Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Принятие оптимальных решений в перевозках на морском транспорте. Учебное пособие
.pdf
n
x
aa
ac x x x
mi i m
1
i
12
12
ii
...
a
mi
= 0.
(6.12)
Каждое положительное решение системы (6.12) является точкой глобального минимума позинома (6.11), т.е. точкой, в которой позином достигает своего минимального значения. Таким образом, минимизация произвольного позинома (6.11) сводится к решению системы уравнений (6.12) в
положительных числах. Если же эта система уравнений не имеет положительных решений, то позином (6.11) не имеет точек глобального минимума
в области Х > 0. С доказательством этого положения можно ознакомиться
в [25].
В качестве примера решения задачи оптимизации, когда целевая
функция представляет собой произвольный позином, рассмотрим еще раз
перевозку навалочного груза через реку.
Задача 6.3.1. Перевозка навалочного груза.
Исходные данные. Компания-перевозчик планирует перевозку
Q = 700 м3 навалочного груза, например гравия, с одного берега залива на
другой на плашкоуте с установленным на его палубу открытым прямоугольным контейнером. Стоимость одного рейса в оба конца, включая грузовые работы, составляет с1 = 20 тыс. р. Стоимость изготовления 1 м2 дна
контейнера равна с2 = 3 тыс. р., а 1 м2 боковых стенок – с3 = 2,5 тыс. р.
Требуется минимизировать суммарные затраты на перевозку груза.
Решение. Целевая функция, представляющая собой стоимость рейсов
и стоимость изготовления контейнера, имеет вид
Q с
,,gxxx =
0
123
1
+ с2 · х1 · х2 + 2с3 · х1 · х3 + 2с3 · х2 · х
xx
123
3
или
111
11 2 3 11 2 313 3 2 3
22Qc x x x c x x c x x c x x
,
где х
0
, х2, х
1
,,gxxx =
123
– размеры сторон контейнера, м.
3
Система уравнений (6.12) применительно к задаче для вычисления
минимума целевой функции будет иметь вид
111
.
11 2 3 212 31 3
111
11 2 3 212 3 2 3
111
11 2 3 213 323
220Q с xxx cxx cxx
20Q с xxx с xx c xx
20Q с xxx с xx cx x
;
;
(6.13)
(6.14)
(6.15)
111
Из физического смысла задачи нас интересует только положительное
x
решение этой системы. Из уравнений (6.13) и (6.14) находим, что х
из уравнений (6.14) и (6.15) следует, что
12 13
2bx x cx x
, т.е.
= х
1
bb
xx
.
321
22
cc
Подставляя это выражение в (6.12), получим
Qac
3
bx
1
2
20
bx
,
1
отсюда следует
1
5
acQ
xx
21
;
x
2
b
b
x
13
c
2
1
2
abQ
4
c
Задавшись в (6.13), (6.14) и (6.15) значениями Q = 700, c
с
= 2,5 и используя прикладной пакет MathCad, можно выполнить расчет
3
1
3
5
.
= 20, с2 = 3,
1
оптимизирующих переменных:
Q := 700 с1 := 20 с2 := 3 с3 := 2,5
Given x1 := 1 x2 := 1 x3 := 1
-1 1 1
Q с1x1 x2 x3 с2 x x 2 c3 x1 x3 0
Q с1x1 x2 x3 с2 x1 x2 2 c3 x2 x3 0
Q с1x1 x2 x3 2с2 x1 x3 2 c3 x2 x3 0
-1 1 1
-1 1 1
12
, а
2
5,512
Find(x1,x2,x3) →
5,512
2,756
.
Контейнер для перевозки навалочного груза должен иметь размеры
5,51×5,51×2,76 м, когда в общем случае целевая функция представляет со-
бой произвольный позином. Подставляя эти значения в целевую функцию
,,gxxx, можно подсчитать минимальные расходы на перевозку.
0123
При внимательном рассмотрении системы уравнений (6.12) видно,
что она является по смыслу ничем иным, как системой, составленной из
частных производных позинома. Для этого достаточно каждое mуравнение этой системы разделить на хm > 0. Однако это было сделано не в
результате приравнивания частных производных к нулю, а основываясь на
идее регуляризации.
