Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Учебное пособие
.pdf
31
H (V
или W). Линию наибольшего наклона к плоскости H назы-
вают линией ската.
z
φ
''
V
φ
z
N
φ
φ
W
w
φ
y
φ
x
φ
v
k
φ
x
x
M=M
'
k
'
N
'
φ
н
H
φ
v
''
k
M
M
''
'
k
'
φ
н
x
y
а) б)
Рис. 4.10
Отличительным признаком для линии ската является перпендикулярность ее горизонтальной проекции к горизонтали и горизонтальному следу плоскости
виду, что линиями наибольшего наклона можно пользоваться для
определения угла наклона плоскости к плоскостям проекций.
Контрольные вопросы
1. Какое положение в пространстве относительно плоскостей
проекций может занимать плоскость?
2. Что такое плоскость уровня?
3. Какие плоскости уровня вы знаете?
4. Как называется плоскость, перпендикулярная какой- либо
плоскости проекций?
5. Что такое след плоскости?
6. Что такое нулевая фронталь, горизонталь?
7. В каком случае точка принадлежит плоскости?
8. В каком случае прямая принадлежит плоскости?
9. Что такое линия ската?
H
(рис. 4.10). Следует иметь в
N
N
z
y
'
φ
y
y
32
Рис. 5.
1
5. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
Плоскости и прямые в пространстве могут быть взаимно
параллельны либо пересекаться.
5.1. Построение линии пересечения двух плоскостей
Две плоскости пересекаются по
прямой линии, следовательно, в общем
случае для построения линии пересечения двух плоскостей достаточно найти
две точки, принадлежащие одновременно
каждой из заданных плоскостей. На рис.
5.1 такими точками являются
К
,
К
.
1
2
M
φ
β
N
Выбор решения данной задачи зависит от расположения заданных плоскостей относительно плоскостей проекций.
Рассмотрим случай, когда хотя бы одна из пересекающихся плоскостей проецирующая.
Даны плоскости (
АВС
) и (
DEF
) (рис. 5.2, 5.3). Плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций.
Так как треугольник
прямой линии (
DF
чения плоскостей и совпадает с
проекции М и N, затем определяем
надлежности сторонам треугольника
DEF
проецируется на плоскость Н в виде
), то горизонтальная проекция линии пересе-
DF
. Обозначаем на этой
М''
и
N''
, по условию их при-
ABC – M AB, N ВС.
Рассмотрим общий случай построения линии пересечения
двух плоскостей (рис. 5.4).
Заданные плоскости и пересекаются третьей вспомо-
гательной плоскостью
. Находим линии пересечения плоскости
1
с плоскостью и плоскостью .
n1 = 1 ; m1 = 1 .
Точка
L
определяется в пересечении
m
и n. Для того чтобы
найти точку N, проведем описанные построения еще раз с вспомогательной секущей плоскостью
.
2
1
33
z
V
α
α
B
D
M
v
N
F
C
A
E
'
x
α
н
D
H
A
B
'
'
M
'
E
'
'
N
F
'
C
'
D
Рис. 5.2
''
B
''
F
''
M
''
F
C
'
C
'
''
E
'
B
'
M
'
E
N
Рис. 5.3
N
'
α
v
''
A
x
α
н
'
D
'
A
34
Рис. 5.
4
Рассмотрим, как этот алгоритм реализуется на чертеже
(рис. 5.5). Плоскость задана двумя параллельными прямыми a и b.
Плоскость задана параллельными прямыми c и
плоскости занимают общее положение в пространстве.
Проведем вспомогательную секущую плоскость
дикулярную V и пересекающую каждую из плоскостей и .
При пересечении плоскости
прямую
прямые, принадлежащие плоскости
определяют точку
L'N'
1-2
, а при пересечении
L
линии пересечения
L
= 12 34, L1
1
Используя аналогичным образом плоскость
5-6 =
7-8 =
N = 5-6 7-8
N' = 5'-6' 7'-8'
N'' ''
Затем определяем проекции искомой линии пересечения
и
L''N''.
2
2
.
