Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Учебное пособие
.pdf
111
обязательно, так как в этой точке происходит переход с видимой
на невидимую сторону поверхности.
10.7.3. Сечение сферы плоскостью частного положения
На рис. 10.22 сфера пересекается фронтально-проецирующей плоскостью.
Окружность, по которой плоскость пересекает сферу, на
плоскость Н проецируется в эллипс. На фронтальную плоскость
проекций эта окружность проецируется в отрезок
щий на следе
. Строим точки 1 и 2, это горизонтальные про-
v
12,
лежа-
екции самой высокой и самой низкой точек сечения. Большая
ось эллипса на горизонтальной плоскости проекций определяется
точками 5 и 6, которые получаются при пересечении плоскостью Т, проходящей через центр сферы, перпендикулярной
плоскости .
Для построения горизонтальных проекций точек воспользуемся параллелями сферы, проходящими через выбранные точки. Обязательно нужно выбрать точки 3 и 4, лежащие на экваторе, так как они являются точками перехода с видимой на невидимую сторону поверхности.
10.7.4. Сечение сферы плоскостью общего положения
Построение линии пересечения поверхности плоскостью
частного положения значительно проще, чем решение той же
задачи с плоскостью общего положения. Используя какой-либо
метод преобразования чертежа, можно плоскость общего положения перевести в частное, тем самым упростив построение линии пересечения.
На рис. 10.23 даны сфера и плоскость α
= f h
. Рассмат-
риваемый случай можно свести к предыдущему, совершив замену плоскости V на новую
плоскостей проекций
сечение проецируется в отрезок, принадлежащий следу α
V1 H
V
выбрав
,
1
V1 h
. В новой системе
плоскость α стала проецирующей,
. Го-
ν1
ризонтальную проекцию сечения можно построить таким же
способом, как в предыдущей задаче. Чтобы построить фрон-
112
тальную проекцию линии пересечения, можно сделать еще одну
замену плоскостей проекций: заменим плоскость Н на новую
плоскость
лярной
Н
, где
Н
1
Н
, а следовательно, плоскость сечения спроецируется в
1
f. Тогда плоскость α станет перпендику-
1
отрезок, принадлежащий следу αн1.
Дальнейшие построения аналогичны предыдущему.
113
у
у
=
А
B
у
f'=A'
1
h"
B"
f
O'
1
6'
1
1
B'
7'=8'
1
у
O
1
5'
1
1
V
H
A"
A'
X
4"
8"
X
2
V
H
1
f"
3"
6"
O"
5"
7"
f'
3'
7'
O'
1'
8'
2'
Z
A"
A
H
1
V
Z
1
O
2"
h'
B'
Z
B
4'
3"=4"
1
1
1
O"
1
1"
=
Z
h
1
B"=h"
1
1
Рис. 10.23
114
Х
Рис. 10.2
4
Х
Рис. 10.2
5
10.7.5. Сечение проецирующей поверхности
плоскостью общего положения
На рис. 10.24 пересекаются горизонтально-проецирующий
цилиндр и плоскость α.
Так как цилиндр занимает горизонтально-проецирующее
положение, то горизонтальной проекцией цилиндра является
окружность, следовательно, горизонтальная проекция линии
пересечения совпадает с окружностью. Необходимо построить
фронтальную проекцию линии пересечения.
Для построения фронтальной проекции линии пересечения через выбранные точки можно провести горизонтали плоскости и на них построить фронтальные проекции точек. Для
нахождения самой высокой и самой низкой точек необходимо
через ось вращения цилиндра провести плоскость, перпендикулярную горизонтальному следу αн. Это точки M и N. Для их построения также используются горизонтали. Для построения
фронтальной проекции линии пересечения также можно использовать фронтали плоскости, как показано на рис. 10.25.
v
2"
6"
M"
4"
3"
N"
5"
1"
1"
v
2"
4"
3"
5"
Н
6'
2'
M'
4'
N'
1'
Н
2'
1'
3'4'
5'
3'
5'
115
Контрольные вопросы
1. Изложите общий принцип построения обобщенного алгоритма для решения задачи по определению линии пересечения поверхностей.
2. В каких случаях для определения линии пересечения двух
поверхностей можно применять способ
а) концентрических сфер;
б) эксцентрических сфер?
3. Какие точки линии пересечения поверхностей называются
опорными?
4. Что представляют собой фронтальные проекции линии пересечения двух поверхностей вращения второго порядка, имеющих общую плоскость симметрии, параллельную плоскости V?
5. Какая зависимость существует между порядком пересекающихся поверхностей и порядком линии, полученной в результате их пересечения?
6. Сформулируйте условия (теоремы), при которых кривая – линия пересечения поверхностей – распадается на две кривые второго порядка?
7. Приведите примеры, когда кривая – линия пересечения двух
цилиндрических поверхностей – распадается на одну, две, три,
четыре прямых?
8. В каких случаях плоскость пересекает поверхность прямого
кругового конуса: по двум пересекающимся прямым, по окружности, эллипсу, параболе, гиперболе?
116
Рис. 11.1
11. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
11.1. Алгоритм построения точки пересечения
линии с поверхностью
На рис. 11.1 даны линия l и поверхность Ф.
