Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Учебное пособие
.pdf
121
a
"
Рис. 11.8
Отсюда непосредственно видны точки пересечения M и N (рис.
11.8).
M"
N"
M"
N"
a"
a'
M'
1. Напишите и дайте пояснение алгоритма решения задачи по
определению точки встречи прямой с плоскостью.
2. В чем состоит содержание алгоритма решения задачи для
определения точек пересечения линии с поверхностью?
3. Чем следует руководствоваться при выборе вспомогательной
секущей поверхности при определении точек пересечения линии с поверхностью?
4. В каком случае можно для упрощения решения задачи по
определению точек встречи прямой с поверхностью применять
способ вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции?
N'
Контрольные вопросы
a'
M'
N'
122
12. РАЗВЕРТКИ
При изучении построения разверток поверхности
рассматривают как гибкую нерастяжимую пленку. Некоторые
поверхности при изгибании можно совместить с плоскостью без
разрывов и склеивания. Такие поверхности называют
развертывающимися, а полученную плоскую фигуру разверткой. Поверхности, которые нельзя совместить с
плоскостью, относятся к неразвертываемым.
Построение разверток имеет большое практическое применение, так как позволяет изготавливать разнообразные изделия из листового материала путем его изгибания.
12.1. Основные свойства разверток поверхностей
Каждой точке (фигуре) на поверхности соответствует точка
(фигура) на развертке и наоборот.
На основании этого можно сформулировать следующие свойства:
1. Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой. Следствие: замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивают одинаковую площадь.
2. Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке.
3. Прямой на поверхности соответствует прямая на развертке.
4. Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке.
12.2. Развертка поверхности многогранников
Под разверткой многогранной поверхности подразумевают плоскую фигуру, составленную из граней этой поверхности,
совмещенных с одной плоскостью.
Существуют три способа построения развертки многогранных поверхностей: способ треугольников (триангуляции);
способ нормального сечения; способ раскатки.
123
12.2.1. Способ треугольников (триангуляции)
Этот способ применяется для построения развертки пирамидальных поверхностей. Сущность метода состоит в последовательном совмещении всех граней пирамиды (грани представляют собой треугольники) с плоскостью.
Пример. Построить развертку боковой поверхности пирамиды
SABC
(рис. 12.1).
Развертка боковой поверхности пирамиды представляет
собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников – граней
пирамиды. Поэтому построение развертки поверхности
пирамиды сводится к определению действительной величины
ребер пирамиды и построению по трем сторонам треугольников
– граней пирамиды (рис. 12.1).
Определение действительной длины ребер пирамиды выполнено с помощью вращения их вокруг оси
Путем вращения ребра пирамиды совмещаются с плоскостью
(плоскость
ствительные величины ребер
||V
и
i
). После того как будут определены дей-
[SA2], [SB2], [SC2],
построению развертки. Для этого из произвольной точки
водят произвольную прямую а. Откладывают на ней от точки
[SoAo][SA2].
из точки
ложение вершины
треугольник
точки
So и А
поверхности пирамиды
Из точки
S
– радиусом
o
В
треугольника
о
SAB
– грани пирамиды). Аналогично находятся
. Соединив точки
О
А
проводят дугу радиусом
О
R
=SB2.
I
Пересечение дуг укажет по-
S0A0B
0
AoBoCoA0S
SABC
.
i (iS и i H).
приступают к
S
про-
o
r1= |АВ,
(треугольник
, получим развертку
o
SoAoBo =
S0
12.2.2. Способ нормального сечения
Способ применяется для построения развертки
призматических поверхностей при условии, если ребра призмы
параллельны какой-либо плоскости проекции. Если ребра
занимают произвольное положение, то перед построением
развертки следует преобразовать чертеж.
Пример. Построить развертку наклонной трехгранной
призмы
ABCDEF
(рис. 12.2).
а
i"
Рис. 12.1
I
I
124
S"
A
2 2 2
A"C B
B"
i'=S'
H
C
1
B
1 1
A
A'
A
o
r
1
=
I
A
'
B
'
Пересечем призму
ной к боковым ребрам призмы. Построим сечение заданной
призмы этой плоскостью – треугольник
ствительную величину сторон треугольника
ном месте чертежа проводим прямую а. От произвольной точки
1
, взятой на этой прямой, откладываем отрезки
0
[Зо10],
10203о1
кладываем на них от точек
соответствующим действительным величинам отрезков боковых
конгруэнтные сторонам треугольника
проводим прямые, перпендикулярные к прямой а, и от-
о
ABCDEF
1о,2о, Зо, 1о
C"
C'
A
B'
I
a
S
o
R
1
=
I
S
"
B
2
I
B
r
o
2
=
I
B
плоскостью , перпендикуляр-
отрезки, конгруэнтные
"
S
2
I
=
R
3
R
2
=
I
S
"
С
2
I
C
o
'
C
'
I
123
. Определяем дей-
123
. В произволь-
123.
A
=
3
r
[1о2о], [2оЗо],
Через точки
C
I
o
'
A
'
ребер
Рис. 12.2
B"A
2"E
"
([1А], [1Д, [2В], [2Е],
и D0EoFoD0
соединяем прямыми.
125
... и т.д.). Полученные точки
А0В0СоА0
A'
а
"
A
C"
1"
3"
D"
F"
B'
2'
E'
1'
D'
C'
3'
H
A
o
B
1
o
o
C
o
2
o o oo
3
F'
A
1
x
1
2
o
1
3
o
o
o
D
o
E
o
D
o
F
D
o
o
126
Плоская фигура
AoBoCoAоDoFoToD
представляет собой раз-
o
вертку боковой поверхности призмы.
Чтобы получить полную развертку призмы, необходимо к
развертке боковой поверхности пристроить основания призмы
треугольников
АоВоС
и
о
DoEoF
, предварительно определив их
o
действительную величину.
12.2.3. Способ раскатки
Этот способ используют для построения развертки призмы в том случае, если основание призмы параллельно какойлибо плоскости призмы, а ее ребра параллельны другой плоскости проекции.
Пример. Построить развертку боковой поверхности
наклонной трехгранной призмы
ABCDEF
(рис. 12.3).
Примем за плоскость развертки плоскость , проходящую
через ребро AD, параллельную фронтальной плоскости проек-
ции. Совместим грань
ADEB
с плоскостью . Для этого мыслен-
но разрежем поверхность призмы по ребру AD, а затем осуществим поворот грани
ADEB
вокруг ребра
AD (AD).
Для нахождения совмещенного с плоскостью положения
ребра
AD
центра
ную
и вращаем вокруг нее грань
совмещенному ребру
диусом, равным
положение точки
находим положение ребра
DE0F0D
В0Е
из точки
0
, и засекаем на нем дугой радиуса
А,
точку
(АD).
В
. Через
0
В
проводим луч, перпендикулярный к
АВ,
В
проводим прямую
0
Принимаем совмещенное положение ребра
BEFC
до совмещения с плоскостью .
Для этого из точки
ВС;
С
о
Через
С
проводим
о
прямыми, получим фигуру
0
С
проводим луч, перпендикулярный к
B0E
, а из точки
0
В
– дугу окружности ра-
0
пересечение дуги с лучом определит
.
C0F
параллельно
0
A0D
. Соединив точки
0
ABoCoAoDoFoEoD
проведенной из
ВоЕ
, параллель-
о
ВоЕ
за новую ось
о
В0Е
. Аналогично
0
ABoCoFo
– развертку
боковой поверхности призмы.
127
D
Рис. 12.3
Для получения полной развертки призмы достаточно к какому-либо из звеньев ломаной линии
строить треугольники основания
АоВоС
АBоСоАо и DEoFoDo
и
DoEoF
о
.
o
по-
F
o
D
o
E
o
D"
E"
F"
C"
B"
F'
C'
D'
E'
12.3. Построение разверток
конических и цилиндрических поверхностей
Для построения развертки конических и цилиндрических
поверхностей применяют три описанных выше способа. При
этом конические и цилиндрические поверхности заменяют (аппроксимируют) пирамидальными и призматическими поверхностями с произвольным числом граней. Очевидно, что чем больше граней, тем точнее развертка поверхности.
Прием аппроксимации конической поверхности пирамидальной показан на рис. 12.4, цилиндрической – на рис. 12.5.
B'
A"
A'
B
o
A
o
C
o
B
o
o
128
S
"
Рис. 12.4
0
3 2
1
S
o
0'
S
6 5 4
1'
6
o
5'
6'
S'
0
5
o
4
o
3
o
2
o
1
o
o
2'
3'
4'
12.4. Условная развертка поверхностей
Неразвертываемые поверхности не могут быть совмещены с
плоскостью без разрывов и склеивания, т.е. теоретически неразвертываемые поверхности не имеют своей развертки. Поэтому в данном случае можно говорить лишь об условном решении задачи по
построению разверток неразвертываемых поверхностей.
Общий прием решения задачи на построение условной
развертки неравертываемой поверхности состоит в том, что отсеки заданной поверхности аппроксимируются отсеками развертывающихся поверхностей – гранными, цилиндрическими или
коническими. Построение разверток отсеков гранных, цилин-
129
10"
Рис. 12.5
дрических или конических поверхностей ведется методами, изложенными в этой главе ранее.
8"
7"
6"
7' 6'
8'
5"
9"
4"
5'
9'4'10'
11"
3"
3'
11'2'12'
12"
2"
2
1"
1'
o
3
o
4
o
5
o
6
o
7
o
8
o
9
11
10
oo
o
12
o
1
o
Контрольные вопросы
1. Что называется разверткой поверхности?
2. Какие поверхности относятся к развертывающимся?
3. Перечислите свойства поверхности, которые сохраняются на
ее развертке.
130
4. Назовите способы построения разверток и сформулируйте
содержание каждого из них.
5. В каких случаях для построения развертки используются способы: нормального сечения, раскатки, треугольников?
6. В чем состоит общий прием решения задачи на построение
условной развертки неразвертываемых поверхностей?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]