Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Учебное пособие
.pdf
51
'
'
А''
находим, проецируя точку А на проекцию окружности
1
вращения – отрезок, параллельный оси х.
C
''
1
C
D''= D
''
1
''
i
1
''
i
C
2
''
''
, D
2
2
x
D'= D
i
Пример 2. [CD] перевести в положение, перпендикулярное
V
(рис. 6.6).
В этом случае следует осуществить два вращения вокруг
осей, перпендикулярных плоскостям проекций.
Вначале вращение производим вокруг
которого [CD] занимает положение, параллельное Н, а затем переводим [CD] во фронтально-проецирующее положение вращением вокруг оси, перпендикулярной Н.
В случае перевода плоскости общего положения в частное
задача решается аналогично.
Чтобы плоскость общего положения заняла проецирующее положение, достаточно горизонталь или фронталь перевести в проецирующее положение. При повороте линии уровня на
'
1
Рис. 6.6
'
1
'
C
1
'
i
2
'
C
2
'
D
2
i
V, в результате
1
52
угол на такой же угол повернется и все множество точек этой
плоскости.
Если необходимо преобразовать плоскость в положение,
параллельное плоскости проекции, необходимо осуществить
еще одно вращение на какой-то угол так, чтобы вырожденная
проекция плоскости (прямая, в которую проецируется плоскость) заняла положение, параллельное оси х.
6.1.3. Вращение вокруг линии уровня
Путем вращения плоскости вокруг линии уровня можно
повернуть ее в положение, параллельное плоскости проекций.
Очевидно, вращая плоскость вокруг горизонтали, можно
перевести плоскость в положение, параллельное Н. Вращение
плоскости вокруг фронтали позволяет перевести ее в положение, параллельное V.
Рассмотрим вращение точки А вокруг горизонтали (рис.
6.7). Точка А при вращении вокруг горизонтали h вращается по
окружности, плоскость которой перпендикулярна оси вращения.
Для осуществления вращения на чертеже необходимо
найти центр вращения и величину радиуса вращения. Центр
вращения находится на пересечении оси вращения с плоскостью, которой принадлежит окружность вращения. Очевидно,
что найти центр вращения можно, проведя перпендикуляр из А'
к h'. Радиус вращения определяем, используя метод прямоугольного треугольника. Новое положение точки А' находится в
месте пересечения дуги окружности, проведенной из горизонтальной проекции центра вращения О' радиусом
тальным следом плоскости.
Для того чтобы осуществить вращение плоскости вокруг
линии уровня, необходимо найти новое положение хотя бы трех
точек, принадлежащих заданной плоскости (рис. 6.8).
Плоскость α однозначно определяется тремя точками 1,
и А. Так как точки 1 и 2 принадлежат фронтали ν, которая принята за ось вращения, то они не изменят своего положения в
процессе преобразования.
О'А'
с горизон-
0
2
53
'
'
A
Δz
A
''
1
O
''
''
h
x
'
O
'
h
R
'
A
'
A
β
1
Δ
н
z
A
'
0
Рис. 6.7
''
z
Δ
A
1
''
A
''
A
0
''
R
a
''
1
x
'
'
A
1
1
A
Δz
'
'
a
Поэтому, чтобы задать новое положение плоскости α1 V,
достаточно осуществить поворот только одной точки А.
''
b
''
O
'
O
b
Рис. 6.8
2
'
''
''
υ
2
'
υ
'
54
6.1.4. Способ вращения вокруг оси, принадлежащей
плоскости проекций (вращения вокруг следа плоскости)
Этот способ также называют способом совмещения. Совмещение является частным случаем вращения плоскости вокруг
горизонтали и фронтали.
При совмещении за ось вращения принимается не произвольная горизонталь или фронталь плоскости, а ее горизонтальный или фронтальный след (нулевые горизонталь или фронталь). В таком случае в результате поворота плоскость совмещается с плоскостью проекций Н, если вращение осуществляется
вокруг горизонтального следа плоскости, либо с V при вращении вокруг ее фронтального следа.
Плоскость общего положения α (рис. 6.9а) вращается вокруг горизонтального следа α
до совмещения ее с горизонталь-
Н
ной плоскостью проекции. При этом горизонтальный след как
ось вращения остается на месте. Поэтому для нахождения нового положения плоскости достаточно найти совмещенное положение только одной, принадлежащей ей точки (не лежащей на
горизонтальном следе).
