 L:= 4000 v1:= 12,0 v2:= 5,0
1
Given х:= 1
11
х ( 8000 2х)0
12 (250000 х ) 10 (16090000 8000хх)
11
22
22
Find(х) = 3864.
Решение уравнения дает положение точки поворота с полосы тихой
погоды на полосу штормовой погоды,
х = 3864 мили, которая обеспечивает
минимальное время прихода в порт назначения.
Задача 3.1.4. Изготовление оснастки.
Исходные данные. На грузовом терминале имеется стальной лист
шириной a = 1,8 м и длиной b = 6,0 м, из которого планируется изготовить
открытый контейнер прямоугольной формы для использования в качестве
грузоподъемной оснастки.
Требуется определить высоту, ширину и длину контейнера так, что-
бы его объем
3
V, м
, был максимальным.
Решение. Целевая функция будет представлять собой объем контей-
нера прямоугольной формы
V = (а – 2х) · (b – 2х) · х → mах,
где х – высота контейнера, м.
Вычисление производной целевой функции дает выражение, которое
нужно приравнять к нулю:
d
v( x) ( 2) (6 2 x) x 2 (1, 8 2 x) x (1, 8 2 x) ( 6 2 x)
.
dx
Полученное уравнение решается с помощью прикладного пакета
MathCad и его вычислительного блока Given/Find.
a:= 1,8 b:= 6,0 Given х:= 1
46
–2х(6 – 2х) – 2х(1,8 – 2х) + (1,8 – 2х)(6 – 2х) = 0.
Find(х) = 0,411.
Решение уравнения при величинах, указанных в исходных данных,
дает оптимизирующее значение высоты контейнера
х ≈ 0,41 м, и, соответ-
ственно, максимальный объем контейнера составит приблизительно
2,08 м
3
.
3.2. Многоэкстремальность и область оптимальных решений
Все дифференцируемые целевые функции, которые практически используются при одномерной оптимизации, являются, как правило, одноэкстремальными или унимодальными. Для них методы отыскания глобального экстремума разработаны применительно ко всем основным классам функций и прежде всего для выпуклых функций.
Однако встречаются мультимодальные целевые функции, т.е. имеющие несколько экстремальных значений. Например, на рис. 3.4 графически
представлена бимодальная функция с двумя минимумами. Точка х
opt2
называется точкой локального минимума, а само значение функции в этой точке – локальным минимумом функции Z(x). Геометрический смысл локального минимума в том, что точка Z(х
Однако при этом могут существовать точки (на рис. 3.4 это точка х
которых значение Z(x) будет меньше Z(х
) будет ниже любой соседней точки.
opt2
).
opt2
opt1
), в
Глобальный экстремум функции представляет собой ее экстремальное значение, для которого во всём определенном диапазоне значений
функции выполняется условие Z
≤ f(x) или Z
ext
≥ f(x). Аналитическое ре-
ext
шение задачи оптимизации у таких целевых функций осложняется, т.к.
требуется вспомогательный алгоритм для оценки значений целевой функции в точках экстремума.
Действительная функция Z(x), определенная при х = а, имеет в точке
а локальный максимум или минимум Z(а), если существует такое положи-
тельное число δ, что при всех ∆х = х – а, для которых выполняется неравенство 0 <│∆х│< δ, существует значение Z(а + ∆х). Соответственно, существует тождество
∆Z ≡ Z(а + ∆х) – Z(а) < 0
или ∆Z ≡ Z(а + ∆х) – Z(а) > 0.
У функции с несколькими (на рис. 3.4 – с двумя) экстремумами с
минимизированными критериями при небольшой разнице значений Z1 и Z
2
появляется проблема достоверности решения, которая специфична для оптимизации таких функций. Эта проблема в основном определяется адек-
47
ватностью математической модели объекту исследования и качеством раз-
Z
Z
работанной целевой функции. Здесь в качестве оптимального значения целевой функции можно использовать некое усредненное значение минимальных значений, например, возможно использование средней арифметической величины Z
= (Z1 + Z2)/2.
ср
В случае такого подхода к решению точность теряет свое значение и
нужно говорить о диапазоне или области оптимальных решений в зависимости от заданной допустимой разницы ∆Z = Z
2
– Z
. Если такая погреш-
1
ность расчета задается ∆Z ≤ ε, то определяется диапазон (область) оптимальных решений, как указано на рис. 3.4.
Глобальный
(основной) экстремум
Локальный экстремум
Z
Z
Z
0 х
cp
1
2
х
opt1
Диапазон (область) оптимальных решений
opt2
х
Рис. 3.4. Целевая функция с двумя экстремумами
Отыскание глобального решения конечномерных задач оптимизации
основывается на теореме К. Веершрасса (1815–1897). Пусть Х – замкнутое
и ограниченное множество в Rn, а Z(x) – непрерывная функция на Х. Тогда
функция Z достигает на множестве Х своей верхней и нижней грани, т.е.
