Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Дефекты решетки. Пособие к практическим занятиям и домашним работам. Учебное пособие
.pdf
Практическое занятие 3
АНАЛИЗ ВЕКТОРНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК ДИСЛОКАЦИЙ
Самые важные дефекты кристаллической решетки, определяющие пластическое поведение материалов, – это дислокации. Дислокации – дефекты линейные. Нарушения
в укладке атомов, которые они порождают, расположены
вдоль кристаллографической оси кристалла на очень большое
расстояние. Эту область, в которой атомы смещены из позиций равновесия на расстояния, большие чем 1/10 от кратчайшего межатомного b, можно представить как длинный шнур
(или цилиндр) с радиусом (2–3)b. В этой области, называемой ядром дислокации, происходят все смещения атомов при
перемещении оси дислокации по кристаллической решетке.
Именно эти перемещения создают пластический сдвиг – необратимые (в отличие от упругих, которые исчезают при снятии нагрузки) смещения одной части кристалла относительно
другой. Такие большие смещения в ядре дислокации не могут
быть описаны по линейной модели (по закону Гука = Е, Е –
модуль Юнга), но с удалением от воображаемой центральной
линии этого цилиндра (называемой осью дислокации) они ослабевают и, начиная с некоторого удаления от нее, становятся меньше чем ~ 1/100b. В этой области характеристики деформаций и напряжения , ими порождаемые, могут быть
рассчитаны по линейной модели Гука. Эта область называется областью дальнодействия. В этой области сосредоточено
9/10 внутренней энергии дислокационного поля, и основные
взаимодействия дислокаций как между собой, так и с другими объектами и дефектами кристалла осуществляются именно через их дальнодействующие поля.
Некоторые характеристики как строения, так и перемещения дислокаций жестко связаны с показателями геометрического «устройства» той кристаллической решетки, в которой
они образуются. Так, дислокации перемещаются в кристалле
31
по самым плотноупакованным плоскостям и производят сдвиг
в таких направлениях b, где атомы уложены наиболее близко
друг к другу. Индексы плоскостей и направлений для трех базовых типов кристаллических решеток приведены в табл. 3.1.
Особенность характеристик дислокаций в ГПУ-решетке – наличие двух разных типов векторов Бюргерса – вдоль оси а и
вдоль оси с, а также их суммы (а + с) (в таблице обозначены
соответственно [а], [с] и [а + с]). Для направления сдвига b при-
нято наименование «вектор Бюргерса» (по фамилии голландских ученых, которые впервые его ввели для описания некоторых геометрических свойств линейных дефектов).
Таблица 3.1
Индексы плоскостей n и направлений b скольжения дислокаций
Тип
кристал-
лической
решетки
ГЦК* {111} a/2 <110> 12
ОЦК*
ГПУ*
ГЦК**
ОЦК**
Примечание. * Для чистых металлов и сплавов на их основе.
** Для материалов, состоящих их атомов разных сортов (интерметаллиды, соединения «металл – неметалл» и др.)
Индексы
плоскостей
скольжения,
n
{110}
{112}
{123}
{0001} [Б]
{10–10} [Пр]
{01–11} [П1]
{11–22} [П2]
{111}
{110}
{100}
{110}
{112}
{111}
{100}
Индексы векторов
Бюргерса, b
a/2 <111>
a/2 <111>
a/2 <111>
a/3 <1; 2; 1; 0> = [а]
a/3 <1; 2; 1; 0> = [а] и
c <0; 0; 0; 1> = [с]
a/3 <–1; 2; –1; 0> = [а]
и (a/3+c/3) <1; 2; 1; 3> = [а + с]
a/3 <1; 2; 1; 0> = [а]
a/2 <110>
a/2 <110>
a/2 <110>
a/2 <111>
a/2 <111>
a/2 <110>
a/2 <110>, a/2 <100>
Количество
систем сколь-
жения в дан-
ном семействе
12
12
24
3
6
12
6
–
–
–
–
–
–
–
32
В табл. 3.1 данные для плоскостей и направлений скольжения приведены в виде указания на кристаллографические
совокупности (совокупности плоскостей и совокупности направлений). В каждой совокупности можно выделить индивидуальные плоскости и направления, меняя индексы
местами и меняя перед ними знаки «+» на «–» и наоборот.
Видно, что количество таких перестановок в каждой из совокупностей может быть очень большим.
