Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Принятие оптимальных решений в перевозках на морском транспорте. Учебное пособие
.pdf
без учета ограничений в системе уравнений, описывающих объект управ-
ления. Для m-мерной задачи, например, область возможных решений {B}
будет описываться выражением
{B} = {XB(x1, x2, …, xm)}, ХВ Rn, (2.1)
где Rn – n-мерное евклидовое пространство.
Нахождение области возможных решений представляется наиболее
простым, когда для алгебраического решения задачи оптимизации имеется
система с количеством уравнений и неизвестных в них переменных, меньшим или равным m.
Область допустимых решений. Под областью допустимых решений
{D} понимается множество значений вектора переменных, удовлетворяющих существующим ограничениям, в том числе и на искомые элементы:
{D} = {XD(x1, x2, …, xm)}, ХD Rn. (2.2)
Ограничения описываются системой уравнений с переменными x
x2, …, x
. Область допустимых решений (2.2) представляет собой некую
m
1
область (подмножество) множества возможных решений (2.1) вектора {B}:
DB .
Область оптимальных решений. Под областью оптимальных («хо-
роших» и «лучших») решений {О} принято понимать множество перемен-
ных
{
О} = {X
, x2, …, xm)}, ХО Rn, (2.3)
О(x1
которое является решением, предпочтительным с какой-либо определенной точки зрения. В этом отношении оптимальные решения могут восприниматься как окончательные. Область оптимальных решений представляет
собой некую область подмножества допустимых решений {D}, а при точ-
ном решении задачи оптимизации эта область сужается до точки.
Все три группировки решений (2.1), (2.2) и (2.3) связаны между собой зависимостью
{
О}
Зависимость (2.4) для двухмерного пространства, т.е. при R
{D}{B}. (2.4)
n
= R2,
может быть представлена графически (рис. 2.2). Таким образом, все решения, находящиеся в областях, которые представлены на рис. 2.2, могут
быть объединены в следующие три взаимосвязанные группы:
1) возможные решения;
2) допустимые;
3) оптимальные или наилучшие.
,
21
х
2
Ограничения
Область допустимых
решений {D}
Область возможных
решений {B}
Область оптимальных
решений {О}
0
х
1
Рис. 2.2. Зависимость между областями возможных, допустимых
и оптимальных решений
Здесь граница между областями возможных {B} и допустимых {D}
решений является графическим изображением уравнений ограничений,
существующих в решаемой задаче оптимизации. Ограничения обычно
представляют собой требования различных нормативных документов
(стандартов, нормалей, руководящих документов, технических условий и
т.п.). Ограничения также могут определяться габаритами и взаимным расположением сооружений и зданий, рельефом местности, расположением и
очертаниями акватории, погодными условиями, ресурсами, различными
нормативными документами и т.п.
2.2. Определение оптимизации
Принятие решения в процессе управления всегда основывается на
определенных исходных данных. Например, при организации перевозки
груза ими могут быть объем перевозки, пропускная способность транспортных путей на маршруте перемещения груза, расписание движения
транспорта, тарифы на перевозку груза, информация о качестве перевозки,
требования к упаковке, скорость доставки и т.д. Естественно, что из множества возможных решений стремятся выбрать лучший вариант. Лучшим
решением будет считаться то, которое с учетом условий, в которых находится объект исследования, в максимальной степени будет соответствовать
достижению поставленной цели с минимальной затратой ресурсов. Выбор
лучшего решения среди множества допустимых решений представляет собой процесс оптимизации.
В алгоритме принятия решений (см. рис. 1.2) для выбора одной из
множества альтернатив в качестве критерия используется определенный
количественный показатель эффективности. Чтобы выбрать, назвать по-
22
казатель эффективности, следует задаться вопросом, чего мы хотим, или,
иными словами, должна быть сформулирована цель. Ее формулировка зачастую бывает довольно сложным делом, т.к. всегда существует вероятность ошибки и, соответственно, выбора ложной цели. В этом случае все
усилия по поиску и принятию оптимального решения становятся напрасными, а возникшая проблема останется не решенной. Например, предположим, что стоит задача улучшения работы технологического оборудования грузового терминала или производственного цеха. Выбор количества
единиц ремонтной работы в качестве показателя эффективности и увеличение ее объема будет ложной целью, ведущей в никуда. А вот увеличение
фонда времени, когда оборудование исправно и готово к работе, выбранного в качестве цели, даст необходимый предприятию результат.