Для построения точек или точки пересечения линии с по-
верхностью используется следующий алгоритм:
1) заключаем линию l в некоторую поверхность Л;
2) строим линию пересечения m поверхности Л с поверх-
ностью Ф;
3) определяем искомую точку К пересечения m с линией l.
l
L
m
K
F
11.2. Пересечение прямой с многогранником
Пусть даны пирамида и призма (рис. 11.2).
1. Заключим прямую b во фронтально-проецирующую
плоскость α, тогда проекция плоскости совпадает со следом αv .
2. Находим пересечение плоскости α с пирамидой. В сечении получится многоугольник
многоугольника
следу α
.
Точки
v
6''7''8''9''10''
6, 7, 8, 9, 10
678910
является отрезком, принадлежащим
являются пересечением плоскости
. Фронтальная проекция
117
d
Рис. 11.3
S
"
Рис. 11.2
α с ребрами пирамиды. Используя это, строим горизонтальную
проекцию многоугольника
3. Находим точки пересечения прямой b с многоугольником
678910
определяем фронтальные проекции
зям. Аналогичным образом находится точка пересечения прямой с призмой (рис. 11.3).
6"
b"
1'
чения конуса с прямой b. Для решения задачи используем тот же
алгоритм:
.
Сначала находим горизонтальные проекции
S'
7"
2"
8"
9"
D"
4"
2'
7'
8'
D'
9'
4'
10"
C"
5"
1"
6'
C'
10'
5'
11.3. Пересечение прямой с конусом
На рис. 11.4 даны конус и прямая b. Найти точки пересе-
v
3"
3'
b'
6'7'8'9'10'
.
C''D''
по проекционным свя-
"
=
W
v
A"
a"
K"
B"
b"
c"
d'
B'
K'
b'
a'
A'
c'
M'
C'D'
M"
C'
, затем
C"
118
S
"
H
Рис. 11.4
1. Заключим прямую b в плоскость, проходящую через
вершину конуса. Зададим точку
следовательно, зададим плоскость α
2. Находим пересечение плоскости α с конусом. Плоскость α пересекает конус по двум образующим. Чтобы построить эти образующие, необходимо построить пересечение плоскости α с плоскостью основания конуса. Так как основание конуса принадлежит плоскости Н, то для плоскости α необходимо
построить горизонтальный след αН. Через точки пересечения 1 и
2
следа αН с основанием конуса проходят искомые образующие
S
и
S2
(рис. 11.4а).
1
3. Точки пересечения
b
являются точками встречи прямой b с конусом (рис. 11.4б).
Аналогичным образом решается задача пересечения пря-
мой с цилиндром (рис. 11.5).
A
C
К
1
1
a)
S
g
К
B
2
2
H
Сb
и проведем прямую SC,
(b SC)
К
и
К
образующих
1
2
.
S
и
S2
1
с прямой
C"
K"
1
K"
H"
SC
1"
S"
1
2
S"
b"
H"
2
b
2"
S'
K'
S'
S'
2
1
1
K'
2
H'
b
2'
б)
H'
SC
C'
1'
119
C
"
Рис. 11.5
K
1
D
11.4. Пересечение прямой со сферой
Построение точки пересечения прямой со сферой пока-
зано на рис. 11.6.
Заключим прямую l в горизонтально-проецирующую
плоскость α.
1. Пересечением плоскости α со сферой является окружность, которая на горизонтальную плоскость проекций проецируется в отрезок, принадлежащий следу αН , а на фронтальную
плоскость проекций – в эллипс.
2. Чтобы не строить эллипс на фронтальной плоскости
проекций, необходимо сделать замену плоскостей проекций.
Выбрать плоскость
руется в натуральную величину.
Построив новую проекцию прямой l, получим точки
встречи K и L.
В остальных случаях точки пересечения строятся по алго-
ритму (например, рис. 11.7).
C
K
2
2
1
а)
H
V1
α, тогда получим, что сечение спроеци-
D"
n"
D'
n'
K"
H
K'
n
K"
2
m"
b"
1
1"
K'
1
b'
2"
C'
2
m'
H
2'
H
1'
б)
m
120
l
"
Рис. 11.6
H
Рис. 11.7
L"
O"
K"
O'
m'
L'
K'
'
l
=
H
Прямую а заключаем в горизонтально-проецирующую
плоскость δ.
1. Линия пересечения b плоскости δ с поверхностью на
горизонтальную плоскость проекции проецируется в отрезок,
принадлежащий следу δН.
Строим фронтальную проекцию линии пересечения b, ис-
пользуя параллели данной поверхности.
2. На фронтальной плоскости проекций находим точки
и
N''
, затем строим М' и N'. Точки М и N являются точками встре-
чи данной прямой с поверхностью.
11.5. Построение точек пересечения прямой
Цилиндр или призма, занимающие проецирующее поло-
жение, проецируются либо в окружность, либо многоугольник.
K"
с проецирующей поверхностью
1
x
H
1
V
O"
1
L"
m"
1
1
l"
1
1
M"
M'
b"
1"
1'
b'
N"
N'
2'
a"
2"
a
=
'
М''
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]