Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1327 вузов, 5493 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Дефекты решетки. Пособие к практическим занятиям и домашним работам. Учебное пособие

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
07.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
Тензор направляющих косинусов, как и в задаче 3, будет равен


Xx Xy Xz

 

Yx YY Yz


Zx Zy Zz

 

 
 

cos( ) cos( ) cos( )
Xx Xy Xz

cos( ) cos( ) cos( ) 1 0 0 .
Yx Yy Yz

cos( ) cos( ) cos( )
Zx Zy Zz
010
  

001

В исходной матрице четыре не нулевых компоненты:
, yz, zx, zy, поэтому при поиске компонент ij в форму-
xz
лах типа (6.3) будут четыре слагаемых с этими же сомно­жителями.
Компонента
 
XX xz yz
cos( )cos( ) cos( ) cos( )
   
zx zy
01 10 0 0 01 0.
            
xz yz zx zy
:
ХХ
 
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
Xx Xz Xy Xz
 
Xz Xx Xz Xy
Компонента ХY:
 
cos( ) cos( ) cos( )cos( )
 
XY xz yz
   
zx zy
             
xz yz zx zy
Xx Yz Xy Yz
 
cos( )cos( ) cos( ) cos( )
Xz Yx Xz Yy
00 10 0( 1) 01 0.
Компонента ХZ:
 
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
 
XZ xz yz
cos( )cos( ) cos( ) cos( )
   
zx zy
            
Xx Zz Xy Zz
 
Xz Zx Xz Zy
01 11 00 00 .
xz yz zx zy yz
81
Компонента YХ:
 
cos( ) cos( ) cos( )cos( )
 
YX xz yz
   
zx zy
   
xz yz zx zy
Yx Xz Yy Xz
 
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
Yz Xx Yz Xy
( 1)0 00 00 01 0.
Компонента YY:
 
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
 
YY xz yz
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
   
zx zy
    
xz yz zx zy
Yx Yz Yy Yz
 
Yz Yx Yz Yy
( 1)0 00 0( 1) 00 0.
Компонента YZ:
 
cos( ) cos( ) cos( )cos( )
 
YZ xz yz
   
zx zy
( 1)1 00 0( 1) 00 .
            
xz yz zx zy xz
Yx Zz Yy Zz
 
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
Yz Zx Yz Zy
Компонента ZХ:
 
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
 
ZX xz yz
cos( )cos( ) cos( ) cos( )
   
zx zy
    
Zx Xz Zy Xz
 
Zz Xx Zz Xy
00 00 00 11 .
xz yz zx zy zy
Компонента ZY:
 
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
 
ZY xz yz
   
zx zy
     
xz yz zx zy zx
Zx Yz Zy Yz
 
cos( )cos( ) cos( ) cos( )
Zz Yx Zz Yy
00 00 1( 1) 10 .
Компонента ZZ:
 
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
 
ZZ xz yz
   
zx zy
            
Zx Zz Zy Zz
 
cos( )cos( ) cos( ) cos( )
Zz Zx Zz Zy
01 01 10 10 0.
xz yz zx zy
82
00
 
00 .
 
 

zy zx

yz
xz
0
Задача 7. В материале с простой кубической решеткой имеется винтовая дислокация с линией вдоль оси z. Опреде­лить вид тензора в новых осях X, Y, Z, полученных после по­ворота осей х и z вокруг оси y на 90 градусов против часовой стрелки (рис. 7.3). Найти матрицу направляющих косинусов в форме (6.2).
Решение
В практической работе 4 был представлен тензор напря­женного состояния (4.2, б) для винтовой дислокации, ось ко­торой была параллельна оси z, в виде

00


00 .

ij yz



zx zy

xz
0
Соответствие осей координат до и после поворота можно записать как
1; 0; 0 0; 0; 1
   
0;1; 0 0;1;0 .
   
0;0;1 1;0; 0
 
Тензор направляющих косинусов, как и в задаче 3, будет равен


Xx Xy Xz

 

Yx YY Yz


Zx Zy Zz

 

 
 

cos( ) cos( ) cos( )
Xx Xy Xz

cos( ) cos( ) cos( ) 0 1 0 .
Yx Yy Yz

cos( ) cos( ) cos( )
Zx Zy Zz
83
00 1
  

10 0

В исходной матрице четыре не нулевых компоненты:
, yz, zx, zy, поэтому при поиске компонент ij в форму-
xz
лах типа (6.3) будут четыре слагаемых с этими сомножи­телями.
Компонента
 
XX xz yz
cos( )cos( ) cos( ) cos( )
   
zx zy
0( 1) 0( 1) (1)0 (1)0 0.
            