Объект исследования, по которому принимается решение, может
подвергаться воздействию случайных факторов. Например, изменение погоды, отказы техники, колебания конъюнктуры рынка и т.п. В таких случаях обычно в качестве показателя эффективности берется не сама величина,
которую хотелось бы оптимизировать (максимизировать или минимизировать), а числовое значение ее случайной величины, т.е. математическое
ожидание.
Иногда объект исследования, характеризующийся случайными фак-
торами, преследует некую вполне определенную цель А, которая может
быть достигнута только полностью или совсем не достигнута (схема «да –
нет»). При этом никакие другие промежуточные результаты нас не интересуют. Тогда в качестве показателя эффективности выбирается вероятность
достижения этой цели Р(А). Например, если ведется целенаправленная работа с непременным условием победить конкурента, то показателем эффективности будет вероятность победы над ним.
Итак, оптимизация представляет собой процесс отыскания лучшего
решения. Для иллюстрации принципов выбора показателя эффективности
рассмотрим ряд примеров. Выберем для каждого примера показатель эффективности, который кажется наиболее естественным для соответствующей задачи. Здесь же одновременно укажем, требуется максимизировать
или минимизировать этот показатель.
1) Организация перевозки. Задача состоит в разработке такого плана
транспортировки груза, при котором расходы на перевозку будут минимальными, поэтому показатель эффективности Z
будет представлять со-
R
бой суммарные затраты на перевозку груза за определенный период времени, например, месяц или рейс судна (ZR → min).
2) Постройка грузового терминала. Строительство требуется спланировать так, чтобы стоимость постройки была как можно меньше. Естественным показателем эффективности была бы стоимость сооружения
терминала, поэтому в качестве показателя эффективности нужно выбрать
стоимость строительства Z
терминала (ZC → min).
C
23
3) Продажа запасных частей. В качестве показателя эффективности
можно взять среднюю ожидаемую прибыль ZF от реализации запасных частей за определенный период времени (Z
→ max).
F
4) Конкурентная борьба. В качестве показателя эффективности следует выбрать вероятность Р(АР) того, что рынок будет завоеван, т.к. борьба
имеет вполне определенную цель А
– захват определенной рыночной
Р
ниши перевозок.
5) Контроль качества перевозки груза. Естественный показатель
эффективности, подсказанный формулировкой задачи, это средние ожидаемые расходы на контроль за единицу времени, при условии, что система
контроля обеспечивает требуемый уровень качества. Например, средний
процент дополнительных расходов на качество не выше установленного
(Z
→ min).
К
Нужно иметь в виду, что далеко не всегда выбор показателя эффективности однозначно диктуется словесным описанием задачи. Более того,
часто действительный показатель эффективности затемняется привычными стереотипами мышления и представлений об объекте исследования. В
реальных производственных задачах выбрать показатель эффективности,
так же как и цель, бывает довольно сложно. Возможен ошибочный выбор
показателя эффективности. Действия, организованные при использовании
такого неудачно выбранного критерия, всегда приводят к неоправданным
затратам ресурсов и потерям времени. То и другое крайне болезненно для
любого предприятия.
2.3. Виды критериев и целевая функция
Критерии эффективности. Показатели эффективности объектов ис-
следования, примеры которых приведены выше, называют критериями
эффективности. Они могут носить экономический, функциональный,
технический и эстетический характер. В качестве примера экономических
критериев можно привести стоимость перевозки груза, доход предприятия,
его прибыль и т.п. Функциональные критерии характеризуют полноту выполнения объектом исследования тех или иных присущих ему функций.
Например, способность грузового судна совершать переходы в ледовых
условиях или его способность в стесненных условиях портовой акватории
обходиться без буксиров-кантовщиков. Примером технических критериев
может служить грузоподъемность, остойчивость или скорость транспортного средства. Что касается эстетических критериев, то их обычно определяют баллами по выбранной шкале, привлекая для оценки экспертов.
Наилучшее, т.е. оптимальное, решение должно соответствовать минимальному или максимальному значению критерия эффективности в соответствии с его смысловым значением. Характер зависимости критерия
24
эффективности от переменных величин (х
, х2, …,
1
) определяет, какими
хm
будут его экстремальные значения, глобальными или только локальными.
