Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Учебное пособие
.pdf
101
Рис. 10.9
На рис. 10.9 показано
пересечение цилиндра и ко-
2"=3"
2'
5'
3'
5"
4"
4'
нуса по плоским кривым.
Обе поверхности описаны
вокруг одной сферы и пересекаются по двум эллипсам,
плоскости которых перпендикулярны V.
8'
1"
6"=7"
8"
6'
1'
7'
10.6. Построение линии пересечения поверхностей, одна из которых проецирующая
Поверхности цилиндра и призмы иногда могут располагаться по отношению к плоскостям проекций таким образом,
что образующие цилиндра или боковые ребра и боковые грани
призмы окажутся перпендикулярными какой-то плоскости проекций. Такое положение поверхности называется проецирующим.
Проекцией такой поверхности является окружность, если
это цилиндр, или многоугольник, если это призма. В таком случае построение линии пересечения поверхностей упрощается.
Рассмотрим пример: необходимо построить линию пересечения двух цилиндров, один из которых расположен верти-
102
y
Рис. 10.1
0
кально (рис. 10.10). Образующие такого цилиндра перпендикулярны плоскости Н. Второй полуцилиндр расположен таким образом, что образующие этого полуцилиндра перпендикулярны
плоскости W.
1"
2"
3"
4"
1'''
2'''
3'''
4'''
y
2
y
3
1'
2
y
3
При таком расположении цилиндров горизонтальная
проекция линии пересечения совпадает с окружностью –
горизонтальной проекцией цилиндра с вертикальной осью, а
профильная проекция линии пересечения совпадает с
полуокружностью – профильной проекцией полуцилиндра с
горизонтальной осью. Это происходит потому, что
вертикальный цилиндр занимает горизонтально-проецирующее
положение, а полуцилиндр – профильно-проецирующее
положение. Построение фронтальной проекции линии
пересечения осуществляется по правилам построения третьей
проекции точки, если известны две ее другие проекции.
Рассмотрим еще один пример: построим линию пересечения
конуса с цилиндром (рис. 10.11). Цилиндр занимает
горизонтально-проецирующее положение, следовательно,
горизонтальная проекция линии пересечения цилиндра и конуса
совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра, т.е.
окружностью. Чтобы построить фронтальную проекцию линии
2'
3'
4'
103
Рис. 10.1
1
пересечения, необходимо выбрать точки на окружности. Сначала
выбираем характерные точки линии пресечения. Это точки
1,2,3,4,5,6.
горизонтальные проекции
4"
1
1"
4'
1
1'
заданных поверхностей. В случае если характерных точек недостаточно для построения линии пересечения, выбираются произвольные промежуточные точки. Алгоритм их построения тот
же.
Одна проекция линии пересечения совпадает с проекцией проецирующей поверхности, а для построения f второй проекции
Точки
Так как это точки линии пересечения поверхностей, то они
2"
3"
6"
2'
3'
В других случаях построение осуществляется аналогично.
6'
4"
5"
4'
5'
1,6
являются крайними. Отмечают их
1,6.
одновременно принадлежат цилиндру и конусу. Точки
надлежат окружности основания конуса.
Используя эту принадлежность, находим фронтальные проекции точек
ка 3 также является характерной, так как она принадлежит
плоскости , проходящей через оси вращения данных поверхностей. В этой плоскости
находятся самая высокая и самая низкая точка линии пересечения. Точка 3 находится на
окружности, принадлежащей
конусу. Эта окружность на горизонтальную плоскость проекции проецируется в натуральную величину, а на фронтальную плоскость – в отрезок.
Построение точки 3
видно из рис. 10.11.
Как правило, характерные точки находятся на осях
1,6
16.
при-
Точ-
104
Рис. 10.1
2
Рис. 10.13
линии пересечения надо использовать принадлежность линии
второй поверхности.
Чтобы построить точку, принадлежащую поверхности,
надо через данную точку провести
линию, принадлежащую данной
поверхности. Это могут быть образующие, или окружности, в зависимости от поверхности.