xz yz zx zy
:
ХХ
 
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
Xx Xz Xy Xz
 
Xz Xx Xz Xy
Компонента ХY:
 
cos( ) cos( ) cos( )cos( )
 
XY xz yz
cos( )cos( ) cos( ) cos( )
   
zx zy
00 00 ( 1)0 ( 1)1 .
      
xz yz zx zy zy
Xx Yz Xy Yz
 
Xz Yx Xz Yy
Компонента ХZ:
 
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
 
XZ xz yz
cos( )cos( ) cos( ) cos( )
   
zx zy
00 00 ( 1)1 ( 1)0 .
      
xz yz zx zy zx
Xx Zz Xy Zz
 
Xz Zx Xz Zy
Компонента YХ:
 
cos( ) cos( ) cos( )cos( )
 
YX xz yz
   
zx zy
0( 1) 1( 1) 00 00 .
      
xz yz zx zy yz
Yx Xz Yy Xz
 
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
Yz Xx Yz Xy
Компонента YY:
 
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
 
YY xz yz
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
   
zx zy
            
Yx Yz Yy Yz
 
Yz Yx Yz Yy
00 10 00 01 0.
xz yz zx zy
84
Компонента YZ:
 
cos( ) cos( ) cos( )cos( )
 
YZ xz yz
   
zx zy
            
Yx Zz Yy Zz
 
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
Yz Zx Yz Zy
00 10 01 00 0.
xz yz zx zy
Компонента ZХ:
 
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
 
ZX xz yz
cos( )cos( ) cos( ) cos( )
   
zx zy
1(1) 0( 1) 00 00 .
              
xz yz zx zy xz
Zx Xz Zy Xz
 
Zz Xx Zz Xy
Компонента ZY:
 
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
 
ZY xz yz
   
zx zy
            
Zx Yz Zy Yz
 
cos( )cos( ) cos( ) cos( )
Zz Yx Zz Yy
10 00 00 01 0.
xz yz zx zy
Компонента ZZ:
 
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
 
ZZ xz yz
   
zx zy
            
Zx Zz Zy Zz
 
cos( )cos( ) cos( ) cos( )
Zz Zx Zz Zy
10 00 01 00 0.
xz yz zx zy
В итоге тензор будет иметь вид
0
 
 
 


 
zy zx
00.
yz
00
xz
Формулировка домашней работы.
Определить вид тензора напряжений для винтовой дис­локации а/2(–1; 1; 1)[1; 0; 1] в ГЦК-решетке. Найти матрицу направляющих косинусов .
85
Решение
1. Поскольку в условии указано, что дислокация винто­вая, то направление оси дислокации, как и вектора Бюргер­са, l = [1; 0; 1].
2. В практической работе 4 был представлен тензор на­пряженного состояния (4.2, б) для винтовой дислокации, ось которой была параллельна оси z, в виде

00


00 .

ij yz



zx zy

xz
0
Отличие от сформулированного в настоящей работе усло­вия – в направлении оси дислокации. Следовательно, надо решить задачу о повороте осей в новое положение.
z=[001]
Z
l
b=[101]
45°
Y
y=[010]
x=[100]
Рис. 6.11. Взаимные расположения осей компонент тензора
напряжений винтовой дислокации при исходном (x, y, z)
положении осей координат в простой кубической решетке
и новом (X, Y, Z) положении осей координат в ГЦК-решетке
45°
X
3. Из рис. 6.11 видно, что ось дислокации [1; 0; 1] ле-
жит в плоскости y и отклонена от направления z = [0; 0; 1] на 45. Это равносильно повороту осей z и x вокруг оси вра­щения (оси y) на 45 против часовой стрелки. Ось y своего
86
положения не изменяет. При этом взаимное соответствие координат осей (x, y, z) до поворота и (X, Y, Z) после пово­рота будет
[1;0;0] [1;0; 1]
   
[0;1;0] [0;1 ;0] .
   
[0; 0;1] [1;0;1]
 
4. В соответствии с примерами 3–5 данного занятия ма-
трица поворотов будет равна


Xx Xy Xz

 

Yx YY Yz


Zx Zy Zz


 

 
 

Xx Xy Xz
cos( ) cos( ) cos( )

Yx Yy Yz
cos( ) cos( ) cos( ) 0 1 0 .