Математически критерий эффективности представляет собой целе-
вую функцию. Дальше ее будем обычно обозначать как Z(X), где Х = (х
…, х
). Целевая функция представляет собой формализованное описание
m
, х2,
1
(математическую модель) критерия эффективности объекта исследования.
В качестве критерия, в принципе, может использоваться любой параметр,
который характеризует ту или иную сторону объекта исследования. Диапазон изменения величины критериев эффективности может не иметь ограничений, однако часто определяется необходимостью выполнения различного вида требований. Ограничения могут быть наложены требованиями
законодательства, технических условий, технологии, стандартов или каких-то иных нормативных документов, определяющих ограничения, касающиеся исследуемого объекта.
Теперь можно дать более точную формулировку понятия «оптимизация». Оптимизация – это процесс отыскания положительного (неотрицательного) значения переменных X = (х
, х2, …, х
1
), соответствующих экс-
m
тремальным значениям целевой функции Z(X).
Выбирая из множества возможных вариант решения, естественно,
мы предпочтем оптимальное, т.е. такое, которое обращает показатель эффективности в максимум или минимум (экстремум). Например, если показателем эффективности является доход от производственной деятельности
предприятия, то Z(X) → max, а если показателем эффективности являются
фактические затраты на производство и реализацию продукции или услуг,
то Z(X) → min.
Задачи оптимизации, которые приходится решать, характеризуются
набором переменных, от которых зависит целевая функция. Известно, что
каждый вектор Х трехмерного пространства может быть задан тремя координатами Х = {х
, х2, х
1
} при этом Х
3
Rn = R
3
(рис. 2.3).
Если обобщить это свойство, то мы приходим к понятию m-мерного
вектора. Упорядоченная система m величин
( , , ..., )
Xxx x
12
m-мерной точкой или m-мерным вектором. Величины х
, х2, …, х
1
называется
m
пред-
m
ставляют собой координаты вектора (точки) Х. Совокупность всех
m-мерных точек (векторов), для которых определены операции, образует
m-мерное пространство R
Интересно отметить, что трехмерный вектор Х = {х
m
, принадлежащее пространству R
m
Rn.
, х2, х
1
} (см.
3
рис. 2.3) может служить примером единства материального и духовного
начала. Его впервые привел в одном из своих выступлений академик
Б. В. Раушенбах (1915–2008), крупнейший специалист в области управления космическими объектами и большой знаток русской иконописи. Действительно, вектор Х соединяет три составляющих его вектора, при этом
эти его составляющие не изменяют своих свойств. Точно также Святая
25
Троица едина, соединенные же в ней Бог Отец, Бог Сын и Бог Святой Дух
остаются при этом неизменными, сохраняя свою сущность.
x
3
Х = {х
, х2, х3}
1
0 х
1
x
2
Рис. 2.3. Вектор переменных трехмерного пространства
Введем в рассмотрение вектор как множество точек пространства:
xxxX ,...,
, где m = 1, 2, …, m.
m
21
(2.5)
При поиске оптимального решения целевой функции Z(Х) переменные, составляющие вектор (2.5), определяют значение критерия оптимальности. Этим же множеством переменных определяются условия ограничений g(X), которые накладываются на объект исследования и учитываются в
поставленной задаче.
Совокупность условий деятельности объекта исследования формализуют и записывают в виде уравнений, систему которых называют системой
ограничений. Например, для производственного предприятия задаются
объемы ресурсов, которые оно может использовать (не обязательно полностью), а также возможности производственного оборудования и процессов,
с помощью которых ресурсы превращаются в продукты или услуги. Интенсивности использования производственного оборудования и процессов
представляют собой искомые переменные в задаче. По своему физическому смыслу интенсивности использования производственного оборудования и процессов – величины неотрицательные. Нулевая величина интенсивности означает, что процесс не происходит.
Итак, совокупность i-условий деятельности объекта исследования
записывается как система уравнений в виде равенств и неравенств:
g
(A, X) ≤ n
i
и g
i
(A, X) ≥ n
i
, (2.6)
i
26
где i – количество условий ограничений, i = 1, 2,…, i; ni – постоянные ве-
Z
личины, устанавливающие пределы ограничений.
Для использования в решении задачи оптимизации уравнения в виде
неравенств оно предварительно должно быть приведено к каноническому
виду gi(A, X) ≤ ni. Совокупность i-условий ограничений выражения (2.6)
определяет множество допустимых вариантов дальнейшего поведения и
развития объекта исследования.
