Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Принятие оптимальных решений в перевозках на морском транспорте. Учебное пособие
.pdf
зация на практике этой процедуры часто сложна, поэтому во многих случаях для выполнения большого объема вычислений приходится использовать ЭВМ. Наконец, полученный математический результат должен быть
интерпретирован в терминах физического содержания задачи.
Физические и математические модели. Под моделью принято по-
нимать материальную или вымышленную (идеализированную) систему,
создаваемую для использования при решении технических, производственных или иных задач. Модель – это условное представление действительности, она должна объективно отражать сущность исследуемого объекта и соответствовать цели исследования. Модели должны давать данные
для вычислений показателей исследуемого объекта. Модели строят, используя характеристики и параметры исследуемых объектов, потому что
исследование их самих, как правило, слишком дорого и сложно.
Модели также применяются для получения новых знаний об объекте
исследования, поскольку строятся адекватными ему по исследуемым свойствам. Модели достаточно широко используются в любой деятельности
при применении количественных методов исследования, в том числе в методах оптимизации. Различают физические, математические и смешанные
модели [26].
Физические, или предметно-математические, модели воспроизводят
изучаемую систему с сохранением ее природы и геометрических форм.
Выделяют три классификационные группы физических моделей: натурные, масштабные и аналоговые. Все три группы моделей довольно широко
используются в различных областях знаний, особенно в технике. Физические модели сходны со своим оригиналом по физической природе и геометрическим формам, но отличаются размерами, скоростями процесса и
иными точно определенными параметрами. Для пересчета результатов,
полученных при исследовании процессов на физических моделях, применяют критерии подобия, например, числа Фруда, Рейнольдса или Ньютона.
Стремление использовать моделирование не только в технике, но и в других областях знаний, создать некую универсальную модель привело к появлению математических моделей.
Математические, или логико-математические, модели представляют собой приблизительное описание явлений внешнего мира, выраженное
математической символикой. Математические модели отличаются от оригинала своей физической природой и геометрической формой, сходство их
заключается в том, что они описываются одними и теми же видами математических уравнений. Ценность математических моделей состоит в том,
что возможно применять универсальные методы и аппаратуру исследования. По сути, математика представляет собой арсенал описательных структур, заготовленных впрок. Исследователь, моделируя объект, выбирает
уже готовые структуры или создает новые, приспособленные к решению
31
задачи. При этом математические структуры становятся моделями тогда,
когда их элементам дается физическая интерпретация, а между параметрами математической структуры устанавливается зависимость, соответствующая свойствам исследуемого объекта.
Различают математические модели имитационные (от лат. imitatio –
подражание) и апроксимакционные (от лат. approximare – приближаться).
Имитационные математические модели отображают моделируемый процесс последовательно по операциям так, как он протекает в действительности. Апроксимационные математические модели устанавливают количественные взаимосвязи между исследуемыми показателями и управляемыми переменными величинами без описания протекания процесса.
Разработка математических моделей представляет собой формализацию реальных явлений, поэтому она связана с определенными, заранее
обусловленными ограничениями и допущениями. Реальный объект исследования неизбежно упрощается, схематизируется, и эта схема (своеобразный макет явления) описывается с помощью того или другого математического аппарата. Чем удачнее будет разработана математическая
модель, чем точнее она будет отражать характерные черты явления, тем
успешнее будет исследование и полезнее вытекающие из него рекомендации. Степень соответствия математической модели реальным условиям зависит от уровня сложности моделируемого процесса, совершенства
применяемого математического аппарата, количества и детальности учитываемых при моделировании факторов.
Общих способов построения математических моделей не существует
[6], однако существуют методики общего плана, которые дают возможность придерживаться определенной последовательности в работе [1]. В
каждом конкретном случае модель выбирается исходя из вида исследуемого объекта, его целевой направленности, с учетом задачи исследования,
т.е. какие при этом требуется определить параметры и влияние каких факторов необходимо отразить в модели. В этой связи можно только говорить
о самых общих соображениях, которые следует учитывать при разработке
модели.
Во-первых, при выборе модели необходимо соразмерять точность и
подробность модели с точностью, с которой нам нужно знать решение, а
также и с информацией, которую мы имеем или можем получить. Выполнению расчетов на математической модели предшествует подготовка исходных данных. Используются статистические, справочные данные и данные, полученные в результате изучения объекта исследования. Точность
полученных исходных данных, заложенных в расчеты, должна быть известна, а точность полученного результата заранее определена. Целесообразно указывать диапазон погрешности полученных количественных характеристик, что позволит снизить степень риска при принятии решений.
