Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Учебное пособие
.pdf
61
b
7.1.3. Определение расстояния между параллельными
H
A
A
'
Рис. 7.1
прямыми
b
a
n
H
'
a
'
n
Рис. 7.2
'
b
B
'
b
'
B
Расстояние
между параллельными прямыми a и b
определяется длиной
отрезка n, перпендикулярного обеим
прямым.
Решение задачи сводится к предыдущей, если на одной
прямой взять точку А
и определить расстояние от точки А до
второй прямой
(рис. 7.2).
62
7.1.4. Определение расстояния между скрещивающимися
прямыми
Расстояние между скрещивающимися прямыми a и b
определяется отрезком n, который перпендикулярен к обеим
прямым (рис. 7.3).
Решение задачи заключается в том, чтобы одну из прямых
известными способами преобразования сделать проецирующей.
Тогда искомое расстояние определяется как расстояние от полученной точки до проекции второй прямой.
7.1.5. Определение расстояния от точки до плоскости
Расстояние от точки А до плоскости β определяется длиной
перпендикуляра, опущенного из точки А к плоскости β (рис. 7.4).
Задача решается следующими способами:
а) из точки А провести перпендикуляр n к плоскости β.
Находим n β
б) известным способом преобразования чертежа сделать
плоскость β проецирующей, тогда искомое расстояние определяется длиной перпендикуляра от точки до прямой, в которую
спроецировалась плоскость β.
a
H
'
a
= B
. Определяем длину отрезка АВ;
n
'
n
Рис. 7.3
b
'
b
63
7.1.6. Определение расстояния между параллельными
плоскостями
Расстояние между параллельными плоскостями определяется длиной отрезка АВ, перпендикулярного обеим плоскостям, где точка А принадлежит одной плоскости, а В – другой.
Решение задачи сводится к предыдущей, если на одной
плоскости взять точку и определить расстояние от этой точки до
второй плоскости.
7.1.7. Определение расстояния между параллельными
Расстояние между прямой и плоскостью определяется
длиной отрезка АВ, перпендикулярного прямой и плоскости, где
А
принадлежит прямой, а В – плоскости.
Решение задачи сводится к предыдущей.
V
A
β
v
v
h
x
β
β
H
прямой и плоскостью
н
Рис. 7.4
64
7.2. Определение углов
7.2.1. Определение угла
между пересекающимися прямыми
Две пересекающиеся прямые определяют в пространстве
плоскость α (рис. 7.5а, б). Повернув плоскость вокруг линии
уровня до положения, параллельного какой-либо плоскости
проекций, получим натуральную величину угла между пересекающимися прямыми. Того же самого можно добиться, используя другие способы преобразования.
''
α
С
C
''
a
H
Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между пересекающимися прямыми
ственно параллельными прямыми a и b.
Решение задачи сводится к предыдущей, если через произвольную точку пространства С провести
1
a
1
φ
C
1
7.2.2. Определение угла
между скрещивающимися прямыми
φ
R
b
C
O
b
2
h
1
а) б)
Рис. 7.5
a
''
''
1
1
'
a
C
'
'
1
a1
a и
O
O
'
a
x
φ
и
1
b
'
C
2
'
b
b
,
1
b1 b.
''
''
2
h
R
C
'
соответ-
''
C
'
h
0
65
7.2.3. Угол между прямой и плоскостью
Угол между прямой а и плоскостью β определяется
плоским углом между прямой а и ее ортогональной проекцией на
плоскость β (рис. 7.6).
Вместо величины
A
γ
n
β
A
Угол между плоскостями α и β измеряется плоским углом
между прямыми a и
b
, где
а) решение задачи сводится к случаю 7.2.1, где надо найти
угол между прямыми a и b (рис. 7.7);
б) из произвольной точки пространства опустить
перпендикуляры на данные плоскости. Так как угол между
перпендикулярами равен углу между плоскостями, то решение
задачи снова сводится к случаю 7.2.1 (рис. 7.8);
в) использовав способы преобразования, расположить
двухгранный угол так, чтобы ребро двухгранного угла стало
проецирующим, тогда двухгранный угол спроецируется в
натуральную величину.
a
φ
β
a
Рис. 7.6
7.2.4. Определение угла между плоскостями
α и
β
B
b
, которые получаются α
β:
искомого угла удобно
определить угол,
образованный прямой а и
прямой n, перпендикулярной
к плоскости β. Выбрав на
прямой
β
точку, отпустим из нее
перпендикуляр на плоскость
β. Решение задачи сводится к
нахождению угла между
прямыми а и n.
а
произвольную
= а
и β
=
66
Рис.7.7
k
M
γ
N
Рис. 7.8
α
β
l
φ
b
α
1. Какие характеристики геометрических фигур называют метрическими?
2. В каких случаях угловые величины проецируются без искажения?
3. Как решается задача по определению величины угла между
двумя прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями?
4. Что является мерой угла между скрещивающимися прямыми?
5. Как определить расстояние от точки до плоскости; между плоскостями; между параллельными и скрещивающимися прямыми?
a
φ
n
β
b
Контрольные вопросы
a
67
8. КРИВЫЕ ЛИНИИ И ИХ ПРОЕКЦИОННЫЕ СВОЙСТВА
8.1. Основные понятия и определения
Кривую линию можно представить как траекторию точки,
перемещающейся в пространстве или на плоскости.