В качестве такой точки целесообразно взять точку, принадлежащую фронтальному следу. Точка А при вращении будет
перемещаться по дуге окружности, принадлежащей плоскости β,
перпендикулярной к оси вращения.
Геометрические построения аналогичны построениям,
приведенным на рис. 6.8.
Следует обратить внимание, что любая геометрическая
фигура плоскости α при ее совмещении с плоскостью проекции
Н
проецируется в конгруэнтную фигуру. В связи с этим новое
положение точки А можно определить, не пользуясь центром и
радиусом вращения (рис. 6.9б). Для этого достаточно из точки
схода следов описать дугу радиусом, равным расстоянию [α
х
А''
до ее пересечения с горизонтальным следом плоскости β, в которой будет перемещаться точка А. Через полученную точку
пройдет фронтальный след плоскости α при совмещении его с
плоскостью Н.
]
55
β
v
α
v
''
A
α
v
''
A
α
x
x
'
A
1
α
β
н
v
1
'
A
'
O
'
A
0
R
α
н
а) б)
Рис. 6.9
α
x
x
'
A
1
α
β
н
v
1
'
A
α
н
6.2. Метод перемены плоскостей проекций
Сущность метода перемены (замены) плоскостей состоит
в переходе от данной системы плоскостей проекций к новой.
При этом геометрические фигуры в процессе преобразования
остаются на месте, а их новые проекции получаются за счет
введения дополнительных плоскостей проекций. Новые плоскости выбираются перпендикулярно старым.
При выборе положения новой плоскости проекции следует руководствоваться тем, чтобы проецируемая фигура занимала
частное положение относительно новой плоскости.
Рассмотрим изменение положения проекций точки А, если
V
заменить новой плоскостью
кость не меняет своего положения, т.е. мы осуществляем переход от системы x (V/H) к новой
V
пересекает Н по прямой
1
проекция
А'
не изменяет своего положения. Для нахождения
новой фронтальной проекции
перпендикулярно
x
от
1
А1'
V
(
V
H). Горизонтальная плос-
1
1
x
(
V
/H) (рис. 6.10а). Плоскость
1
1
х
, т.е. по новой оси. Горизонтальная
1
А1''
следует провести линию связи
. Из рис. 6.10а видно, что расстояние
56
от новой фронтальной проекции
нию от старой фронтальной проекции
Совмещая
эпюру. За ось вращения принимается
не влияет на результаты преобразования (рис. 6.10б).
''
A
A
V
x
x
H
A
''
A
V
x
H
A
x
'
A
A
A
V
с Н, перейдем от пространственной модели к
1
A
A
''
1
1
V
1
V
1
'
A
x
1
а) б)
''
B
B
x
'
B
B
x
1
''
1
x
H
1
V
1
x
1
''
B
1
А1''
до новой
А''
до старой оси х.
х
, направление поворота
1
x
V
x
''
A
1
Рис. 6.10
Иногда замена одной
проекции не обеспечивает получения требуемого вида проекции, поэтому приходится
переходить к замене двух
плоскостей. Но одновременно
меняется только одна плоскость проекции.
Пример 1. Преобразо-
вать чертеж отрезка [АВ] в
чертеж отрезка, параллельного фронтальной плоскости
проекций (рис. 6.11).
Горизонтальная проекция прямой, параллельной
H
x
равно расстоя-
1
''
A
A
x
H
'
A
A
x
x
1
V
1
1
A
''
1
Рис. 6.11
57
фронтальной плоскости проекции, всегда параллельна оси х. Отсюда следует, что новую ось x надо выбирать параллельно
Остальные геометрические построения не требуют пояснений.
Пример 2. Преобразовать чертеж отрезка [АВ] в чертеж
проецирующего отрезка (рис. 6.12).
В этом случае следует произвести замену плоскостей дважды. Сначала меняем горизонтальную плоскость Н на новую
т.е. переходим к системе
вания отрезок [АВ] займет положение, параллельное Н. Затем
произведем замену старой фронтальной плоскости V на
перейдем к системе
Положение новой фронтальной проекции точки на плоскости
V
определяется аналогично только что рассмотренному при-
1
меру. Отличие состоит лишь в том, что теперь за исходную (ста-
''
A
''
B
V
x
H
B
'
$
'
A
$
H
V
x
1
1
A
Рис. 6.12
Пример 3. Определить натуральную величину треугольника
ABC
(рис. 6.13).
x
(V/
H
). В результате этого преобразо-
1
1
x
(
V
/
H
B
).
