Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Дефекты решетки. Пособие к практическим занятиям и домашним работам. Учебное пособие
.pdf
ся (рис. 1.3) на х и станут равны (b – x). Объем ячейки V станет равен
23 2 23
() 3 3 .Vbx b bxbxx (1.2)
Экспериментами и расчетами было показано, что максимальное смещение атомов из позиции равновесия не превышает ~15% (правило Линдемана), то есть x << 1 (при боTльших
смещениях кристаллическая решетка разрушается). Тогда
2
в формуле (1.2) членами с x
Изменение объема V = V – V
и x3 можно пренебречь и
32
3.Vb bx (1.3)
составит
0
32 2 2
(3) 3.Vb bxb bx (1.4)
x
b
Рис. 1.3. Изменение объема элементарной ячейки
при сжатии
Из курса физики известна связь давления p и изменения
объема (форма закона Гука для трехосного сжатия)
/,pKVV (1.4, а)
0
а для малых смещений атомов
(/ ),dp Kd V V (1.4, б)
0
или приводя это к выражению дифференцирования
//.dp dV K V (1.4, в)
11
0
Переходя от дифференцирования по объему к дифференцированию по координате
( .../ .../ / )d dV d dx dx dV , фор-
мулу (1.4, в) можно преобразовать к виду
(/)/(/ ) /.dp dx dx dV K V
(1.4, г)
0
В этих формулах K – модуль всестороннего сжатия («модуль объемной упругости»).
По определению давление p есть сила, деленная на площадь, к которой она приложена. В принятой геометрической модели решетки (см. рис. 1.2) сила приложена к каждому атому на любой из координатных осей; «площадь»
атома – это площадь его поперечного сечения, равная при-
2
мерно b
(как теперь доказано прямыми наблюдениями
атомной структуры, атомы в кристаллической решетке действительно «уложены» плотно друг к другу без промежутков). Тогда сила f, действующая на атом, равна
2
.fpb (1.5)
Уравнение для работы (и энергии) в виде
(1.6, а)
ufx
в бесконечно малых величинах (приводящих в пределе
к дифференциалам) может быть представлено как
(1.6, б)
,du fdx
откуда следует связь между энергией и силой вида
/,fdudx
или в обозначениях для потенциала парного взаимодействия
/.fd dx
Для получения связи макроскопической характеристики
(K) с микроскопическими показателями (b) выполним последовательные преобразования:
/ 1/( /)1/[(3 )/] 1/3;dx dV dV dx d b x dx b
/[(0)/2]/ (0);f d dx d x dx x
12
22
2
22
//1/(0)/.dp dx df dx b b
(1.7)
Подставляя (1.7) в (1.4, г), получаем
22 3
(0) / ( 1/ 3 ) / ,bbKb
(0) 3 (0) .Kb
откуда
(1.8)
Введенная вместо K постоянная K(0) подчеркивает то
обстоятельство, что выражение (1.8) получено для условий
гармонического приближения, в которых упругие модули
не зависят от наличия (или отсутствия) внешней нагрузки.
Однако уже в начале ХХ-го века было обнаружено, что упругие модули слабо, но зависят не только от уровня внешних
напряжений, но и от знака этих напряжений («+» – для растяжения, «–» – для сжатия). Этот эффект может быть проанализирован только в ангармоническом приближении, описываемом формулой (1.1, б).
Последовательность решения задачи для условий ангармонического вида потенциала парного взаимодействия полностью соответствует приведенному выше. Но выражение,
получаемое после двойного дифференцирования уравнения
(1.1, б) по х, дает иной результат:
23 2
/ [ (0) / 2 (0) / 6] / (0) (0) / 2;ddxd x x dx x x
[ (0) (0) / 2]/ (0) (0) .dx x dx x
2
Вводя обозначение для величины
(0) / [6 (0)]b
(1.9)
и проводя преобразования, получаем выражение для K(е)
в виде
или
( ) (0)(1 6 ),Ke K e
()/ (0) 1 6Ke K e (1.10)
(здесь e = x / b – безразмерная деформация).
13
Для введенной величины (постоянная Грюнайзена) еще
в начале ХХ века была найдена математическая комбинация констант, являющаяся постоянной величиной ( 2) для
всех металлов. Грюнайзеном для этой величины было предложено выражение
3/2,
KV C
VV
где V – объемный коэффициент теплового расширения;
V – объем; CV – теплоемкость при постоянном объеме.
Формулировка задач практического занятия.
Задача 1. Оценить, при каких деформациях е различие
модуля K(е) при гидростатическом сжатии и гидростатическом растяжении превысит ошибку измерения K / K = 1%.