Zx Zy Zz
cos( ) cos( ) cos( )
22

22

0
 
22

0

22

5. В исходной матрице четыре не нулевых компонент, по-
этому при поиске компонент четыре слагаемых с сомножителями
в формулах типа (6.3) будут
ij
, yz, zx, zy.
хz
Искомый тензор имеет вид

/2 /2 2 /2 /2 /2
    
xz zx zy xz zx
 
 
 
  


В этих преобразованиях учтено, что
2/2 0 2/2
yz yz
/2 /2 2 /2 /2 /2
xz zx zx xz zx

 
   

xz zy
2/2 0 2/2 .
yz yz
02/2
2/2 0

zx xz
= zx, а 
xz
yz
= zy.
87
В полученном тензоре нужно учесть еще один момент, а именно: компоненты напряжений
, yz, zx, zy, опреде-
xz
ляемые формулами (4.2в)

xz zx

yz zy
Gb y
22
2
xy
Gb x
22
2
xy
;
,
рассчитываются в заданной точке со «старыми» координата­ми x, y, z, а в ответе все должно быть указано в «новых» X, Y, Z. Это можно сделать через обратный тензор направляю­щих косинусов


xX xY xZ


1
   

yX yY yZ


zX zY zZ

cos(45 ) cos(90 ) cos( 45 )
 
  
cos(90 ) cos(0 ) cos(90 )
 
cos(135 ) cos(90 ) cos(45


 
   
 

cos( ) cos( ) cos( )
xX xY xZ
cos( ) cos( ) cos( )
yX yY yZ

cos( ) cos( ) cos( )
zX zY zZ

22
  

)

 
0
22 010
22
0
22
по формулам
x X xX Y xY Z xZ
  
yY yX Y yY Z zZ
  
z Z zX Y zY Z zZ
  

cos( ) cos( ) cos( );

cos( ) cos( ) cos( );

cos( ) cos( ) cos( ).
(6.6)
С учетом этих формул связь координат (x, y, z) и (X, Y, Z) определяется формулами
22
xXZ

;
22
;
yY
88
22
zXZ
.
22
Теперь значения xz, yz, zx, zy будут иметь вид
2
XZ

yz zy
Gb x Gb
22

22
xy
[( )]
2
[( )]
2
XZ Y
22

2
Gb X Z Gb X Z
[2( )] ( )

2
XZ Y XZ Y
()2 ()2
Gb Y Gb Y


2
2
[( )]

22 22
 

xz zx
22

XZ Y
2
Gb y
22
2
xy

()2
XZ Y
;
22
.
2
Конечный вид тензора упругих напряжений винтовой дислокации в ГЦК-решетке будет

Gb Y Gb X Z


2
 
 
Gb X Z Gb X Z

 
22 22
  
 
22 22
XZ Y XZ Y
()2 ()2
 

() ()
22 22
 
()2 ()2
XZ Y XZ Y
0
22
Gb Y Gb Y
22
()

0.
22 22
 
()2 ()2
XZ Y XZ Y

2
0
Важный результат: в новых осях X, Y, Z (а именно так и расположены винтовые дислокации в реальной ГЦК­решетке) в их упругом поле появляются нормальные компо­ненты, а значит, возможно их взаимодействие с краевыми дислокациями (но гидростатическое давление равно 0 – с точечными дефектами взаимодействия нет).
89
Практическое занятие 7
АНАЛИЗ СИЛ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
МЕЖДУ ДИСЛОКАЦИЯМИ
Дислокации, создавая вокруг своих осей поля напряже­ний и деформаций кристаллической решетки, могут взаимо­действовать на больших расстояниях (в масштабах межатом­ных расстояний) друг с другом. Результат взаимодействия легко рассчитать, если известны тензоры напряженных со­стояний, описывающих упругие поля дислокаций. В общем виде результат взаимодействия – также тензор, полученный перемножением исходных тензоров. При такой операции каждая компонента нового тензора есть произведение ком­понент с такими же индексами из исходных тензоров.
Для определения закона взаимодействия дислокаций в их дальнодействующих полях рассмотрим движение еди­ничной прямолинейной дислокации под действием внешней силы (рис. 7.1). Последовательность рис. 7.1 показывает за­рождение и продвижение дислокации в объеме от исходной грани (на рисунке – слева) вплоть до противоположной. При этом движении дислокации верхняя часть кристалла (по от­ношению к рисунку) сдвигается относительно нижней части на величину вектора b са дислокации b на ось действия силы вдоль той же оси Х). Дислокация длиной В, пройдя в данном кристалле объемом ВНх путь х, сдвигает его верхнюю половину относительно нижней на величину вектора b скому сдвигу b/H. С макроскопической точки зрения на этот процесс затрачена работа внешней силы А изведению этой силы на путь вдоль оси Х (равен х). По опре­делению (сила F) = (напряжение · площадь). Напряжение совершает изменения в решетке по плоскости движения дис­локации (Вх), поэтому сила
а работа А
= хх · (Bx) · bx.
внешн
(проекция полного вектора Бюргер-
х
. Это соответствует пластиче-
х
, равная про-
внешн
F
= хх · (Bx),
внешн
хх
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности