Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Учебное пособие
.pdf
91
Контрольные вопросы
1. В чем сущность образования поверхностей кинематическим
способом?
2.Что называется каркасом поверхности?
3. Что такое определитель поверхности?
4. Что является содержанием геометрической и алгоритмической частей определителя?
5. Как задается поверхность на эпюре Монжа?
6. Что такое очерк поверхности?
7. Как образуются поверхности вращения?
8. Укажите основные свойства поверхности вращения.
9. Как образуются винтовые поверхности?
92
Рис. 10.1
10. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
10.1. Алгоритм решения задач на пересечение поверхностей
Линия взаимного пересечения поверхностей (ЛВПП) –
это кривая, точки которой принадлежат одновременно обеим
поверхностям.
В начертательной геометрии линию пересечения двух
поверхностей находят с помощью приема, который называется
способом вспомогательных секущих поверхностей.
Этот способ продемонстрирован на рис. 10.1.
Пусть надо построить линию пересечения двух поверхностей
Ф
и
Ф
. Выбирается третья поверхность Ф. Затем нахо-
1
2
дится линия пересечения поверхностей Ф и
расположение поверхности Ф относительно данных поверхностей должны быть выбраны так, чтобы в пересечении получились простые по форме линии (прямая или окружность). Таким
образом, проекции этих линий можно легко построить. Последовательность действий можно представить алгоритмом:
1) выбор вспомогательной секущей поверхности Ф;
2)
ФФ
= m
, ФФ
1
1
3)
m
= А, m
1 m2
Полученные точки
= m
2
1 m2
А, (N)
2
;
= (N)...
и т.д. принадлежат обеим поверхностям одновременно, следовательно, принадлежат искомой линии пересечения.
Ф1, Ф и Ф
. Вид и
2
c
m
1
F
1
A
m
2
F
F
2
93
F
ис. 10.
2
10.2. Метод секущих плоскостей
При построении линии пересе-
2
F
1
m
2
А
1
m
10.2.1. Применение метода секущих плоскостей
На чертеже даны конус и полусфера (рис. 10.3).
В данном случае в качестве вспомогательных секущих
плоскостей необходимо выбрать плоскости, параллельные
горизонтальной плоскости проекций, так как такие плоскости
пересекают конус и полусферу по окружностям.
Построение линии пересечения ЛВП необходимо начать с
построения опорных точек: самой высокой и самой низкой в
данном случае. В других случаях это может быть самая левая
или самая правая точки. Пересечем обе поверхности плоскостью
V
результате пересечения получим линии, которые являются
фронтальными очерками данных поверхностей. Точка
пересечения очерков 1 является точкой, принадлежащей линии
пересечения.
плоскости, то точки пересечения окружностей 2 и 3 также
являются общими точками для данных поверхностей.
и проходящей через оси вращения поверхностей. В
Так как основания обеих поверхностей лежат в одной
чения двух поверхностей методом
секущих плоскостей в качестве
вспомогательной секущей поверхности выбирается плоскость. Вспомогательная плоскость выбирается таким образом, чтобы она пересекала
данные поверхности по прямым или
окружностям. Алгоритм в этом случае будет следующим (рис. 10.2):
1) выбор вспомогательной плоскости ;
2) находим линии пересечения
Ф
3)
1
m
1
= m1, Ф
m2 = A, m
= m
2
m2 = (В)
1
при решении задач
;
2
, … и т.д.
94
Рис. 10.3
Точки
точки
плоскостью , расположенной ниже точки 1 и выше точек 2 и 3.
Эта плоскость пересечет обе поверхности по окружностям
m
, найдем точки пересечения полученных окружностей
2
: n2 m2 = 5.
Точки
лусферы. Повторив это действие необходимое число раз, построим линию пересечения данных поверхностей.