32
Если исходные данные, нужные для расчетов, известны неточно, то,
очевидно, нет смысла входить в тонкости, строить очень подробную модель и тратить свое собственное время и время ЭВМ на тонкую и точную
оптимизацию решения. К сожалению, этим принципом часто пренебрегают и выбирают для описания явлений слишком подробные модели.
Во-вторых, требования к математической модели противоречивы. С
одной стороны, модель должна достаточно полно учитывать все основные
факторы, от которых существенно зависит эффективность действия. Отнесение к основным или второстепенным факторам будет во многом зависеть от цели исследования, поэтому ранее использованная модель может
оказаться непригодной. С другой стороны, математическая модель должна
быть достаточно простой для практической использования. Она не должна
усложняться множеством мелких и второстепенных описаний, которые затруднят последующую работу с ней. Искусство строить математические
модели довольно сложно, опыт приобретается постепенно, т.к. две опасности подстерегают разработчика математической модели:
1) увязнуть в подробностях, «из-за деревьев не увидеть леса»;
2) слишком огрубить явление, «выплеснуть вместе с водой ребенка».
Кроме описания основных и второстепенных признаков и параметров объекта исследования, при моделировании с учетом этих рекомендаций должны также быть определены те, которые не могут быть учтены в
модели из-за несовершенства математического аппарата или сложностей
трансформации качественных характеристик в количественные.
В-третьих, при разработке математических моделей нужно обеспечивать совпадение круга полезного эффекта с кругом затрат для достижения этого эффекта по времени и по набору технологических операций,
учитываемых у исследуемого объекта.
Наибольшее приближение к реальным условиям достигается в моделях, описывающих сравнительно простые объекты, например, расход топлива судном при выполнении рейса или раскрой листового материала для
вырезки детали простой конфигурации. Математическое моделирование
усложняется при описании объемных объектов в целом, например, стоимость сооружения терминала наливного груза. При описании более сложных объектов не всегда удается описать математическими зависимостями
ряд их важных свойств и признаков. Это, как правило, относится к описанию морально-психологических факторов, к творческой деятельности человека.
Поскольку математическая модель не вытекает с непреложностью из
описания задачи, всегда полезно сравнивать результаты, полученные по
разным моделям. При этом одну и ту же задачу решают не один раз, а несколько, пользуясь разной системой допущений, разным математическим
аппаратом и, соответственно, разными моделями. Если выводы от модели
33
к модели меняются мало, то это серьезный аргумент в пользу объективности исследования. Если они существенно расходятся, надо пересмотреть
концепции, положенные в основу различных моделей, посмотреть, какая
из них более соответствует действительности, а в случае надобности поставить контрольный эксперимент.
В-четвертых, при разработке математических моделей следует стремиться к тому, чтобы критерий эффективности был чувствителен к изменениям оптимизирующих переменных. Переменные величины должны
быть масштабированы, т.е. иметь один порядок. В противном случае влияние переменной низкого порядка будет ничтожно. При формировании математической модели целесообразно также рассмотреть возможность исключения возможно большего числа переменных за счет математических
преобразований модели. Это существенно упрощает решение задачи оптимизации.
В-пятых, используемые в моделировании зависимости должны соответствовать реальной информационной базе. Многие коэффициенты, нормы, нормативы задаются в документах упрощенно, изменяясь скачками.
Такие изменения делают расчеты количественно и качественно неприемлемыми для использования.
Создание математической модели представляет собой самую ответственную часть исследования, т.к. от степени соответствия модели исследуемому объекту зависит эффективность решения проблемы. От аналитика
требуется глубокое понимание существа моделируемых процессов или
предметов, а также смысла и назначения параметров исследуемых объектов.
При использовании результатов оптимизации нужно представлять,
какая математическая модель была применена, какие признаки и параметры исследуемого объекта учтены в ней, и что, соответственно, осталось
вне расчетов и подлежит определенной дополнительной качественной
оценке. Без этого полученные рекомендации могут оказаться неполными,
основанными только на учете части параметров, а принятое управленческое решение не вполне корректным, ошибочным.