Выбор оптимального варианта решения осуществляется с помощью
целевой функции – функции, которая описывает определенный, интересующий нас параметр объекта исследования. Например, стремясь получить
максимум от реализации произведенной продукции или оказанной услуги,
в качестве целевой функции мы должны принять доход. В общем виде задача будет иметь вид
extr ,
AX или Z(А, Х) → max.
(2.7)
В выражениях (2.6) и (2.7) вектор А представляет собой заданные характеристики объекта исследования, по которому принимается решение.
Этот вектор может представлять собой различные величины, в той или
иной мере характеризующие объект, например, известные цены на выпускаемую продукцию или оказываемые услуги.
Если целевая функция и система уравнений ограничений сформулированы, это значит, что задача управления поставлена. Теперь необходимо
отыскать ее оптимальное решение. Этим решением будет вектор оптимизирующих переменных, который может быть обозначен как
X
= (x
opt
1opt
, x
2opt
, …, x
), m = 1, 2, …, m.
mopt
Например, требуется определить, какие именно производственные
процессы следует использовать и какова должна быть интенсивность каждого из них, чтобы не допустить перерасхода ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, и в то же время обеспечить максимально возможную величину дохода. Решив такую задачу, лицо, принимающее решение, тем самым получает возможность использовать для работы оптимальный план реализации конкретной программы действий.
Простейший метод решения подобной задачи оптимизации, казалось
бы, напрашивается сразу. Стоит только, рассмотрев все допустимые варианты, подсчитать, какую прибыль дает каждый из них, и станет ясно, какой
вариант дает максимум выгоды. Однако на поверку этот метод оказывается
самым сложным, а чаще всего просто нереальным методом, поскольку
число допустимых вариантов практически необозримо или бесконечно. В
то же время существует целый ряд методов, основанных на математическом моделировании, позволяющих получить искомый ответ.
27
Теперь, после того как мы определили целевую функцию, можно
дать более точное определение оптимизации. Оптимизация – это математическая операция по отысканию вектора положительных (неотрицательных) переменных Х в скалярном или векторном виде, соответствующих
экстремальным значениям целевой функции Z(X).
2.4. Математическое программирование
Понятие программирования. Понятие «математическое програм-
мирование» имеет несколько взаимосвязанных значений. Математическим
программированием называется математическая дисциплина, посвященная
теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на
множествах конечномерного векторного пространства, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами).
Математическое программирование – это и раздел науки об исследовании
операций, охватывающий широкий класс задач управления, математическими моделями которых являются конечномерные экстремальные задачи.
Задачи математического программирования находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из
возможных образов действий, например выбор при решении многочисленных проблем управления и проектирования.
Математическое программирование – это также процесс, в котором с
целью выбора наилучшей программы действий при достижении поставленной цели используют экономические и математические дисциплины
для нахождения экстремума целевой функции, описывающей показатель
эффективности поведения управляемого объекта. В настоящем курсе мы
будем иметь дело именно с этим понятием. Понятие математического программирования связано с тем, что целью решения задач является выбор
программы действий.
Математическая формулировка задачи математического программирования состоит в том, чтобы минимизировать или максимизировать скалярную функцию векторного аргумента на определенном множестве. Эту
функцию называют целевой функцией, или функцией цели. Решение задачи математического программирования представляет собой точку глобального экстремума и является также оптимальным планом действия или
лучшим решением.
Математическое программирование обычно принято классифицировать на группы.
линейное программирование, которое используется для решения
задач, в которых целевая функция Z(X), ограничения по ресурсам qi(Х) и
смысловые ограничения hj(Х) линейны;
28
квадратичное программирование применяется при решении задач,
когда целевая функция квадратичная и выпуклая, допустимое множество
определяется линейными равенствами и неравенствами;
выпуклое программирование ориентировано на задачи, в которых
целевая функция и допустимое множество выпуклы;
дискретное программирование используется тогда, когда решение
ищется лишь в дискретных, например, целочисленных точках множества X;
стохастическое программирование отличается от решения детерминированных задач тем, что здесь входная информация носит элемент
неопределенности, например, в стохастических задачах о минимизации
линейной функции при линейных ограничениях, когда все величины либо
часть из них случайны, положим, зависят от погоды, условий, складывающихся на рынке и т.п.