Для указания на конкретную дислокацию необходимо
выбрать конкретную плоскость n и конкретное направление b из заданных совокупностей. Положение индексов
в пределах выбранного типа плоскости и направления и
знаки перед этими индексами определяются из условия,
что выбранный вектор b должен лежать в выбранной плоскости n. Это проверяется по «правилу зональности» (сложение попарных произведений индексов должно дать
ноль). По этому правилу количество пар, удовлетворяющих указанному выше условию, также может быть достаточно большим еще и из-за того, что в индексах плоскостей
и направлений может быть одновременно по два и три минуса. Для подавляющего большинства задач, связанных
с анализом дислокаций, такие пары, где есть два или три
минуса в индексах, можно пропустить (это справедливо,
поскольку домножение индексов плоскости либо направления на минус единицу дает физически в пространстве тот
же самый вектор или плоскость, но направленные в противоположную сторону, например по этому правилу (1; 1; 1)
[0; 1; 1] = (1; 1; 1) [0; 1; 1]). С учетом этого количество
индивидуальных пар, характеризующих дислокации, значительно уменьшается; данные об их числе приведены также в табл. 3.1.
Задачи, где это правило нельзя применять, далее будут
оговорены специально.
Различающиеся типы пар совокупностей (для каждого
типа решетки) называют также «семействами дислокаций».
Из данных табл. 3.1 следует, что в материалах с ГЦК-ре ше ткой
33
одно семейство дислокаций, в материалах с ОЦК-решеткой
три семейства дислокаций, в материалах с ГПУ-решеткой
четыре семейства дислокаций («базовое» = [Б], «призматическое» = [Пр], «пирамида 1» = [П1], «пирамида 2» = [П2]).
В любом семействе и любой решетке индивидуальные пары
индексов, задающие геометрию скольжения дислокации,
называют «системой скольжения дислокации», или просто
«дислокацией».
В кристаллической решетке по отношению к дислокации
существует еще один вектор, который указывает на особенность строения этой дислокации. Это вектор направления ее
оси в индексах решетки. По тому, как взаимно расположены вектор Бюргерса b и вектор оси дислокации l дислокации
делят на краевые (b l), винтовые (b l) и смешанные (все
остальные). В случае краевой дислокации получается, что
все три вектора, описывающие геометрическое строение
дислокации, перпендикулярны друг другу (вектор b перпендикулярен вектору плоскости n, поскольку лежит в ней,
и перпендикулярен вектору ее оси l по определению краевой дислокации). Если вектора b и n очень «жестко» заданы для индивидуальной дислокации и не могут изменяться
ни вдоль ее оси, ни при ее движении (редкие и специальных
случаи, когда эти индексы могут менять свои значения,
будут описаны в следующих работах), то вектор l для конкретной дислокации может менять свое положение в кристаллической решетке непрерывно. Так, большинство дислокаций в решетке существуют в виде замкнутых петель
очень сложной и извилистой формы, и каждая такая петля будет образована только одной дислокацией; при этом
все равно у такой дислокации будет только одна плоскость
скольжения и один заданный вектор Бюргерса, но вектор l
при движении вдоль оси такой петли будет непрерывно менять свою ориентацию в кристаллической решетке, отчего
и сама дислокация будет иметь либо винтовую ориентировку, либо краевую, либо смешанную (последнюю – на 95%
своей длины).
34
Формулировка задач практического занятия
Задача 1. Вектор Бюргерса дислокации b обычно совпа-
дает с кратчайшим вектором трансляции, а плоскость скольжения n – с плоскостью плотнейшей упаковки. Перечислить
возможные системы скольжения в решетке ГЦК. (Считать
+b и –b за один вектор; также и для +n и –n.)
Решение
В ГЦК-решетке наиболее плотно атомы лежат в плоскости типа {111}. В этой совокупности 4 различно ориентированных в пространстве векторов такого типа. Это плоскости
(1; 1; 1), (1; 1; 1), (1; 1; 1), (1; 1; 1).
Кратчайшие межатомные расстояния b в решетке
ГЦК – вдоль направлений, принадлежащих совокупности
<110>. В этой совокупности 6 различно ориентированных
в пространстве векторов такого типа, это [1; 1; 0], [1; 0; 1],
[0; 1; 1], [1; 1; 0], [1; 0; 1], [0; 1; 1]. (Перед каждым из этих
индексов должен стоять сомножитель а, равный периоду решетки данного металла.) Длина любого такого вектора рав-
2
на а [(1)
+ (1)2 + (0)2] = 2a. В то же время, из рис. 3.1 видно,
что расстояние между атомами вдоль направления <110>
равно а/2
. Именно такой сомножитель необходимо учитывать в написании индексов любой дислокации в решетке
ГЦК. (Сказанное выше относится к так называемым полным
дислокациям. Для дислокаций, образующихся в результате
дислокационных реакций, этот сомножитель может быть и
иным. В частности, для наиболее важных не полных дислокаций, описывающих строение дефектов упаковки и называемых частичными, этот сомножитель равен а/6. Подробно эта
ситуация будет рассмотрена в соответствующей задаче далее.)