112
Задача 6.3.2. Перевозка глинозема.
f
f
f
Исходные данные. Судоходная компания планирует перевозку
Q = 210 000 т глинозема между портами, расстояние между которыми со-
ставляет L/2 = 2500 миль. Фрахтовая ставка f = 1,6 р./т милю, средняя часовая ставка содержания экипажа c = 1520 р./ч. Стоимость удельного расхода
топлива и масла q = 6,42 р.·кг/л.с.·ч. Адмиралтейский коэффициент судна
А = 1500.
Требуется определить грузоподъемность P, т, и скорость v, узлы,
специализированных судов (балкеров), использование которых обеспечит
минимальные затраты на перевозку.
Решение. Целевая функция, представляющая собой затраты на пере-
возку, может быть представлена в виде
где R
R = Rф + Rэ + R
– затраты на фрахт судна, р.; R
ф
– затраты на содержание экипажа,
э
, (6.16)
м
р.; Rм – затраты на топливо и масло, р.
Затраты на фрахт зависят от фрахтовой ставки f, пропорциональны
1,2
Р
грузоподъемности судна и времени его использования, которое опре-
делится количеством рейсов Q/P и продолжительностью каждого рейса L/v:
1,2
PQL
R
=
ф
или R
Pv
ф
=
0,2
PQL
.
v
Содержание экипажа определяется средней часовой ставкой c и временем использования судна в перевозке:
cQL
R
э
=
.
Pv
Затраты на топливо и масло зависят от времени использования судна, стоимости удельного расхода q и мощности судовой силовой установки, которая определена по формуле адмиралтейского коэффициента
2/3v3
P
/A:
R
QLqP v
м
=
PvA
2
3
3
или R
QLqv
=
м
2
1
3
PA
.
Целевая функция (6.16), описывающая стоимость перевозки, примет
вид
0,2 2
R(P, v) =
P QL cQL QLqv
vPv
1
3
PA
113
или R(P, v) =
–
–
–
–
где а1 – коэффициент, а
а
– коэффициент, а
2
а
– коэффициент, а
3
= c · Q · L = 1520 · 210 000 · 2 · 2500 = 1,596 · 1012;
2
= Q · L · q / А = 210 000 · 2 · 2500 · 6,42 / 150 = 44,94 · 105.
3
0,2 2
aa a
123
= f · Q · L = 16 · 210 000 ·2 · 2500 = 16,8 · 109;
1
vPv
1Pv
,
P
1
3
Значение оптимизирующих переменных Р и v целевой функции с
подставленными коэффициентами могут быть получены уже известным
способом, состоящим в вычислении частных производных полученной
целевой функции:
R(P, v) =
0,2 2
Pv
16,8 1,596 44,94
912 6
vPv
1
,
P
1
3
приравниванием их к нулю и решению полученной системы уравнений.
Система уравнений (6.12) для вычисления минимума целевой функции с помощью позиномов будет иметь вид
0,2а
– a
P
1
0,2
Р
1
0,2 v –1
v
1
– a
– a
P
2
P –1v
2
1
v
–1
1
– 1/3a
+ 2a
P
3
–1/3v2Р –1/3
P
3
1/3v2
= 0,
(6.17)
= 0.
Она напоминает частные производные с той разницей, что показатели степени при переменных х
остаются неизменными. Далее приведено
m
решение системы уравнений (6.17) с использованием прикладного пакета
MathCad.
а1 = 16,8 · 109 а2
= 1,596 · 10
12
а3
= 44,94 · 106.
Given Р := 500 v := 1
0,2·а1·Р
0,2
·v
– 1
– a2·P
– 1 ·v – 1
– 0,333·a3 ·P
– 0,333 ·v2
= 0
– a1·P
·v
– 1
– a2·P
– 1 ·v– 1
+ 2·a3·v
2
– 0,333
·Р
= 0.
0,2
P ≥ 0 v ≥ 0
R := Minerr(P,v) R =
4,709 10
11,977
3
Расчет оптимизирующих переменных показал, что для перевозки
глинозема с минимальными затратами следует фрахтовать судно грузоподъемностью приблизительно 4700 т и скоростью 12 узлов.
114
6.4. Понятие о двойственной функции и двойственной задаче
Двойственная задача, решение которой находится в тесной связи с
решением исходной задачи, может быть сформулирована для каждой задачи геометрического программирования.
Предположим, что имеется некоторый позином
k
a
1
gx x с xx
, ..., , ...,
01
mk m
k
1
k
1
a
mk
.
(6.18)
Рассмотрим функцию k положительных переменных. Если для количества членов позинома k выполняется условие k = m + 1, где m – количе-
ство переменных, то для любого произвольного позинома
gxx x
, , ...,
012
m
можно сформулировать некую функцию k положительных переменных
, ,..., 0
, определенную равенством
12
где
– вектор k-переменных
нома g
по отношению к позиному
…, с
k
k
, , ...,
(X).
0
12
k
Функцию () =
K
, , ...,
называют двойственной функцией
12
gxх x . Действительные числа с
, ,...,
012
k
1
k
k
c
k
,
k
; с
– коэффициенты пози-
k
k
m
(6.19)
, с2,
1
в выражении двойственной функции являются коэффициентами по-
зинома (6.18).
Предположим, что требуется найти max φ(δ1, δ2, …, δk) при условии
> 0, δ2 > 0…, δ
δ
1
+ δ2 +… + δ
δ
1
> 0, (6.20)
k
= 1. (6.21)
k
Множество Ω действительных чисел (δ1, δ2, …, δk), удовлетворяющих
условиям (6.20) и (6.21), называют k-мерным открытым симплексом.
Например, при k = 2 он будет представлять собой множество точек, лежащих на отрезке, исключая его концы. При k = 3 это будет множество точек,
принадлежащих треугольнику, положение оконечностей углов которого в
пространстве определяют координаты δ1, δ2, δ3, исключая его стороны.
С учетом этого положения требуется найти такую точку симплекса
Ω, которая обеспечит максимум двойственной функции φ(δ1, δ2, …, δ
).
k
Для решения этой задачи используется теорема: наибольшее значение
двойственной функции на симплексе Ω равно K = с
+ с2 + … + с
1
и дости-
k
115
гается в точке (с
/K + с2/K + … + сk/K)
1
Ω. Доказательство теоремы
можно посмотреть в [25].
Для введения понятия двойственной задачи рассмотрим систему линейных уравнений, где числа аmk по-прежнему представляют собой показатели степени при переменных x
aa a
11 1 12 2 1
в позиноме (6.18).
m
... 0,
kk
aa a
21 1 22 2 2
aa a
11 2 2
MM Mkk
12
... 0,
kk
......
... 0,
... 1.
k
(6.22)
Обозначим через ∆ вектор множества положительных решений системы уравнений (6.22). В общем случае оно может быть и пустым, если
система уравнений не будет иметь решений. Требуется найти такое положительное решение δ1, δ2, …, δk системы уравнений (6.22), при котором
двойственная функция
, , ...,
примет наибольшее значение. Есте-
12
k
ственно, что ∆ Ω. Такая задача называется двойственной по отношению
к задаче минимизации позинома в области х
> 0.
m
Итак, если позином (6.18)
K
достигает в области х
a
1
gx x с xx
, ..., ,...,
01
> 0 своего наименьшего значения g
m
mk m
1
k
k
1
a
mk
, то двой-
0min
ственная функция (6.19) на множестве ∆ = (δ1, δ2, …, δk) положительных
решений системы (6.22) достигает своего наибольшего значения φ
max
.
Теория двойственности позиномов позволяет преобразовать задачи
минимизации в задачи максимизации, потому что на практике встречаются
задачи, в которых нужно минимизировать или максимизировать целевую
функцию.
Использование рассмотренных методов геометрического программирования позволяет отказаться от решения классических уравнений в
частных производных, т.к. их решения часто трудоемки. Кроме того, метод
геометрического программирования позволяет находить экстремумы при
наличии ограничений и отказаться от решения систем нелинейных уравнений, аналитическое решение которых бывает затруднено.
116
7. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
7.1. Существо сетевого планирования
Сетевое планирование для принятия управленческих решений было
разработано в конце 1950-х гг. Первоначально этот метод оптимизации
назывался
Critical Path Method, т.е. метод критического пути.
Сетевое планирование представляет собой средство управления процессом создания сложного объекта. В нем предусматривается моделирование исследуемого объекта, представление его в виде сетевого графика, который позволяет устанавливать взаимосвязь большого числа различных
работ. В этом системном подходе производство рассматривается как единый, неразрывный процесс упорядоченных
и взаимосвязанных технологических операций, направленных на достижение конечной цели. Для каждой такой операции устанавливается исполнитель – подразделение предприятия, участвующее в этом сложном производственном процессе.
Сетевое планирование основывается на теории графов, являющейся
областью дискретной математики, в которой используется геометрический
подход к исследуемым объектам. Использование графов и их обобщений
создает возможность
построить модель процесса и решать ряд задач при-
нятия оптимальных управленческих решений.
Граф представляет собой совокупность дуг (ребер) и вершин, множество которых образует сеть (рис. 7.1), топология которой характеризует
определенную взаимосвязь вершин графов и направление их дуг. Вершина, имеющая только исходящие дуги, называется началом графа; вершина,
имеющая только входящие дуги, – конечной точкой графа; дуги, имеющие
общую вершину, – смежными. Последовательность дуг, соединяющих
начало и конец графа, образует путь графа. Путь, имеющий максимальную
длительность, называется критическим.
t
1-5
…
…
m
1
t
0-1
t
0-2
0 2
t
0-3
t
2-5
t
2-4
t
6-4
5
4
…
t
3-6
3
6
Рис. 7.1. Сетевая модель по критерию «время»
117
Обычно принимают, что каждой дуге соответствует процесс, работа,
а каждой вершине – событие, завершающее процесс. Вершинам присваивают порядковые номера. Начальная вершина также называется истоком,
началом графа, а конечная точка графа – стоком. Дуги сети обозначают
двойными цифрами, используя номера вершин, на которые опирается дуга
сети. Каждая дуга i-j соответствует параметрам, которые в совокупности
характеризуют целевую функцию решаемой задачи оптимизации. В качестве критерия оптимизации принимается необходимый критерий, в качестве которого может быть принято, например, время tij, себестоимость с
ij
или нечто иное.
Событие определяет момент завершения одного или нескольких
процессов, окончание которых необходимо для начала одного или нескольких новых процессов. Событие будет наступившим, когда завершен
самый длительный из предшествующих ему процессов. События, которые
обозначают начало процессов, называются предшествующими, а которые
завершают процесс – последующими.
Топология сети, количество и параметры ее дуг формируют расчетную сеть. Сеть, представляющая собой модель исследуемого объекта, разрабатывается специалистами в предметной области. Данные для разработки сетевой модели составления предварительно сводят в таблицы, в которых для каждой дуги определяют продолжительность процесса, а также
устанавливают, за каким процессом должен начинаться процесс, которому
соответствует эта дуга. Сетевой график как математическая модель производственного процесса изготовления сложного объекта дает возможность
создать логико-математическое описание процесса и разработать алгоритмы расчета основных параметров математической модели.
Для описания сложных и особо сложных работ требуется значительное число отдельных работ и событий. Например, сеть, описывающая
строительство крупного судна, содержит сотни тысяч событий, в качестве
которых используется окончание работ по технологическим комплектам
цехов верфи и машиностроения. Соответственно, каждая дуга представляет собой время выполнения работы, которое определяется по трудоемкости
работ и количеству производственных рабочих, выполняющих работу по
технологическому комплекту. Технологический комплект представляет
собой законченный объем работ, который может быть выполнен бригадой
рабочих за период времени меньше месяца.
Последовательность работ, когда окончание предыдущей совпадает с
началом последующей работы, называется путем. Путь, имеющий
наибольшую продолжительность, будет критическим путем. Следующие
за ним по продолжительности пути называются первый подкритический,
второй подкритический и т.д.
118
7.2. Применение сетевого планирования
Построение сетевого графа начинается с графического изображения
событий и работ, для этого используются вершины и дуги, в том числе дуги для описания логических связей событий между собой. Одновременно
вершинам присваиваются номера. Каждое событие, включаемое в сетевой
график, должно быть точно определено, его формулировка должна включать в себя результат
выполнения всех непосредственно предшествующих
ему работ. Связь между событиями изображается стрелкой, направленной
от предыдущего события к последующему.
Сетевая модель может строиться централизованно на основе конструктивно-технологического деления исследуемого объекта или технологических комплектов, на которые разбит процесс сооружения объекта.