Определить, при каких деформациях е изменение модуля
упругости [K(0) – K(е)] / K(0) достигнет 10%. Положить постоянную Грюнайзена 2.
Решение
1. Из выражения (1.10), положив для растяжения (+е), а
для сжатия (е), получаем
()/(0)16Ke K e; ()/(0)16Ke K e.
Их разница K(е) / K(0) K(+е) / K(0) = K / K(0) = 12е =
= 0,01, откуда е = 0,01/(12·2) = 4,2·10
–4
= 0,042%.
Задача 2. Найти, при каком критическом напряжении
/ K простая кубическая решетка с периодом b теряет
КР
устойчивость при растяжении (возвращающая сила F =
= / x проходит через максимум. Потенциал разло-
3
жить до х
.
Решение
Из определения потенциала парного взаимодействия
(1.1, б)
23
xx
() (0) (0) ,
x
2! 3!
14
после его дифференцирования находим выражение для силы F
2
(0) (0) .
Fx
x
2!
Для нахождения максимума проводим повторное дифференцирование и, приравнивая его нулю, находим критическое значение х
dF
КР
(0) (0) 0
,
x
dx
КР
(0)
x
КР
.
(0)
Из определения постоянной Грюнайзена (1.9)
отношение
(0)
(0) / [6 (0)]b
bb
(0) 6 12
хb
КР
0, 01 .
Отсюда критическая сила F
F
КР
[(0) ( )]
bb
(0)[ ( ) ]
62(0)6
bb
(0)[ ( ) ]
62 6
1
bbKb
(0) (1 ) (0) .
62 12 4
КР
bb
626
(0)
2
(0)
2
16
2
b
2
Нормируя силу на единицу площади (b2), получаем
F
КР
b
КР
2
1
K
48
KK
0,1 .
Формулировка домашней работы.
Определить коэффициенты (0) и (0) потенциала парного взаимодействия (r) при его разложении в ряд
по степеням смещения х от положения равновесия для (Mо,
15
Ni, ... – задается конкретный металл) при температуре, составляющей ... от Т
пл
.
Указания по выполнению домашней работы.
1. Преподаватель в индивидуальных заданиях каждому студенту указывает конкретный металл и интервал температур.
2. Студент по этим заданиям самостоятельно находит
требуемые константы (постоянную Грюнайзена, температуру плавления Т
циент линейного расширения
– по таблицам в источнике [1]; коэффи-
пл
– в общеупотребительных
L
справочниках физических величин).
3. Коэффициент линейного расширения
может быть
L
также вычислен через комбинацию базовых физических
констант и констант металлов (постоянную Больцмана k,
объем на атом V, постоянную Грюнайзена , объемный модуль K). Необходимые сведения для этого способа определения
приведены в [1].
L
4. Любые справочные значения, взятые из интернета, принимаются только при наличии ссылки на источник
(справочник), из которого они приведены.
16
Практическое занятие 2
ОБРАЗОВАНИЕ И ПОВЕДЕНИЕ
ТОЧЕЧНЫХ ДЕФЕКТОВ
В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
Точечные дефекты кристаллической решетки во всех
трех пространственных измерениях сопоставимы с межатомными расстояниями. Они могут находиться в узлах кристаллической решетки вместо атомов, могут располагаться
между узлами кристаллической решетки, но есть и точечные дефекты, сочетающие оба этих признака. Важнейшие
представители первых – это вакансии (незанятые атомами
узлы кристаллической решетки) и атомы примесей и легирующих элементов, замещающие атомы основного металла
в узлах кристаллической решетки. Представители второй
группы – атомы элементов, имеющих атомный радиус настолько меньше, чем атомный радиус основного металла,
что могут размещаться между атомными узлами; по своей
природе это атомы неметаллов-газов (водорода, углерода,
азота, кислорода) и металлов с маленьким атомным радиусом (бор, бериллий). Эту группу элементов часто именуют
примесями внедрения безотносительно того, действительно
ли атомы этих элементов появились в сплаве вопреки нашему желанию (такие, как нежелательные примеси кислорода
и водорода в сталях) или они были введены целенаправленно
как легирующие элементы (бор, углерод, азот в сталях). Особые представители точечных дефектов второй группы – это
атомы собственно металла-основы, покинувшие свое место
в узле кристаллической решетки и разместившиеся (с созданием гигантских искажений кристаллической решетки)
в междоузельном пространстве. Таковы межузельные (междоузельные) атомы. Представители третьей группы либо
образуются как комбинации точечных дефектов из первой
и второй групп (например, дивакансии, тривакансии, тетраэдрический вакансионный комплекс, краудион, пара «ва-
17
кансия – межузельный атом», пара «вакансия – атом примеси»), либо состоят из атомов полуметаллов с большими
атомными радиусами, но расположенными на границах раздела (границах зерен, межфазных границах «металл – неметаллическое включение»).