1, 2, 3
являются опорными, точка 1 – самая высокая,
2, 3
– самые низкие. Теперь обе поверхности пересечем
n2 m2 = 4,
4, 5
принадлежат линии пересечения конуса и по-
S"
4"=5"
2"=3"
0"
1"
k"
B"
F
"
2
m"
m"
m"
3
2
1
v
v
v
n"
n"
n"
A"
1
F
3
2
1
"
n
и
2
3'
F
'
1
F
'
2
5'
O'
1'
k'
B'
m'
m'
m'
3
1
2
n'
n'
A'
3
2
n'
S'
4'
1
2'
95
i
"
Рис. 10.4
10.3. Метод концентрических сфер
В этом случае в качестве
вспомогательных секущих поверхностей
A"
a"
b"
B"
верхность вращения с той же осью i. Если
опишет окружность, которая является общей для обеих поверхностей, следовательно, является линией их пересечения.
Если ось i перпендикулярна плоскости Н, то окружность,
описываемая точкой А, проецируется на фронтальную плоскость
проекций в отрезок, а на горизонтальную плоскость в окружность.
Из сказанного можно сделать следующие выводы.
1. Для того чтобы вспомогательная секущая сфера
пересекала по окружностям две заданные поверхности
вращения, центр сферы должен лежать в точке пересечения осей
этих поверхностей.
2. Если оси заданных поверхностей вращения параллельны плоскости проекций, то окружности пересечения вспомогательной секущей сферы с этими поверхностями проецируются
на эту плоскость в отрезки.
Теперь можно сформулировать условия, необходимые для
применения метода концентрических секущих сфер:
1) заданные поверхности должны быть поверхностями
вращения;
2) оси вращения заданных поверхностей должны пересекаться;
3) плоскость, проходящая через оси вращения заданных
поверхностей, должна быть параллельна какой-нибудь
плоскости проекций.
опорных точек.
n"
O"
Построение линии пересечения начинается с построения
выбираются концентрические сферы.
Применение этого метода основано
на следующем свойстве: две поверхности
вращения, имеющие общую ось (соосные
m"
поверхности), пересекаются по окружностям (рис. 10.4). Действительно, кривая m
образует поверхность вращения с осью
вращения i, кривая n образует вторую по-
m n = А
, то точка А
96
Опорные точки определяются при пересечении фронталь-
ных очерков заданных поверхностей.
На рис. 10.5 точки
очерковых образующих и являются опорными. Отрезок
1, 2, 3, 4
образуются при пересечении
0''4''
определяет сферу максимального радиуса. Таким образом, радиус максимальной сферы равен расстоянию от центра сферы до
наиболее удаленной опорной точки. Сфера минимального радиуса должна быть вписана в одну поверхность и пересекать другую. Для определения такой сферы необходимо провести перпендикуляр из центра О к очерковым образующим обеих заданных поверхностей. Величина большего перпендикуляра определяет радиус минимальной сферы. Сфера минимального радиуса
касается поверхности конуса по окружности
линдр по окружности
стей образуются точки
b
и
b
1
C и D.
. При пересечении этих окружно-
2
a
и пересекает ци-
1
Для построения промежуточных точек необходимо вы-
брать сферу радиуса R, где
Для этого из центра
ность произвольного радиуса
Сфера R1 пересекает конус по окружностям
линдр – по окружностям
R
< R<
R
min
О= i2 i
R
, являющуюся проекцией сферы.
1
b
и
b
. На пересечении отрезков, в ко-
3
4
.
max
нужно провести окруж-
1
а
и
а
, а ци-
2
3
торые проецируются вышеуказанные окружности, получаются
точки 5 и 6.
Для построения других промежуточных точек нужно из
точки О описать ряд концентрических окружностей и проделать те же построения.
i
"
Rmax
Рис. 10.5
F"
F'
1"
l"
b"
1'
6"
N"
A"=B"
2"
B'
6'
A'
8'
8"
N'
C"
C'
97
2
3"
i"
a"
7"
4
a"
D"
2
M"
O"
a"
b"b"
3
1
1
b"
2
Rmin
b"
4"
4
a"
5"
1
y
a'
y
O'=i'
3'
2
5'
i'
1
y
7'
a'
D'
2
4'
M'
98
10.4. Метод эксцентрических сфер
Способ эксцентрических сфер может быть использован
для построения линии пересечения двух поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии. При этом каждая поверхность должна иметь множество окружностей. Как и в способе
концентрических сфер, плоскость симметрии должна быть параллельна одной из плоскостей проекций.