Такой подход к построению графика называется «сверху вниз». Сетевая
модель может
быть разработана на принципе «снизу-вверх», основе сшивания отдельных локальных сетевых графиков. Третий, «смешанный»,
способ ее разработки наиболее распространен, в нем построенный сетевой
график разукрупняется и корректируется на основе локальных первичных
графиков, разработанных специалистами.
Каждая работа может начаться только после того, как свершилось
предыдущее событие. Отсюда следует, что ранний
срок начала работы равен раннему сроку предыдущего события, а ранний срок окончания равен
раннему сроку начала и плюс длительность этой самой работы. Каждая работа должна окончиться не позже самого позднего срока последующего
события. Это значит, что поздний срок окончания работы равен позднему
сроку свершения последующего события. Отсюда поздний срок
начала работы равен позднему сроку ее окончания, минус длительность этой самой
работы.
Для каждой работы определяют ряд резервов критерия, по которому
ведется оптимизация. Например, в качестве такого критерия принято время. Тогда
полный резерв – это разность между поздним и ранним началом
работы. Полный резерв является самым большим из всех видов резервов
по работам. Если он равен нулю, то и все прочие виды резервов отсутствуют.
началом данной работы и поздним окончанием предыдущей.
Свободный резерв представляет собой разность между поздним
Независимый
резерв образуется, если ранний срок начала последующей работы больше
срока окончания данной работы.
Разработка математических моделей в виде сетевых графов предполагает выполнение определенных правил. В сети нельзя допускать событий, из которых не выходит ни одной работы, так называемых «тупиков».
Появление «тупиков» указывает или на ошибку, или на то, что
работа с та-
ким событием не нужна и должна быть аннулирована. В сети не должно
119
быть событий без предшествующих им работ. Наличие таких событий говорит об ошибке или о том, что событие как начало работы не задано, поэтому не может произойти, свершиться. В сети не должно быть путей, соединяющих некое событие с самим собой, т.е. замкнутых контуров. Это
нужно рассматривать как
ошибку и исправлять ее.
Кроме того, не следует допускать работы, которые имеют одинаковые шифры, т.е. у различных работ общие начальные и конечные события.
При выявлении таких ошибок в сеть необходимо вносить дополнительные
события или фиктивные, т.е. не требующие ресурсов, работы. Если при
проектировании сети некие работы могут быть
начаты до полного окончания предшествующей им работы, то она должна быть представлена в виде
суммы последующих друг за другом работ. Если для выполнения некой
работы необходимо получение результатов всех работ, входящих в
начальное для них событие, а для другой работы – только одной их этих
работ, то в сеть должно
быть введено новое событие, которое отражает
только эти последние работы, и фиктивная работа, связывающая новое событие с прежним.
Применение сетей в качестве математических моделей исследуемых
объектов дает возможность: во-первых, отобразить весь объем работы в
необходимой детализации и установить зависимость отдельных ее составляющих между собой и от внешних воздействий, например от поставок;
во-вторых, эффективно распределить и использовать материалы, рабочую
силу, оборудование и другие имеющиеся ресурсы; в-третьих, определить
потребность в материалах, комплектующих, рабочей силе и других ресурсах на конкретный момент времени, выявить взаимосвязанные отдельные
работы, образующие критический путь, и принять меры по его сокращению; в-четвертых, при помощи вычислительной техники накануне каждого
планового периода на основе данных о состоянии объекта управления планировать номенклатуру и объемы работ; в-пятых, используя данные о составе критического, подкритического пути и резервах некритических
путей, эффективно распределять имеющиеся ресурсы, преимущественно
сосредотачивая их на работах критического и подкритического пути. Схема работы алгоритма сетевого планирования представлена на рис. 7.2.
При перераспределении ресурсов целесообразно придерживаться
определенных правил. Ресурсы нужно направлять на работы критического
пути, снимая их с работ некритического пути, а работы, по которым ведется перераспределение ресурсов, должны выполняться в один и тот же период времени. Кроме того, перераспределять ресурсы возможно
только на
равнокачественных работах, т.е. таких, которые требуют работников одной
и той же или взаимозаменяемой профессии или квалификации. Перераспределять ресурсы необходимо по величине их убывания в работы с
наибольшим дефицитом ресурсов.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]