С точки зрения физико-химического и длительного механического поведения сплавов (при отсутствии облучения частицами высоких энергий) базовые точечные дефекты – это
вакансии. Вторые по важности точечные дефекты – атомы
легирующих элементов внедрения – оказывают самое сильное влияние среди всех других причин на прочность сплавов
(так называемое твердорастворное упрочнение).
Данное практическое занятие посвящено анализу вакансионной структуры металлов. Само по себе образование
вакансий в кристаллической решетке может происходить
разными механизмами, но наиболее важный из них (и наиболее быстрый) предложен советским физиком Я.И. Френкелем (образование «пары Френкеля»). По этому механизму атом металла, находящийся в узле кристаллической
решетки и совершающий под воздействием температуры
непрерывные колебания около положения равновесия, может из-за флуктуаций колебательной энергии покинуть
свое место и расположиться в межузельном пространстве,
в результате чего появляются одновременно два точечных
дефекта – вакансия (будет обозначаться через V) и межузельный атом (МА).
Положение межузельных атомов в кристаллической решетке очень нестационарное; из-за больших упругих искажений, вносимых ими, они очень легко перемещаются
в направлении стоков (границ, свободной поверхности, дислокаций, других несовершенств кристаллической решетки),
поэтому их концентрация (в отличие от вакансий, подвижность которых в десятки тысячи раз меньше) очень быстро
снижается до величины, близкой к нулю. По этой причине
при анализе точечных дефектов кристаллической решетки
рассмотрение ведут только по отношению к вакансиям.
18
Термодинамический анализ процессов рождения вакансий показывает двойственность этого процесса. С одной стороны, точечные дефекты повышают энергию кристалла, так
как на их образование была затрачена определенная энергия. Однако равновесное состояние характеризуется не минимумом внутренней энергии U, а минимумом свободной
энергии F (энергии Гельмгольца):
,FUTS
где S – энтропия, а энтропийный член на ее основе TS умень-
шает свободную энергию кристалла.
Для изменения свободной энергии F в результате какоголибо процесса, проходящего при постоянной температуре,
можно записать выражение
.FUTS
Если процесс состоит в том, что в кристалл «введены» n
вакансий, то изменение (увеличение) внутренней энергии
от них составит U = nU
с энергией UV от каждой вакансии.
V
Анализ энтропийного члена состоит в следующем.
Энтропия есть функция вероятности состояния системы
(чем больше вероятность того, что какое-либо состояние системы осуществится, тем выше энтропия этого состояния).
Энтропия рассчитывается по формуле
S = k · ln(W),
где W – число возможных микросостояний системы (чем
больше число таких возможных микросостояний, тем
выше вероятность осуществления анализируемого макросостояния); k постоянная Больцмана.
Если макросостояние задается температурой, давлением,
объемом, то микросостояние задается положением частиц,
их скоростью и направлением движения.
Энтропия S состоит из двух составляющих: конфигурационной S
(она определяется количеством возможных спо-
V
19
собов укладки атомов в узлах кристаллической решетки) и
колебательной S
(она связана с изменением частоты колеба-
к
ний атомов при введении дефектов).
Точечные дефекты сильно увеличивают конфигурационную энтропию кристалла. Если идеальный кристалл состоит
из N одинаковых атомов (а вакансий нет), то для него характерна только одна возможная конфигурация – все атомы во
всех узлах. Если ввести одну вакансию, то количество возможных состояний станет равным N (одна вакансия может
занимать место в каждом из узлов решетки, и это будут все
разные конфигурации). Соответственно, для n вакансий и
N атомов (общее количество узлов N + n) число возможных
способов их размещения в решетке определяется по формулам комбинаторики:
()!
Nn
!!
Nn
.
Теперь
n
C
Nn
()!
Nn
ln( ) ln[ ].
W
!!
Nn
Если количество атомов очень велико (n ), то можно
применить формулу Стирлинга:
ln( !) ln( ) .xxxx
При этом
()!
Nn
ln[ ] ( ) ln( )
!!
Nn
( ) ln ln
Nn N NNn nn
ln( ) ln( ) ln ln
NNnnNnNNnn
Nn Nn
(вспоминая, что логарифм дроби есть разность логарифмов
числителя и знаменателя).
Для оценки колебательной энтропии S
используем сле-
к
дующие рассуждения.
Если атом массы m колеблется около положения равновесия, то возвращающая сила пропорциональна откло-
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]