Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия. Учебное пособие
.pdf
41
стве ближе к наблюдателю, соответственно прямая EF ближе,
чем прямая AB. Очевидно, что
A''B''
располагаются за ней. Исходя из того, что
плоские фигуры, можно определить видимость на фронтальной
плоскости проекции и на других участках.
''
4
''
D
A
''
6
''
N
''
x
'
D
'
N
E''F''
видима на этом участке, а
ABC
и
DEF
–
''
, 5
3
'
B
''
''
M
''
''
B
2
'
F
F
''
C
''
'
''
E
''
1
3
'
1
β
'
4', 6
н
'
A
'
5
'
E
Рис. 5.14
M
'
'
2
C
'
42
'
'
Для определения видимости на горизонтальной плоскости
проекции рассмотрим аналогично пару конкурирующих точек 4 и
6
, их горизонтальные проекции совпадают
По чертежу видно, что точка 4 выше точки 6, соответственно DE выше AB. Очевидно, что на горизонтальной плоскости проекции
ней. Далее видимость сторон треугольников
ляется из логических рассуждений.
5.3. Параллельность и перпендикулярность
Прямые параллельны, если параллельны их одноименные
проекции.
Построение прямой a, параллельной прямой b , сводится к
проведению
ведена прямая a, параллельная прямой b.
A
x
A
D'E'
на этом участке видима, а
прямых плоскостей
5.3.1. Параллельность прямых
a'
b' и a'' b''
a
''
''
b
. На рис. 5.15 через точку А про-
x
'
'
a
'
b
4' = 6'. 4 DE, 6 AB.
A'B'
находится под
ABC
и
DEF
опреде-
α
v
A
''
A
a
a
'
''
1
''
1
'
''
b
'
'
b
α
н
'
2
Рис. 5.15
5.3.2. Параллельность прямой и плоскости
Прямая параллельна плоскости, если в плоскости можно
провести прямую, ей параллельную.
На рис. 5.16 показан пример построения прямой a и параллельной плоскости α.
Рис. 5.16
43
Построение следует начинать с проведения в плоскости α
произвольной прямой
a
, параллельную b.
Тогда a α , так как α b
5.3.3. Параллельность плоскостей
Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся пря-
''
A
''
a
''
b
x
'
b
'
a
A
5.3.4. Перпендикулярность прямой и плоскости
''
a
c
d
'
c
Рис. 5.17
A
''
''
'
''
x
'
a
'
A
Рис. 5.18
b,
затем через точку А провести прямую
a.
мые одной плоскости параллельны
двум прямым другой плоскости.
''
B
'
d
'
B
''
υ
''
h
'
υ
'
h
Поэтому, чтобы заданные точки A и B (рис. 5.17) заключить в параллельные плоскости α и β, достаточно через проекции точки A провести проекции произвольных пересекающихся прямых a и b, а через
проекции точки В – проекции прямых c и d, соответственно параллельных прямых a и b.
Прямая перпендикулярна
плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым,
принадлежащим этой плоскости.
На рис. 5.18 показано построение плоскости α, перпендикулярной данной прямой
Геометрические построения сводятся, таким образом, к
проведению через произвольную
точку А горизонтали h и фронтали
ν, перпендикулярных к прямой
Пересекающиеся фронталь и горизонталь определяют плоскость α.
a.
a.
44
Рис. 5.19
В качестве прямых, перпендикулярных к прямой a, выбраны фронталь и горизонталь в соответствии с теоремой о проецировании прямого угла.
Теорема о проецировании прямого угла: прямой угол
проецируется без искажения, если одна его сторона параллельна плоскости проекции, а другая – не перпендикулярна ей.
5.3.5. Перпендикулярность плоскостей
Две плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости.
Рис. 5.19 дает представление о геометрических проекциях,
которые должны быть выполнены для задания на эпюре плоско-
сти β, перпендикулярной плос-
''
m
''
''
A
''
b
''
β
''
a
x
'
b
'
β
A
'
a
Две прямые перпендикулярны, если одну из них можно заключить в плоскость, перпендикулярную другой прямой.