2
с плоскостью получаем
1
с получаем прямую
1
, в своем пересечении
1
и .
.
1
, получаем:
2
d
, перпен-
1
3-4
. Обе
. Эти
m
3
1
m
7
2
β
d
4
8
b
c
L
N
γ
γ
a
n
n
1
2
2
1
1
5
2
6
α
35
Рис. 5.
5
γ
γ
''
b
''
5
1
''
6
1
H
2
H
''
2
''
N
a''c
L
''
''
''
3
''
d
''
''
4
''
''
8
7
x
'
1
'
5
'
b
a
'
2
'
6
'
N
В случае если плоскости и заданы следами, плоскости
проекций выступают в роли вспомогательных секущих плоскостей (рис. 5.6а, б). Таким образом, во фронтальной плоскости
проекции пересекаются фронтальные следы αV и βV в точке
1''.
Горизонтальная проекция точки 1' находится на оси х, так как
точка 1 принадлежит фронтальной плоскости проекции.
Аналогично в горизонтальной плоскости проекции пересекаются горизонтальные следы плоскости αH и βH в точке
Фронтальная проекция точки
вию принадлежности к горизонтальной плоскости проекций.
На рис. 5.7 (а, б) рассмотрен случай, когда пересекаются
плоскость общего положения α и горизонтальная плоскость
уровня β. Все прямые, принадлежащие плоскости β, являются
горизонталями. Отсюда следует, что линия пересечения плоскостей α и β также будет являться горизонталью. Горизонталь плоскости α – это прямая, параллельная горизонтальному следу αH.
Таким образом, для построения линии пересечения достаточно определить одну точку, принадлежащую одновременно
как плоскости α, так и плоскости β. Такой точкой является точка
2''
'
3
'
L
7
'
находится на оси х по усло-
'
4
'
8
'
d
'
c
'
1 =
2 = 2'.
36
пересечения фронтальных следов αV и β
''
1
и
1''
строятся аналогично примеру на рис 5.6б. Прямая
проводится параллельно α
ей линии пересечения плоскостей α и β.
V
α
β
v
1=1
α
''
x
2
'
1
α
н
и является горизонтальной проекци-
H
v
''
β
'
2=2
β
н
а) б)
H
Рис. 5.6
, т.е. точка 1. Проекции
V
''
1=1
β
v
''
x
2
β
н
2=2
α
v
'
1
α
н
'
1'А'
α
1=1
β
H
v
''
''
A
α
A
'
1
'
A
α
н
а) б)
x
Рис. 5.7
β
v
1
α
v
1
α
н
''
'
A
A
''
'
V
β
v
x
37
5.2. Пересечение прямой линии с плоскостью
Рассмотрим способы построения точки пересечения прямой с плоскостью при различном их расположении относительно плоскостей проекций.
1. Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикуляр-
ной к одной или двум плоскостям проекций.
Плоскость, пер-
V
α
''
l
A
B
v
''
K
α
K
l
x
α
'
A
v
l
A
'
B
H
''
'
'
K
Рис. 5.8
''
B
''
K
C
C
'
α
н
''
l
''
C
x
A
'
'
B
'
K
Рис. 5.9
C
'
l
α
'
н
пендикулярная к
плоскости проекций,
проецируется на нее в
виде прямой линии.
На этой прямой должна находиться соответствующая проекция точки, в которой
прямая пересекает
плоскость.
На рис. 5.8, 5.9
горизонтальная проекция точки пересечения
прямой l с плоскостью
(ABC
пересечении проекций
A'B'C'
проецируется на плоскость H в виде прямой линии. Определив проекцию
K'
, находим
принадлежности на
на фронтальной плоскости проекции определяется методом конкурирующих точек.
) определяется в
и l', так как плоскость
K''
по условию
l''
.
Видимость прямой l
38
2. Пересечение проецирующей прямой с плоскостью
общего положения.
Прямая, перпендикулярная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в точку. В эту же точку спроецируется
искомая точка пересечения (рис. 5.10а, б).
Фронтальная проекция точки пересечения прямой l и
плоскости α (
l''
, т.е.
l'' = K''.