Удачные модели обычно создают специалисты в предметной области, имеющие хорошую математическую подготовку. Математическая
подготовка должна быть достаточно широка, т.к. наряду с классическими
разделами математики в моделировании применяют линейное и нелинейное программирование, теорию вероятностей, теорию игр, теорию массового обслуживания и др. В сложных случаях, когда для решения трудно
применить аналитические методы, используют числовые методы.
В самом общем виде математическую модель исследуемого объекта
можно представить как взаимосвязанное множество
M = {Z, H, Х, S, K}, (2.10)
34
где Z – показатель эффективности объекта, имеющий множество значений,
Z(Х); H – оператор моделирования, заданный системой аналитических
функций или содержащий различные операции, не приводимые к аналитическим функциям; Х – множество характеристик, описывающих моделируемый объект; S – множество возможных вариантов управления исследуемым объектом; K – множество факторов K(Х), учитываемых в модели.
Множество характеристик Х, описывающих моделируемый объект,
представляет собой вектор независимых переменных Х = (х
, х2, …, х
1
), от
m
которых зависит показатель эффективности Z и факторы K, учитываемые в
модели. Показатель эффективности Z(Х) будет являться целевой функцией
исследуемого объекта, а учитываемые факторы K(Х) служат уравнениями
ограничений, которые накладываются на целевую функцию. Оператор моделирования Н представляет собой некие математические зависимости,
объединяющие независимые переменные Х = (х
, х2, …, х
1
) и множество
m
постоянных величин S, которые определяют возможные варианты (стратегии) управления исследуемым объектом. Решение управленческих задач
оптимизации будет далее основываться на конкретизации общего выражения (2.10).
2.5. Многообразие задач оптимизации и методы решения
Исходя из представления и взаимодействия компонент математических моделей (2.10), всё их многообразие можно объединить в три в группы:
1) аналитические;
2) статистические;
3) имитационные.
Аналитические модели, воспроизводящие только физические законы, на которых основано функционирование реальной исследуемой системы, нужно рассматривать как имитационные модели первого уровня. В
статистических моделях воспроизводятся не только физические законы, но
и случайные факторы, их можно относить к имитационным моделям второго уровня. Что касается собственно имитационных моделей, моделей
третьего уровня, то в них исследуемые системы функционируют еще и во
времени.
По характеру описания целевых функций и их ограничений, т.е. по
виду оператора моделирования Н, математические модели можно объединить в две группы:
1) детерминированные модели, в этих моделях случайные факторы
не учитываются;
2) стохастические модели, в них учитываются случайные факторы,
воздействующие на объект исследования.
35
В детерминированных моделях используются функции, значения которых точно определено множеством (вектором) переменных величин
Х = (х1, х2, …, х
). Стохастические модели значительно сложнее детерми-
m
нированных, для описания которых довольно различного рода равенств и
неравенств. Стохастические модели, в свою очередь, можно классифицировать по форме описания в три группы:
1) модели динамики средних величин;
2) вероятностные модели;
3) статистические модели.
Модели динамики средних величин основаны на допущении, что
если в процессе участвует большое количество однородных единиц, то
можно рассматривать математическое ожидание как средние результаты,
т.е. неслучайные величины. Вероятностные модели применяют, если модели первой группы дают значительные ошибки, искажение исследуемого
объекта. Статистические модели используются, когда другие типы моделей оказываются непригодными. Суть этого моделирования состоит в том,
что случайные величины, функции и их ограничения заменяются в модели
с помощью генератора случайных чисел на детерминированные величины.
Оптимизационные задачи классифицируют и для того, чтобы выявить методы, которые будут общими для той или иной классификационной группы. Для этой классификации задач применяют ряд критериев, используя для этой цели число критериев оптимизации, количество оптимизируемых переменных, характер оптимизируемых переменных величин,
способы реализации оптимального решения.
1) По числу критериев оптимизации:
– однокритериальные;
– многокритериальные.
2) По количеству оптимизируемых переменных:
– одномерные, число переменных m = 1;
– многомерные, число переменных m > 1.
3) По характеру оптимизируемых переменных Х = (х1, х2, …, хm):
– непрерывные;
– дискретные.
4) По способу реализации оптимального решения задачи:
– аналитические. Для решения задач оптимизации используют клас-
сические методы дифференциального и вариационного исчисления.