В табл. 3.2 представлены все 12 пар возможных сочета-
ний n и b, описывающих дислокации в ГЦК-решетке.
Выше указывалось, что для винтовых дислокаций вектора b и l сонаправлены (т.е. параллельны). Поэтому индексы
осей винтовых дислокаций в этой таблице совпадают с индексами векторов b.
35
b
a
Рис. 3.1. Геометрические характеристики элементарной
ячейки ГЦК-решетки
Таблица 3.2
Геометрические характеристики полных дислокаций в ГЦК-решетке
№ п/п
1 а/2 (1; 1; 1) [1; 1; 0] [1; 1; 0] [1; 1; 2]
2 а/2 (1; 1; 1) [1; 0; 1] [1; 0; 1] [1; 2; 1]
3 а/2 (1; 1; 1) [0; 1; 1] [0; 1; 1] [2; 1; 1]
4 а/2 (1; 1; 1) [1; 1; 0] [1; 1; 0] [1; 1; 2]
5 а/2 (1; 1; 1) [1; 0; 1] [1; 0; 1] ...
6 а/2 (1; 1; 1) [0; 1; 1] [0; 1; 1] ...
7 а/2 (1; 1; 1) [1; 1; 0] [1; 1; 0] ...
8 а/2 (1; 1; 1) [1; 0; 1] [1; 0; 1] ...
9 а/2 (1; 1; 1) [0; 1; 1] [0; 1; 1] ...
10 а/2 (1; 1; 1) [–1; 1; 0] [1; 1; 0] ...
11 а/2 (1; 1; 1) [1; 0; 1] [1; 0; 1] ...
12 а/2 (1; 1; 1) [0; 1; 1] [0; 1; 1] ...
Индексы
дислокаций
Индексы оси l
для винтовой
дислокации
Индексы оси l
для краевой
дислокации
Для краевых дислокаций все три вектора (n, b, l) взаимно
перпендикулярны, поэтому индексы неизвестных векторов l
могут быть найдены с помощью операции векторного умножения.
Так, для дислокации № 1 индексы оси l будут равны:
36
ijk
111
110
= i [1·0 – (1)·1] – j (1·0 – 1·1) + k [1·(1) – 1·1]=
= i · 1 – j (– 1) + k (2) = [1; 1; 2].
Для дислокации № 2:
ij k
11 1
10 1
= i [1·(1) – 0·1] – j [1·(1) – 1·1] + k (1·0 – 1·1) =
= i (1) + j · 2 k · 1 = [1; 2; 1].
Для дислокации № 3:
ijk
111
011
= i [1·1 – (1)·1] – j [1·1 – 0·1] + k [1·(1) – 0·1] =
= i · 2 j k = [211] = [2; 1; 1].
Для дислокации № 4:
ijk
111
= i [1·0 – 1·1] – j [0·(1) – 1·1] + k [(1)·1 – 1·1] =
110
= i + j k · 2 = [112] = [1; 1; 2].
Для остальных дислокаций вычисления аналогичны.
Задача 2. Указать все возможные плоскости скольжения
для дислокации а/2 [1; 1; 1] в ОЦК-решетке. Найти наименьший угол между двумя плоскостями.
Решение
В ОЦК-решетке три семейства дислокаций, поэтому для
заданного вектора Бюргерса b = [1; 1; 1] парные ему плоскости надо искать из семейств {110}, {112} и {123}.
В совокупности {110} 6 различных плоскостей скольжения: (1; 1; 0), (1; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 0), (1; 0; 1), (0; 1; 1).
37
В совокупности {112} 12 различных плоскостей скольжения: (1; 1; 2), (1; 2; 1), (2; 1; 1), (1; 1; 2), (1; 1; 2), (1; 1; 2),
(1; 2; 1), (1; 2; 1), (1; 2; 1), (2; 1; 1), (2; 1; 1), (2; 1; 1).
В совокупности {123} 24 различных плоскостей скольжения (их индексы предлагается выписать самим).
По правилу зональности направлению [1; 1; 1] удовлетворяют:
– из совокупности {110} плоскости: (1; 1; 0), (1; 0; 1),
(0; 1; 1);
– из совокупности {112} плоскости: (1; 1; 2), (1; 2; 1),
(2; 1; 1);
– из совокупности {123} плоскости: (1; 2; 3), (2; 1; 3),
(1; 3; 2), (2; 3; 1), (3; 1; 2), (3; 2; 1).
Из курса кристаллографии известна формула для нахождения углов между плоскостями (как и углов между векторами), заданных индексами (а1, а2, а3) и (b1, b2, b3):
cos( ) ( 1 1 2 2 3 3) / ( 1 2 3 )( 1 2 3 ).ab ab ab a a a b b b
222222
Вычисленные по этой формуле косинусы углов между
всеми 12 плоскостями приведены в табл. 3.3.