Поэтому, чтобы провести прямую b, перпендикулярную
данной прямой a , следует вначале построить плоскость α, перпен-
1
''
3
3
'
'
1
'
α
m
5.3.6. Перпендикулярность прямых
α
n
''
''
2
''
υ
'
'
υ
'
2
'
'
h
'
n
кости α.
''
''
h
Построение сводится к
следующему: через точку А
проводим прямую a, перпендикулярную плоскости α. Для
определения направления проекции прямой a проводим произвольные горизонталь h и
фронталь ν плоскости α. Затем
проводим через проекции точки А проекции прямой так,
чтобы
мую b задаем произвольно.
β α
a' h' и a''
Плоскость β α, так как
a.
ν''. Пря-
45
дикулярную прямой a, и провести в этой плоскости произвольную
прямую. Геометрические построения показаны на рис. 5.20.
1. Как изображаются на эпюре параллельные прямые?
2. В каком случае прямая параллельна плоскости?
3. В каком случае плоскости параллельны?
4. Сформулируйте теорему о проецировании прямого угла.
5. Как построить перпендикуляр к плоскости?
6. В каком случае плоскости перпендикулярны между собой?
7. Чем отличается эпюр пересекающихся и скрещивающихся
прямых?
8. Что такое конкурирующие точки?
9. Как определить видимость на горизонтальной, фронтальной
плоскости проекций?
''
a
x
'
a
''
b
A
Рис. 5.20
Контрольные вопросы
''
υ
''
2
''
A
'
b
'
''
α
''
h
''
1
'
2
1
'
υ
'
α
'
46
6. МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Решение многих задач по начертательной геометрии
сводится к определению позиционных и метрических
характеристик геометрических фигур. В связи с этим все
многообразие задач может быть отнесено к двум группам.
1. Задачи позиционные – решение таких задач должно
дать ответ на вопрос о взаимном расположении геометрических
фигур.
2. Задачи метрические – отвечают на вопросы метрики
геометрических фигур, т.е. определение расстояний, величин
углов, натуральных величин геометрических объектов и т.д.
В начертательной геометрии задачи решаются графически. Количество и характер геометрических построений при
этом определяются не только сложностью задачи, но и в значительной степени зависят от того, с какими проекциями (удобными или неудобными) приходится иметь дело. Задачи решаются значительно проще в случае частного положения геометрической фигуры относительно плоскости проекции. При этом
наиболее выгодным частным положением проецируемой фигуры следует считать:
а) положение, перпендикулярное к плоскости проекции (для
решения позиционных, а в ряде случаев и метрических задач);
б) положение, параллельное по отношению к плоскости
проекции (при решении метрических задач).
Переход от общего положения геометрической фигуры к
частному можно осуществить за счет изменения взаимного положения проецируемой фигуры и плоскости проекции. При ортогональном проецировании это достигается двумя путями:
во-первых, перемещением в пространстве проецируемой
фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно
плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения в пространстве;
во-вторых, перемещением плоскостей проекций в новое
положение, по отношению к которому проецируемая фигура
(которая не меняет своего положения в пространстве) окажется
в частном положении.
47
Первый путь лежит в основе метода плоскопараллельного
перемещения; второй составляет теоретическую базу метода
перемены плоскостей проекций.
6.1. Метод плоскопараллельного перемещения
Изменение взаимного положения проецируемой фигуры и
плоскостей проекций методом плоскопараллельного
перемещения осуществляется путем перемещения
геометрической фигуры в новое положение так, чтобы
траектории перемещения ее точек находились в параллельных
плоскостях.
В зависимости от положения этих плоскостей по отношению к плоскостям проекций и вида траектории метод плоскопараллельного перемещения подразделяют на способы:
а) способ параллельного перемещения.
Плоскости – носители траекторий перемещения точек параллельны какой-либо плоскости проекции. Траектория – произвольная линия;
б) способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плос-
кости проекций.