2"
1"
1'
Так, на рис 10.12 показано
пересечение цилиндра с полусферой, на рис. 10.13 – цилиндра с
тором. Цилиндр в обоих случаях
занимает горизонтально-проецирующее положение, поэтому линия пересечения совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра –
окружностью. Далее построение
аналогично рис. 10.11.
3'
3"
K'
K"
D"
B'
D'
E"
B"
N'
N"
E'
R"
P"
C"
M"
A"
P'
2'
C'
M'
R'
A'
K"
2"
2'
1"
1'
A'
M"
B"
O"
A"
O'
B'=K'
M'
105
B
"
Рис. 10.1
4
На рис. 10.14 изображено пересечение тора с трехгранной
призмой и цилиндром. Призма занимает горизонтально-проецирующее положение, поэтому линия пересечения тора с призмой проецируется в треугольник, который является горизонтальной проекцией призмы. Цилиндр занимает фронтальнопроецирующее положение, соответственно фронтальная проекция линии пересечения совпадает с фронтальной проекцией цилиндра – окружностью.
A"
'
c"
G"
H"
C"
G'=H'
M"
E"
M'
c'=B'=C'
E'
D'
D"
F"
F'
b"
a"
K"
H
K'
a'
W
b'=A
106
Рис. 10.1
5
10.7. Пересечение поверхности плоскостью
10.7.1. Пересечение поверхности плоскостью
общего положения
Даны: поверхность и
плоскость α (рис. 10.15).
Необходимо построить ли-
нию пересечения.
Для построения линии пересечения воспользуемся методом секущих плоскостей. Пересечем обе поверхности секущей
плоскостью. Так как плоскость σ
параллельна плоскости Н, то ли-
ния пересечения α σ
Линией пересечения поверхности и плоскости σ является кривая
ляются общими точками поверхности и плоскости α. Повторив эту операцию несколько раз, получим точки линии пересечения поверхности и плоскости.
щения и плоскость α
ские объекты плоскостью β
вращения и плоскости β является параллель р.
h
. Так как параллель р и горизонталь
1
β, то они пересекаются в точках 1 и 2, которые принадлежат ли-
нии пересечения поверхности плоскостью. Проведя достаточное
количество секущих плоскостей, построим достаточное количество точек линии пересечения. Но прежде чем строить промежуточные точки по принципу, рассказанному выше, необходимо
построить характерные точки линии пересечения.
a.
Точки пересечения кривой a и прямой b (точки А и В) яв-
Рассмотрим пример: на рис. 10.16 дана поверхность вра-
Плоскость β и плоскость α пересекаются по горизонтали
= b
является горизонталью.
=f h
. Пересечем заданные геометриче-
A
a
h
. Пересечением поверхности
h
лежат в одной плоскости
1
s
B
b
c
107
f
"
Рис. 10.1
6
Рис. 10.1
7
3"
1"
i"
K"
2"
V
h'
H
s
H
i'=K'
3'
1'
2'
Для определения точек, принадлежащих главным меридианам, необходимо провести секущую плоскость . Эта плоскость
пересечет поверхность вращения по главным меридианам, а
плоскость α – по фронтали
чим точки 3 и 4.
Построение самой высокой и самой низкой точек показано на рис. 10.17. Чтобы построить эти точки, необходимо поверхность вращения и плоскость α пересечь плоскостью δ, проходящей через ось вращения и перпендикулярную горизонтали
h
плоскости α.
Плоскость α и плоскость δ пересекутся по линии ската S, а
поверхность вращения – по меридианам. Линия ската S пересекается с осью вращения поверхности. Для нахождения самой
высокой и самой низкой точек плоскость δ повернем вокруг оси
i
до положения, параллельного плоскости V. Тогда вращаемые
меридианы совместятся с главными меридианами, а линия ската
займет положение
движной. Отметим точки пересечения главных меридианов с
повернутой прямой. Это точки
лучаем точки 5 и 6.