Наиболее распространенные из них заключаются в определении экстремального значения функции Z(Х). Для этого различными методами отыскиваются оптимизирующие значения вектора переменных Х
путем вы-
opt
числения производных Z'(Х) по каждой переменной хm, приравнивания полученных производных к нулю и последующего решения составленной системы уравнений;
36
– численные. Применяют для решения задач оптимизации, которые
не могут быть по тем или иным причинам решены аналитическими методами, например, когда функция Z(Х) дискретна в исследуемом диапазоне.
Для нахождения оптимизирующих значений переменных Х
при помощи
opt
итерационных (от лат. iteratio – повторение) процедур последовательно
строятся улучшенные решения задачи.
Описание взаимосвязанной структуры приведенной классификации
для большей наглядности целесообразно представить в табличной форме
(табл. 2.1). Это описание позволяет выстроить классификационные группировки всех задач оптимизации по степени возрастания сложности
(рис. 2.4).
Многокритериальные задачи оптимизации
Однокритериальные, одно- и многомерные, численные
Однокритериальные, многомерные, аналитические
Однокритериальные, одномерные, аналитические
Рис. 2.4. Возрастание сложности задач оптимизации
Аналитический способ решения задач оптимизации в отличие от
численных дает точное однозначное решение за один или несколько шагов. Это определяет сравнительную простоту решения таких задач. Численные и аналитические способы дают оптимальное решение, точность
(диапазон) которых зависит от ряда исходных условий поиска оптимального решения.
Для всех численных способов
характерен довольно продолжительный процесс поиска оптимальных решений. Это предопределяет основную
задачу методологии решения такими способами, которая заключается в
необходимости сокращения времени поиска для выхода на оптимальное
решение.
Анализ составленной классификации оптимизационных задач позво-
ляет сделать следующие заключения:
1) аналитическая оптимизация как наиболее простая при решении
может быть только одномерная, однокритериальная
и непрерывная или
многомерная непрерывная;
2) дискретная оптимизация реализуется только численно, т.е. приме-
нением определенного алгоритма;
37
3) наиболее сложным видом задач оптимизации для реализации яв-
ляется многокритериальная, многомерная и непрерывная или численная
оптимизация.
Таблица 2.1
Классификация оптимизационных задач
Группы
Классификационные признаки
Число
Однокритериальные Многокритериальные
критериев
Число опти-
Одномерные Многомерные Одномерные Многомерные
мизирующих
переменных
Характер
Непр. Дискр. Непр. Дискр. Непр. Дискр. Непр. Дискр.
функции
Способ
решения
Примечание. Принятые сокращения в таблице: непр. – непрерывные, дискр. – дискретные, анал. – аналитические, числ. – численные
Анал. Числ. Анал.
Числ.
Числ. Анал. Числ. Анал. Числ.
Полученные результаты решения задач оптимизации всегда целесообразно подвергать критическому анализу, при этом следует опираться,
прежде всего, на постановку задачи, смысл целевой функции и уравнений
ограничений. Это во многих случаях позволяет избегать ошибок, связанных с упрощением объекта исследования при их разработке. Кроме того,
этим можно в определенной степени компенсировать несовершенство
применяемых методов оптимизации.
Задачу оптимизации, возникающую при принятии управленческих
решений, формально можно представить и следующим образом. Пусть
Х = (x1, x2, …, x
оптимизирующих целевую функцию; A = (a
) – вектор искомых элементов решения при m = 1, 2, …, m,
m
, a2, …, a
1
) – вектор характе-
i
ристик задания исследуемого объекта при i = 1, 2, …, i с постоянными величинами, устанавливающими пределы ограничений; N = (n
, n2, …, nj) –
1
вектор нормативов, используемых для формирования уравнений целевой
функции и ограничений при j = 1, 2, …, j; и Р = (р
, р2, …, р
1
) – вектор па-
k
раметров при k = 1, 2, …, k.
Тогда описание объекта исследования, учитывая его показатель эффективности и ограничения, которые на него накладываются, можно представить в несколько упрощенном в сравнении с (2.10) общем виде:
F(x1, x2, …, xm, a1, a2, …, ai, n1, n2, …, nj, р1, р2, …, рk) = 0. (2.11)
38
Математическая модель (2.11) исследуемого объекта, по которому
принимается решение, будет представлять собой систему алгебраических
или дифференциальных уравнений. Эти уравнения описывают с некой
установленной величиной погрешности объект исследования и те условия,
в которых он существует и действует.