Плоскости – носители траектории перемещения точек
параллельны плоскости проекции. Траектория – дуга
окружности, центр которой находится на оси,
перпендикулярной плоскости проекций;
в) способ вращения вокруг оси, параллельной плоскости
проекций (вращение вокруг линий уровня);
г) способ вращения вокруг оси, принадлежащей плоскости
проекций (вращение вокруг следа плоскости).
6.1.1. Способ параллельного перемещения
При параллельном переносе геометрической фигуры относительно плоскости проекции проекция фигуры на эту плоскость хотя и меняет свое положение, но остается конгруэнтной
проекции в ее исходном положении.
Пример 1. [АВ] прямой общего положения перевести в положение, параллельное V (рис. 6.1).
48
У отрезка АВ, па-
раллельного V, горизон-
С
B
B
''
2
''
1
'
1
, D
'
D
2
'
С
2
тальная проекция должна
быть параллельна оси х.
Перемещаем
новое положение, причем
А'В' = А'1 В'
тальные проекции точек
А, В
будут перемещаться
по прямым, параллельным оси х. Полученные
точки
концами фронтальной
''
2
А''
,
B''
1
проекции [АВ], параллельного V.
Пример 2. [CD]
перевести в положение, перпендикулярное V (рис. 6.2).
Для перевода
отрезка из общего положения в проецирующее необходимо последовательно выполнить два перемещения: вначале переве-
ABC
(рис. 6.3).
. Фрон-
1
являются
1
А'В'
''
B
A
''
A
''
1
x
С
'
A
B
''
D
''
'
С
''
1
'
A
1
Рис. 6.1
D
''
1
x
'
D
'
С
сти его в положение, параллельное Н, затем переводят отрезок в
положение, перпендикулярное V.
Пример 3. Определить НВ треугольника
Зная характер геометрических построений, которые необходимо выполнить для перемещения отрезка из общего положения в проецирующее, легко перевести плоскость в частное положение. Для этого заданную плоскость надо рассматривать как
множество линий уровня (фронталей и горизонталей).
Как видно из рис. 6.3, в результате первого перемещения
треугольник
так как все горизонтали треугольника перпендикулярны V.
'
С
1
Рис. 6.2
ABC
займет фронтально-проецирующее положение,
D
'
1
в
49
Второе перемещение осуществляем параллельно V, плоскость треугольника переведена таким образом в положение, параллельное плоскости Н.
С
С
'
B
''
'
1
''
B
1
A
'
1
1
A
Рис. 6.3
'
1
''
1
, 1
C
C
''
''
C
A
2
'
1
2
B
''
2
''
1
'
'
С
1
2
'
B
2
'
A
2
H,
точка
A
''
B
''
A
''
1
x
'
'
1
B
'
A
6.1.2. Способ вращения вокруг оси,
перпендикулярной к плоскости проекции
Это частный случай параллельного перемещения. Отличие в том, что траектория перемещения каждой точки геометрической фигуры представляет собой не произвольную линию, а
дугу окружности, центр которой находится на этой оси вращения, а радиус равен расстоянию между точкой и осью вращения.
При вращении вокруг оси, перпендикулярной
будет перемещаться в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а следовательно, параллельной Н (рис. 6.4). Окружность, по
которой движется точка, проецируется, таким образом, на Н без
искажения, а на V в отрезок, параллельный оси х.
50
'
'
V
A
''
O
''
O
A
R
α
i
x
H
'
A
Пример 1. [АВ] перевести в положение, параллельное V
(рис. 6.5).
i
''
= B
''
1
A
B
''
x
'
A
B'= B
'
i
φ
Рис. 6.5
'
1
'
O
R
Рис. 6.4
Вращение производили вокруг оси i
для упрощения геометрических построений проведена
через точку В, следовательно, точка В не будет менять
''
A
своего положения в процес-
1
се преобразования.
Точка А, вращаясь вокруг оси i, описывает окружность, которая проецируется
'
A
на Н в натуральную величи-
1
ну. Вращение отрезка
производим до положения,
параллельного V, т.е. горизонтальная проекция отрезка
А'1 В'
должна располагаться
параллельно оси х.
H
. Ось i
АВ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]