находится по принадлежности точки К плоскости α.
Если точка К принадлежит прямой
сти α (
ABC
V
x
ABC)
определяется фронтальной проекцией прямой
Горизонтальная проекция точки пересечения
1-2
, лежащей в плоско-
), то
K'' 1''2''
, а
K' 1'2'
.
A
B
l
1
K
C
B
x
2
H
B
''
2
''
l
''
'
2
'
'
l
A
A
K'
''
''
1
''
C
'
'
C
'
1
а) б)
Рис. 5.10
3. Пересечение прямой общего положения с плоскостью
общего положения.
Построение точки пересечения произвольной прямой с
плоскостью общего положения выполняют по следующему алгоритму (рис. 5.11).
1. Через данную прямую l проводится вспомогательная
секущая плоскость .
2. Определяется прямая m пересечения заданной плоско-
сти и вспомогательной .
3. Находится точка К в пересечении прямых – данной l и
построенной m.
39
На рис. 5.12
γ
l
C
C
N
α
N
'
'
m
K
Рис. 5.11
V
γ
B
1
K
γ
M
v
2
A
'
'
1
K
Рис. 5.12
'
'
'
2
x B
γ
н
'
M
H
A
конкурирующих точек на Н и V.
Этот алгоритм используется при определении линии пересечения двух плоскостей. Точки, принадлежащие линии пересечения, определяются в пересечении прямых, принадлежащих
плоскости с плоскостью .
и 5.13 показано построение точки пересечения
прямой l с плоскостью
общего положения ,
заданной треугольником
ABC
.
Через прямую
MN
проведена вспомо-
гательная горизон-
тально-проецирующая
плоскость. Ее горизонтальный след пере-
секается с
точках 1 и 2, определяющих горизонталь-
ную проекцию линии
пересечения и . Затем находим 1 и 2. В
пересечении
деляем фронтальную
проекцию К искомой
точки К. К определяем
по условию принадлежности К
плоскость непрозрачна, определяем видимые и невидимые
участки прямой l относительно плоскостей Н
и V, используя пары
АВ
и
АС
в
12
опре-
MN.
Считая, что
40
Рассмотрим этот ал-
''
γ
v
''
M
A
x
'
M
A
прямым
при пересечении определяют точку M.
чения прямой
зонтально-проецирующую плоскость β (βH). β (βH) пересекает
(
DEF)
тального следа βH , а
мым
плоскости β и при пересечении определяют точку
плоскостей (
плоскости, определяем методом конкурирующих точек.
проекции возьмем пару конкурирующих точек 1 и 5, фронтальные проекции которых совпадают:
дятся на скрещивающихся прямых AB и EF, поэтому
5' E'F'
АВ и АС.
На втором этапе решения задачи определим точку пересе-
по прямой
DF и DE
Таким образом, прямая
Видимость сторон треугольников
Для определения видимости на фронтальной плоскости
. По чертежу видно, что точка 5 находится в простран-
B
''
1
''
K
''
'
1
'
Рис. 5.13
АВ
соответственно. Прямые
ABC) и (DEF).
2
'
B
'
K
'
2
Прямые
с плоскостью (
3-4. 3-4
3''4''-
N
''
N
1-2
определяется положением горизон-
принадлежностью точек 3 и
горитм на примере построения линии пересечения
плоскостей, заданных тре-
''
угольниками
(рис. 5.14)
''
C
'
C
'
γ
н
и
EF
MN
является линией пересечения
1'' = 5''.
Первым этапом решения задачи будет построение точки пересечения прямой
стью
(ABC).
заключим
но-проецирующую плоскость, α (αV) пересекает
(
ABC)
по прямой
определяется положением
фронтального следа αV , а
12
определяется принад-
лежностью точек
принадлежат плоскости α и
DEF).
Заключим AB в гори-
3-4 и АВ
ABC и DEF,
АВС и DEF
EF
EF
во фронталь-
N.
Точки
1 и 5
с плоско-
Для этого
принадлежат
задающих
1' A'B',
1-2. 12
1 и 2
4
пря-
нахо-
а
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]