Задачи, решаемые методами линейного, квадратичного и выпуклого
программирования, обладают общим свойством, которое заключается в
том, что всякая точка локального экстремума является оптимальной точкой Z(Х). Значительно более сложными и менее изученными являются так
называемые многоэкстремальные задачи. Для них указанное свойство не
выполняется.
В основе задач выпуклого программирования, к которым относятся
экстремальные задачи вида f0(x) → inf, fi(x) ≤ 0, i = 1, 2, …, I, x Rn, где
f
(x) – выпуклые функции, лежит теорема Куна – Таккера о необходимых и
i
достаточных условиях существования оптимальной точки Х
чтобы точка Х
была оптимизирующей для минимизируемой целевой
opt
. Для того
opt
функции, т.е.
Z(Х
) = min Z(X) при
opt
X = {x : g
(Х) ≥ 0, i = 1, 2, …, I},
i
необходимо и достаточно, чтобы существовала такая точка λ
λ
2opt
, …, λ
), которая с точкой Х
m opt
образовывала бы седло функции Ла-
opt
ХХ
opt
= (λ
opt
(2.8)
1opt
,
гранжа
I
,
Выражение (2.9) означает, что для любых хm и всех Λ = (λ1, λ2, …, λ
λ
≥ 0 имеет место F(x
i
FX ZX g X
opt
, λ) ≤ F(x
opt
, λ
opt
) ≤ F(x, λ
i
1
ii
opt
.
).
(2.9)
),
i
Таким образом, с учетом (2.8) и (2.9) задача выпуклого программирования сводится к решению системы уравнений и неравенств. На основе
теоремы Куна – Таккера разработаны различные итерационные (от лат.
29
iteratio – повторение) методы минимизации, сводящиеся к поиску седло-
Z
вой точки функции Лагранжа.
Математическая формулировка оптимизации. Задача оптимиза-
ции состоит в отыскании экстремумов целевых функций (минимумов или
максимумов) на заданных множествах. Для целевой функции Z(X), которая
справедлива для всех неотрицательных значений искомого вектора пере-
менных Х ≥ 0, нужно найти
XX
opt
, (Х) = (х1, х2, …, х
). Здесь (Х) – до-
m
пустимое множество значений переменной Х, т.е. множество допустимых
решений или значений переменной, удовлетворяющих ограничениям, если
таковые имеются, в том числе на саму переменную, при которых
XZX . )(X Rn, где Rn – евклидовое пространство,
extr min max
т.е. задача оптимизации является конечномерной.
Таким образом, экстремальная математическая задача – это задача
нахождения максимума или минимума функции Z(Х), Х = (х
, х2, …, хm),
1
m = 1, 2, …, m. Ее решение представляет собой значения вектора перемен-
ных Х
, оптимизирующие целевую функцию. При этом Х{D}.
opt
С математической же точки зрения не играет существенной роли,
рассматривать ли максимизацию или минимизацию целевой функции, поскольку максимизация математически эквивалентна минимизации. Нахождение максимума или минимума целевой функции определяется ее смыслом. Естественно, если функция представляет собой, например, прибыль,
получаемую при оказании транспортных услуг, то мы будем стремиться
максимизировать функцию, описывающую сумму прибыли. Если же
функция выражает себестоимость продукции или услуг, производимых
предприятием, то мы будем стремиться минимизировать функцию. Значения переменных Х = (х
, х2, …, х
1
) могут изменяться без ограничений или
m
подчиняться определенным ограничениям. Например, если переменные
выражают количество производимой продукции или услуг, то при этом
может существовать ограничение, накладываемое производственной мощностью предприятия или ограничение на количество произведенной продукции или услуг, которое накладывается на целевую функцию потребительской емкостью рынка. Таким образом, при решении оптимизационных
задач необходимо учитывать существующие ограничения.
Принятие любого практического решения, как отмечалось выше, со-
держит в себе в той или иной степени решение оптимизационной задачи.
Ее решение происходит на этапах 4, 5 и 6 (см. рис. 1.2) и содержит в себе
ряд последовательных этапов. Наиболее важным, сложным этапом является моделирование исследуемого физического явления или процесса с целью получения математической функции, а также определения уравнений
ограничений, если таковые существуют. Затем следует выбрать подходящую процедуру для выполнения максимизации или минимизации. Реали-
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]