S
. При этом точка
1
f"
1
s"
i"
4"
p"
h"
1
h"
f'
s'
4'
f'
p'
1
h'
1
f
. На пересечении этих линий полу-
1
5
и
6
1
f"
5"
K"
1
5"
f'
h'
i'=K'
5'
90
s
H
К= si
. Обратным поворотом по-
1
остается непо-
s"
s"
6"
1
6"
1
h"
s'
6'
o
s'
1
108
Рис. 10.1
8
w
>
а
)
=
б
)
W
в
)
г
)
<
Рис. 10.19
10.7.2. Конические сечения (сечения прямого
кругового конуса плоскостью частного положения)
Если секущая плоскость не параллельна ни
одной из образующих конуса, то в сечении получается эллипс (рис. 10.18а).
Если секущая плоскость параллельна одной
образующей, то в сечении
будет парабола
(рис. 10.18б).
а)
б)
в)
Если пересечь конус
плоскостью, параллельной двум его образующим, то в сечении получится гипербола (рис. 10.18в).
Признаки, по которым можно определить вид кривой, даны
на рис. 10.19:
а) >
б) =
в) <
г)
– эллипс;
– парабола;
– гипербола;
= 0 – гипербола.
в частности
к
ч
о
Т
S
v
Окружность
=
90
1
S
а
v
я
S
с
п
и
л
л
Э
Q
а
м
я
р
п
я
а
н
й
б
о
а
в
р
Д
а
П
1
v
W
а
Q
v
а
л
о
л
о
б
р
е
п
и
Г
е
ы
м
я
р
п
е
в
Д
v
в частности
1
v
W
=0
Гипербола
v
109
Рис. 10.2
0
Рассмотрим построение линии пересечения конуса вращения фронтально-проецирующей плоскостью Q (рис. 10.20). В сечении получим эллипс. Так как плоскость Q перпендикулярна
плоскости V, то эллипс на фронтальную плоскость проекций проецируется в отрезок
эллипса, а малая ось эллипса проецируется в середину отрезка
КР
– в точку Е.
Для построения горизонтальной проекции эллипса необходимо на заданном отрезке выбрать несколько точек и провести через них образующие или параллели конуса. Затем построить горизонтальные проекции образующих и параллелей. Используя принадлежность точек соответствующим образующим
или параллелям, построить горизонтальную проекцию эллипса.
КР
. Этот отрезок является большой осью
Qv
K"
K'
5"=6"
E"=3"=4"
1"=2"
3'
1'
P"
5'
P'
3'''
5'''
1'''
P'''
K'''
E'''
6'''
4'''
2'''
E'
2'
Используя те же принципы, можно построить проекции
линии пересечения в остальных случаях.
На рис. 10.21 конус пересечен горизонтальнопроецирующей плоскостью Q. В сечении получим гиперболу. Так
6'
4'
110
Рис. 10.2
2
1
"
Рис. 10.2
1
как горизонтальная проекция плоскости Q совпадает с горизонтальным следом, то горизонтальной проекцией гиперболы является отрезок
данном отрезке необходимо выбрать несколько точек и построить
их фронтальные проекции. Для этого на отрезке
сколько точек, через которые проведем образующие или параллели
конуса. Построив фронтальные проекции выбранных образующих
или параллелей конуса, построим фронтальные проекции выбранных точек (например: F и G).
лежит в плоскости TQ. На горизонтальной проекции имеем
Q
T
h
образующей SK. Это будет прямая
Аналогичным способом строим точку D. Берем D на образующей
SN,
ВА.
Чтобы построить фронтальную проекцию гиперболы, на
АВ
выберем не-
Обязательно надо построить самую высокую точку С. Она
.
H
Чтобы построить С, надо построить фронтальную проекцию
SК.
На ней получим точку С.
строим
SN,
затем точку
S"
D.
Эту точку необходимо строить
o
7"=8"
90
5"=6"
С =
T
N"
N'
O"
C"
D"
F"
K"
E"
G"
A"
1"
B"
B'
F'
S'
A'
G'
1'
Q
h
D'
C'
h
E'
K'
3"=4"
6'
8'
1'
O'
7'
5'
4'
3'
2"
2'
v
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]