глобальное решение задачи оптимизации Z(x) → inf существует.
Из теоремы вытекает следствие. Если функция Z(x) непрерывна на R
и
lim ( )
x
= +∞, то Z(x) достигает своего наименьшего значения на любом
x
замкнутом действительном множестве R
n
.
n
3.3. Многомерная аналитическая оптимизация без ограничений
Одномерные задачи оптимизации, в которых целевая функция зависит от одной переменной величины, встречаются довольно редко. Чаще
приходится иметь дело с задачами, в которых целевая функция зависит от
нескольких переменных. Соответственно, решение таких задач связано с
многомерной оптимизацией. Хотя это обстоятельство накладывает опреде-
48
ленные сложности при разработке и принятии управленческих решений,
многие многомерные задачи оптимизации удается решать аналитически
[10, 21].
Решение многомерных задач оптимизации становится возможным и
достаточным, если целевая функция Z(Х), где Х = (х
, х2, …, х
1
), дифферен-
m
цируема по всем переменным вектора Х, а система уравнений и неравенств
имеет однозначное решение. Достаточным условием дифференцируемости
функции является ее непрерывность и определенность в окрестностях точки, в которой дифференцируется функция. Естественно, что три требования к функции, изложенные в подразделе 3.1, должны удовлетворяться по
всем переменным Х, от которых зависит целевая функция.
В случае многомерной задачи, т.е. имеющей несколько переменных,
когда целевая функция не имеет ограничений, общее решение сводится к
тому, что решают систему m уравнений, где m – количество оптимизирующих переменных вектора Х(х
, х2, …, хm).
1
Система уравнений представляет собой приравненные к нулю частные производные целевой функции Z(Х) по каждой переменной х
()
ZX
x
1
0,
:
m
()
ZX
0,
x
2
(3.5)
...
()
ZX
0.
x
m
В системе уравнений (3.5) из частных производных количество переменных, m = 1, 2, …, m, равно количеству уравнений, что позволяет
найти ее решение и вычислить значения оптимизирующих переменных.
Решение задач оптимизации этого класса приведено ниже на примере размещения груза в складе.
Задача 3.3.1. Размещение двух видов груза в складе.
Исходные данные. Стивидорская компания намерена временно разместить в крытом складе груз вида А и вида В. Каждые сутки за 1000 м
3
объема склада, используемого под груз вида А и В, нужно будет заплатить
соответственно 3 тыс. р. и 1 тыс. р. При размещении груза вида А дается
скидка, равная 1 тыс. руб. на 10 м длины арендуемой площадки. При размещении груза вида В дается скидка, равная 3 тыс. р. с 100 м2, занимаемых
грузом. Кроме того, компания получит еще скидку 1 тыс. р. при оплате как
постоянный и надежный клиент.
49
Требуется найти значения параметров х1 и х2, определяющих разме-
x
щение груза на складе при минимальной оплате за его хранение.
Решение. Целевая функция Z(х
, х
) будет представлять собой вели-
1
2
чину оплаты за размещение и хранение на складе двух видов груза и иметь
выражение
Z(x1, x2) =
332
331xxx x
112 2
→ min.
Далее вычисляются частные производные функции Z по переменным
х
и х2, которые затем приравниваются к нулю, образуя систему уравнений:
1
Z
x
1
Z
x
2
2
x
91,
1
2
36,
x
22
2
910,
x
1
2
360.
xx
22
Решение полученной системы уравнений с учетом исходных данных
дает оптимизирующие значения переменных х
х
= 2. Учитывая необходимость размещения груза вида В, следует при-
2
= 1/3, х
1
= 0 или х
2
= 1/3,
1
нять, что х1 = 3,33 м, а х2 = 20,0 м.
3.4. Многомерная аналитическая оптимизация с ограничениями
Математические модели, описывающие достаточно сложные объекты исследования, по которым принимается управленческое решение,
обычно состоят не только из целевых функций, но и из уравнений ограничений, накладываемых на них в виде равенств и (или) неравенств, которые
определяют область допустимых решений. Ограничения, накладываемые
на целевую функцию, представляют собой математические описания
свойств и признаков объекта исследования, условий, в которых он находится, а также положений и требований различного рода инструкций и
нормативных документов.
Если на целевую функцию Z(X), непрерывную и выпуклую (вогнутую) в исследуемом диапазоне, накладываются ограничения, которые могут быть представлены в виде равенств или неравенств, описываемых вектором переменных X, где Х = (х
, х2, …, х
1
), то для решения задач оптими-
m
зации этого класса применяется метод, основанный на использовании
функции Ж. Лагранжа (1736–1815). При этом не требуется выражать одни
переменные через другие, учитывать, что не все переменные являются независимыми. Получаемые использованием функции Лагранжа условия
представляют собой замкнутую систему соотношений, среди решений которой содержится искомое оптимальное решение задачи на локальный
экстремум.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]