1
1
рую) систему будем
принимать
от нее переходить к
системе
этом случае плоскость
H
не меняет своего
''
$
1
, B
''
1
1
H
1
V
A
''
1
1
положения в пространстве, следовательно, не
изменится положение
и горизонтальной про-
2
екции
x
фронтальная проекция
А2"
будет определена,
если из
к оси
нем расстояние, равное
расстоянию от старой
оси
x
1
тальной проекции
x
x
(
2
A1'B1'
. Например,
A1'
восставить
х
и отложить на
2
до старой фрон-
2
''
1
А'В'
H1 ,
V
, т.е.
1
(V/
H
) и
1
1
V
/
H
). В
1
1
А1"
.
.
B
58
''
''
''
A
V
x
H
Для решения такой задачи следует провести две последовательные замены плоскостей. Вначале произведем замену
фронтальной плоскости проекций V на
системе координатных плоскостей
Новую ось
ной проекции горизонтали h. Плоскость треугольника
сматриваем в этом случае как множество горизонталей, которые
проецируются в точки, лежащие на одной прямой.
В результате этого преобразования плоскость треугольника
ABC
займет проецирующее положение. Чтобы перевести плоскость треугольника
случае треугольник
величину), следует провести еще одну замену плоскостей, т.е.
перейти к системе
проекции
Остальные геометрические построения не требуют
пояснения.
B
'
A
А''1 В''1 С''
'
1
''
С
l
B
'
1
'
С
l
A
x
выбираем перпендикулярно к горизонталь-
1
ABC
в положение плоскости уровня (в этом
ABC
будет проецироваться в натуральную
x
(
V
/
2
1
.
1
l
C
H
). Ось
1
''
A
,1
1
''
C
1
V
H
1
x
1
Рис. 6.13
''
B
1
'
1
l
C
'
С
2
V1,
т.е. перейдем к новой
x
(
V
/H).
1
1
х
проходит параллельно новой
2
V
2
x
1
1
H
l
B
'
A
B
'
2
2
l
A
ABC
рас-
59
Контрольные вопросы
1. В чем сущность метода замены плоскостей?
2. В чем сущность метода плоско-параллельного перемещения?
3. В чем сущность метода вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций?
4. В чем отличие метода вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций, от метода плоско-параллельного перемещения?
5. Как определяется положение центра вращения и величина
радиуса вращения точки при ее повороте вокруг горизонтали
и фронтали?
6.Сколько параллельных перемещений и в какой последовательности необходимо выполнить, чтобы перевести отрезок
прямой общего положения в отрезок фронтально- или горизонтально- проецирующей прямой?
7. Для решения каких задач удобно использовать метод вращения вокруг следа плоскости (совмещения)?
60
7. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Метрическими задачами называются задачи на
определение расстояний и величин углов между заданными
объектами.
Метрические задачи делятся на два класса: определение
расстояний и определение углов.
7.1. Определение расстояний
7.1.1. Определение расстояния между двумя точками
Эта задача решается различными способами. Основным
способом решения задачи является метод прямоугольного треугольника. Можно использовать метод замены плоскостей проекций, введя новую плоскость параллельно данному отрезку. Также
можно плоскопараллельным переносом отрезок переместить в
новое положение, параллельное какой-то плоскости проекций. В
этом случае отрезок спроецируется в натуральную величину.
7.1.2. Определение расстояния от точки до прямой
Это расстояние измеряется отрезком АВ, перпендикулярным прямой b (рис. 7.1).
Задача может быть решена различными способами:
а) через точку А провести плоскость α, перпендикулярную
прямой b. Найти пересечение плоскости α
расстояние АВ;
б) прямая b и точка А определяют в пространстве плоскость β. Применив известные способы преобразования чертежа,
сделать плоскость β параллельной какой-либо плоскости проекции. Тогда искомое расстояние спроецируется в натуральную
величину;
в) применив известные способы преобразования чертежа,
сделать прямую b проецирующей. Тогда искомое расстояние
определяется как расстояние между двумя полученными точками.
b = B
. Определить
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]