Способ эксцентрических сфер можно применять и в тех
случаях, когда одна из пересекающихся поверхностей не является поверхностью вращения. Необходимым условием является
наличие на этой поверхности множества окружностей, которые
можно рассматривать как результат пересечения поверхности со
сферой. В число условий входит также условие, чтобы перпендикуляры, проведенные из центров круговых сечений, пересекали ось поверхности вращения.
Рассмотрим пересечение конуса и тора (рис. 10.6). Ось конуса параллельна V, а ось вращения тора j перпендикулярна V. Ocь
конуса i и круговая ось тора q лежат в общей плоскости симметрии
, параллельной плоскости V. По отношению к плоскости V плоскость является главной меридиональной плоскостью Поэтому
плоскость пересекает конус по образующим, а тор – по двум ду-
гам окружности. Оба сечения проецируются на плоскости V очерковыми линиями проекций тора и конуса. Очерковые линии пересекаются в точках 1 и 2, которые являются проекциями точек 1 и
2
, принадлежащими линии пересечения рассматриваемых поверхностей. Эти точки являются опорными. Проведем через ось тора
плоскость Г. Плоскость Г пересечет тор по окружности
круговую ось – в точке С. Окружность р проецируется на плоскость
V
отрезком р , равным ее диаметру.
Определим точки 3 и 4 пересечения окружности р с поверхностью конуса. Для этого заключим окружность р в вспомогательную сферу. Центр сферы должен находиться на оси конуса. Только в этом случае сфера пересечет конус по окружности, поэтому проекцию центра сферы О найдем как точку пересечения касательной
конуса. Радиус сферы равен R. Сфера пересечет конус по
СО
к центровой окружности тора с осью
р
, а его
j
99
i
"
Рис. 10.6
окружности
располагаются на одной сфере и, следовательно, пересекаются в
точках 3 и 4, принадлежащих искомой линии пересечения конуса и тора. Другие точки, принадлежащие пересечению конуса с
тором, строятся по только что рассмотренному алгоритму с помощью других радиальных плоскостей.
р
. Окружность кольца р и окружность
1
F"
3"=4"
K"
3
C"
2"
4"
K"
B"
1
12"
F
6"
10"
"
F
2
1v
3"
"
1
A"
"
2
11"
"
1
G
v
p"
1
9"
3v
O"
5"
l"
p"
1
O"
"
1
q"
p
1
конуса
j"
O"
3
10.5. Особые случаи пересечения двух поверхностей
2-го порядка
Теорема 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и еще
по одной плоской кривой (рис. 10.7).
1"
100
Рис. 10.8
1"
2"=3"
C"
E"
A"=B"
F"
D"
3'
1'
2'
Рис. 10.7
B'
C'=E'
D'=F'
A'
Теорема 2. Если две поверхности второго порядка имеют
касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на
две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания (рис. 10.8).
Теорема 3. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка или вписаны в
нее, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания. Эта теорема носит
название теоремы Монжа (рис. 10.9).
Иллюстрацией к теореме 2 является рис. 10.8, на котором
цилиндрическая поверхность соприкасается в точках А и В с эллиптическим цилиндром. В соответствии с теоремой линия пересечения поверхностей распадается на две плоские кривые (эллипсы), плоскости которых будут перпендикулярны V. Фронтальные проекции эллипсов проходят через точки пересечения
проекций очерков поверхностей и через проекцию точек соприкосновения
А =В.
Горизонтальные проекции эллипсов могут
быть построены как плоские сечения конической или цилиндрической поверхности.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]