В системе уравнений (2.11) в общем случае может быть три соотношения переменных М и числа уравнений С и, соответственно, можно выделить три типа задач:
1) С = М. Алгебраическая задача определена, всегда существует однозначное решение. Такое решение для линейных уравнений будет единственным, а для нелинейных – то, которое соответствует действительному
значению корня.
2) С > М. Задача не определена и, как правило, не имеет решения.
Однако ее можно привести к алгебраической задаче, отбрасывая часть
уравнений или неравенств, отражающих несущественные зависимости и
доводя ее до С = М. Именно в задачах такого типа очень важно понимание
физического смысла параметров исследуемого объекта, чтобы выявить несущественные и пожертвовать ими ради решения задачи оптимизации.
3) С < М. Задача всегда не определена, но может иметь множество
решений. Часто встречающиеся на практике задачи этого типа решают, переводя часть неизвестных в параметры, чтобы добиться выполнения условия С = М, обеспечивающего решение задачи. Кроме того, чтобы выполнить условие С = М возможно также сокращение числа переменных. С
этой целью проводят анализ для выявления зависимости между переменными, описываемой аналитически, а затем выражают «лишние» переменные через остающиеся, добиваясь С = М.
Множество значений вектора переменных Х = (х
, х2, …, х
1
) и целе-
m
вая функция Z(Х) дают множество решений задачи, при этом возникает вопрос выбора лучшего решения, т.е. отыскание вектора Х
, определяющего
opt
экстремальное значение целевой функции. Выбор этот достаточно сложен
и будет определяться в основном смыслом критериев эффективности и переменных, от которых они зависят, особенно тех, которые переводятся из
переменных в разряд параметров.
Вне зависимости от типа задач оптимизации принципиально для их
решения могут применяться три метода:
1) прямой метод, или метод нулевого порядка, основанный на сравнении значений целевой функции Z(Х), вычисленных по определенному
алгоритму;
2) косвенный метод первого порядка, или градиентный метод, использующий первые производные Z'(Х) от целевой функции Z(Х) для получения ее экстремального значения;
39
3) косвенный метод второго порядка, использующий вторые произ-
f
f
x
Z
x
x
x
водные Z''(Х) от целевой функции Z(Х).
Прямой метод решения задач оптимизации не имеет особых ограничений, накладываемых характером целевой функции. Его можно применять практически для всех классификационных групп. Использование же
косвенных методов имеет ограничение, которое определяется тем, что вычисление производных первого и второго порядка от целевой функции
возможно только тогда, когда функция непрерывна на данном множестве
Х. Условия непрерывности функции поясним на примере, когда Z(Х) ≡ f(x).
Функция f(x), определенная на действительном множестве R, будет непрерывной в точке х = х1, если:
1) функция определена при х = х
, х1
1
R;
2) приращение функции в точке х1 стремится к нулю, когда прира-
щение ее аргумента Δх = х1 – х стремится к нулю, т.е.
lim
x
()()
xxfx
0
11
обретает лишь те значения, для которых
= 0. Здесь бесконечно малое приращение Δх при-
()
xx
имеет смысл. При этом
1
предполагается, что х1 является предельной точкой множества R, а значит,
в любой окрестности Ux найдутся точки xx
1
R, отличные от х
, для
1
которых функция f(Х) определена. Она определена на множестве Х и непрерывна в каждой точке этого множества, т.е. имеет место равенство
lim
xZ
=
0
lim ( )
0
xxZx
11
= 0 при
xX
.
Здесь множество Х понимается как область определения функции,
точки
X и
xX не рассматриваются.
3. ОДНОКРИТЕРИАЛЬНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ОПТИМИЗАЦИЯ
3.1. Одномерная однокритериальная оптимизация
Задачи одномерной однокритериальной оптимизации без ограничений, наложенных на целевую функцию, относятся к наиболее простым задачам. Такие задачи, как правило, можно решать аналитически, что даст
возможность получить точный и однозначный результат. Поскольку оптимизация относится к экстремальным задачам математического программирования, задачи этого типа решаются также и графическим методом, который достаточно широко используется в оптимизации в целом.
Общим условием и обязательным требованием для решения задачи
методом аналитической оптимизации является непрерывность целевой
функции Z(х). Непрерывность является важной особенностью поведения
функций, определяющей ее дифференцируемость.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]