Таблица 3.3
Косинусы углов между плоскостями скольжения дислокации
с вектором Бюргерса [1; 1; 1] в ОКЦ-решетке
Плоско-
сти
(1; 1; 0)
(1; 0; 1)
(0; 1; 1)
(1; 1; 2)
(1; 2; 1)
(2; 1; 1)
(1; 2; 3)
(2; 1; 3)
(1; 1; 0)
(1; 0; 1)
(0; 1; 1)
1,0 0,5 0,5 0,0 0,9 0,9 0,2 0,2 0,8 0,9 0,8 0,9
0,5 1,0 0,5 0,9 0,0 0,9 0,8 0,9 0,2 0,2 0,9 0,8
0,5 0,5 1,0 0,9 0,9 0,0 0,9 0,8 0,9 0,8 0,2 0,2
38
(1; 3; 2)
(2; 3; 1)
(3; 1; 2)
(3; 2; 1)
Плоско-
сти
(1; 1; 2)
(1; 2; 1)
(2; 1; 1)
(1; 2; 3)
(2; 1; 3)
(1; 3; 2)
Окончание табл. 3.3
(1; 1; 2)
(1; 2; 1)
(2; 1; 1)
(1; 2; 3)
(2; 1; 3)
(1; 3; 2)
(2; 3; 1)
(1; 1; 0)
(1; 0; 1)
(0; 1; 1)
0,0 0,9 0,9 1,0 0,5 0,5 1,0 1,0 0,7 0,3 0,7 0,3
0,9 0,0 0,9 0,5 1,0 0,5 0,7 0,3 1,0 1,0 0,3 0,7
0,9 0,9 0,0 0,5 0,5 1,0 0,3 0,7 0,3 0,7 1,0 1,0
0,2 0,8 0,9 1,0 0,7 0,3 1,0 0,9 0,8 0,5 0,5 0,1
0,2 0,9 0,8 1,0 0,3 0,7 0,9 1,0 0,5 0,1 0,8 0,5
0,8 0,2 0,9 0,7 1,0 0,3 0,8 0,5 1,0 0,9 0,1 0,5
(3; 1; 2)
(3; 2; 1)
0,9 0,2 0,8 0,3 1,0 0,7 0,5 0,1 0,9 1,0 0,5 0,8
(2; 3; 1)
0,8 0,9 0,2 0,7 0,3 1,0 0,5 0,8 0,1 0,5 1,0 0,9
(3; 1; 2)
0,9 0,8 0,2 0,3 0,7 1,0 0,1 0,5 0,5 0,8 0,9 1,0
(3; 2; 1)
Воспользуемся функцией arccos (x) для нахождения самих
углов. Вспоминая, что в качестве угла между плоскостями
39
может быть взят любой из углов, образующихся при их пересечении и являющихся по отношению друг к другу дополнительными (сумма таких углов – 180), для углов больших
90 могут быть взяты дополнительные к ним (180 – ). Эти
углы приведены в табл. 3.4. Не рассматривая варианты, когда «машина» рассчитала угол между самой себе подобной
плоскостью (эти варианты расположены по главной диагонали таблицы и для них угол равен 0), находим, что минимальный угол равен 8,2 и наблюдается между плоскостями (1; 2;
3)^(3; 2; 1), (2; 1; 3)^(2; 3; 1), (3; 1; 2)^(1; 3; 2).
Таблица 3.4
Углы между плоскостями скольжения дислокации с вектором
Бюргерса [1; 1; 1] в ОКЦ-решетке
Пло-
скости
(1; 1; 0)
(1; 0; 1)
(1; 1; 2)
(1; 2; 1)
(1; 1; 0)
(1; 0; 1)
(0; 1; 1)
0,0 60,0 60,0 90,0 30,0 30,0 79,1 79,1 40,9 19,1 40,9 19,1
60,0 0,0 60,0 30,0 90,0 30,0 40,9 19,1 79,1 79,1 19,1 40,9
(2; 1; 1)
(2; 1;3)
(1; 2; 3)
(1; 3; 2)
(2; 3; 1)
(3; 1; 2)
(3; 2; 1)
60,0 60,0 0,0 30,0 30,0 90,0 19,1 40,9 19,1 40,9 79,1 79,1
(0; 1; 1)
90,0 30,0 30,0 0,0 60,0 60,0 10,9 10,9 49,1 70,9 49,1 70,9
(1; 1; 2)
30,0 90,0 30,0 60,0 0,0 60,0 49,1 70,9 10,9 10,9 70,9 49,1
(1; 2; 1)
30,0 30,0 90,0 60,0 60,0 0,0 70,9 49,1 70,9 49,1 10,9 10,9
(2; 1; 1)
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]