Кривая линия также может быть получена в результате
пересечения поверхности с плоскостью или двух поверхностей
между собой.
Кривые линии могут быть плоские, если все точки кривой
принадлежат одной плоскости, и пространственные, точки
которых не принадлежат одной плоскости.
Примерами плоских кривых являются: окружность, эллипс, парабола. Примером пространственной кривой является
винтовая линия.
Линия считается закономерной, если в своем образовании
она подчинена какому-нибудь закону.
Если при этом кривая в декартовой системе координат
определяется алгебраическим уравнением, то она называется
алгебраической. Примерами алгебраических кривых являются
окружность, эллипс, парабола, гипербола. Степень уравнения
кривой определяет порядок кривой.
Кривая линия определяется положениями составляющих
ее точек. Точки кривой определяются их координатами.
На чертеже кривая задается своими проекциями. Для построения ортогональных проекций кривой (пространственной или
плоской) необходимо построить проекции ряда точек, принадлежащих этой кривой, и соединить их между собой в той же последовательности, в какой они располагались на оригинале. При задании кривой ее проекциями необходимо указать, по крайней мере, проекции одной точки, принадлежащей кривой (рис. 8.1).
По чертежу кривой в общем случае можно без дополнительных построений определить, пространственная она или плоская. На рис. 8.1 кривая а пространственная, так как она имеет
конкурирующие точки С, D. Если по чертежу непонятно, плоская
кривая или пространственная, требуются дополнительные построения. На кривой нужно выбрать три произвольные точки и
68
Рис. 8.
3
A
"
Рис. 8.
1
M
"
Рис. 8.
2
проверить, лежит ли любая четвертая точка кривой в плоскости,
определяемой первыми тремя. Кривая m, изображенная на рис.
8.2, пространственная, так как точка
кости , заданной точками
B"
А, В, С
a"
C"=D"
B'
C'
A'
a'
D'
8.2. Некоторые свойства проекций
пространственных и плоских кривых
Если точка А принадлежит кривой m, то проекция этой
точки А принадлежит проекции
m
кривой. Секущая и касательная к кривой проецируются соответственно в секущую и касательную к проекции кривой.
Пусть через точку А кривой m
проведена секущая n (рис. 8.3).
Проекция секущей определяется
точками А и В, принадлежащими
проекции m рассматриваемой
кривой. Прямая n, пересекающая проекцию кривой, является по
отношению к m секущей. Касательную t можно рассматривать как
предельное положение секущей, которое занимает последняя при
М(М, М)
этой кривой.
A"
m"
A'
m'
m"
m'
не лежит в плос-
2"
1"
C"
1'=2'
M'
C'
n"
B"
A"
t"
n'
B'
A'
t'
B"
B'
69
Рис. 8.
4
a
)
Q
б
)
в
)
г
)
T
Рис. 8.
5
M
е
)
сближении точек пересечения А и В в одну точку. В этом случае
совпадут друг с другом и их проекции, т.е. проекция n секущей превратится в касательную t к проекции m кривой.
8.3. Проекции плоских кривых
Чтобы наиболее точно пере-
дать форму кривой линии, при по-
А
М
близкие к ним.
В
строении ее проекций необходимо
прежде всего построить характер-
ные точки. Такими точками являются особые точки кривой, а также
точки, наиболее удаленные от
плоскостей проекций и наиболее
t
P
t
l
l
t
l
R
1
t
2
N
t
l
Точка кривой называется обыкновенной, если в этой
точке к кривой можно провести единственную касательную.
На рис. 8.4 такой точкой является точка М. Другие точки называют особыми (точки
8.5а, б), точки самопересечения (рис. 8.5в), точки перегиба (рис.
8.5г), точки излома (рис. 8.5д, е). Особым точкам плоской кривой
l
t
1
А, В
). К ним относятся точки возврата (рис.
д)
t
2
t
l
70
O''
Рис. 8.
7
f
"
Рис. 8.
6
соответствуют такие же точки на ее проекции. Кривая, состоящая только из обыкновенных точек, называется плавной кривой.
На рис. 8.6 выполнено построение горизонтальной проекции l кривой линии 1,
принадлежащей плоскости
( h, f)
фронтальной 1. Точки
К, N, D, Е
А
– точка, наиболее удаленная от горизонтальной плоскости проекции,
К
– точка, наиболее удаленная от фронтальной
плоскости проекций, Е –
самая низкая, D – точка
возврата, N – точка прекращения.
межуточные. Все точки
кривой строятся по
условию принадлежности их плоскости .
8.3.1. Изображение окружности на комплексном чертеже
по заданной
А,
– характерные.
Точки
В, С
– про-
Рассмотрим три случая.
v=l''
О'
l'
1"
l"
D"
D'
E'
l'
f'
h"
A"
A'
B'
B"
N"
C"
E"
K"
1'
N'
C'
K'
h'
1. Окружность 1 лежит в
плоскости уровня (рис. 8.7) В
этом случае она проецируется на
одну из плоскостей проекций в
натуральную величину, а на другой плоскости совпадает со следом
плоскости
H 1-
в проецирующей плоскости (рис.
8.8). Одна из ее проекций совпада-
.
V
натуральная величина
2. Окружность 1 лежит
l = V.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]