Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Дефекты решетки. Пособие к практическим занятиям и домашним работам. Учебное пособие
.pdf
1. В плоскости а (построенной на вершинах BCD) лежат
три вектора: BC, CD, BD. Пусть первый шаг решения будет для ребра ВС. Его индексы надо найти из совокупности
<110> (все ребра тетраэдра имеют индексы этой совокупности). Один из векторов этой совокупности, лежащий в плоскости (1; 1; 1), имеет индексы [1; 1; 0] (принадлежность
вектора плоскости проверяется вычислением суммы попарных произведений индексов плоскости и направления – она
должна быть равна нулю). Пусть теперь ВС = [1; 1; 0].
2. Если найдены индексы ребра ВС, то можно по тому же
правилу найти индексы второй плоскости (из совокупности
{111}), в которой также лежит этот вектор – это плоскость d.
Ее индексы должны быть (1; 1; 1). Теперь d = (1; 1; 1).
3. В плоскости d, кроме ребра ВС, лежат еще два ребра –
АВ и АС. По правилу зональности найдем индексы для ребра
АВ (но точно так же эти индексы могут принадлежать и ре-
бру АС). Индексы ребра АВ могут быть [1; 0; 1]. Пусть теперь
АВ = [1; 0; 1].
4. Ребро АВ лежит в плоскости с. По применяемому выше
правилу индексы этой плоскости должны быть (1; 1; 1)
(сумма попарных произведений индексов плоскости с и вектора АВ дает ноль). Теперь с = (1; 1; 1). Из четырех граней
тетраэдра на долю грани b осталась плоскость с индексами
(1; 1; 1). Теперь c = (1; 1; 1) и b = (1; 1; 1).
5. Осталось назначить индексы еще для четырех ребер.
В пункте 3 указано, что в плоскости d кроме ребра АВ лежит
еще и ребро АС. Его индексы должны быть [0; 1; 1]. Но оно
должно также лежать и в плоскости b. Проверка показывает,
что это требование выполняется (сумма попарных произведений [0; 1; 1] и (1; 1; 1) равна нулю). Теперь АС = [0; 1; 1].
6. Ребро
AD должно одновременно лежать и в плоскости
с, и в плоскости b. Этому требованию удовлетворяет ребро
с индексами [1; 1; 0]. (Индексы этого направления есть индексы линии пересечения плоскостей с и b; они могут быть
найдены в том числе и с помощью операции векторного произведения.) Теперь АD = [1; 1; 0].
61
7. Ребро BD (по рассуждениям, аналогичным приведенным в пункте 6) должно иметь индексы [0; 1; 1] (оно одновременно лежит в плоскости с и а). Теперь ВD = [0; 1; 1].
8. На долю ребра СD остался вектор с индексами [1; 0; 1].
Проверка показывает, что он одновременно лежит в плоскостях а и b, что удовлетворяет рисунку в принятых обозначениях.
Итоговая таблица выглядит следующим образом.
Индексы ребер
(индексы векторов Бюргерса)
AB = [1; 0; 1] a = (1; 1; 1)
BC = [1; 1; 0] b = (1; 1; 1)
AC = [0; 1; 1] c = (1; 1; 1)
AD = [1; 1; 0] d = (1; 1; 1)
BD = [0; 1; 1]
CD = [1; 0; 1]
(индексы плоскостей скольжения)
Индексы граней
Последняя проверка показывает, что ни индексы плоско-
стей, ни индексы направлений не повторяются.
Примечание. В процессе решения может оказаться, что
индексы определяемой плоскости ранее уже были использованы. В этом случае следует вернуться к пункту 2 или 3,
где могли быть взяты различные варианты индексов, взять
другой вариант из числа разрешенных и проделать последующие пункты решения вновь.
62
Практическое занятие 6
ТЕНЗОРНОЕ ОПИСАНИЕ
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
Внутренние напряжения в твердом теле могут быть
следствием внешних воздействий либо следствием процессов, происходящих внутри них (безусловно, возможно и совместное действие обеих причин). В любом случае результат
действия этих причин можно представить в виде некоторой
силы (вектора), приложенной к этому телу. Поскольку подразумевается, что тело остается как целое и отдельные его
части не ускоряются относительно друг друга, то сила, приложенная к телу, одинакова во всех точках этого тела.
Описать (задать) напряженное состояние тела – это значит уметь (иметь возможность) определить (рассчитать)
напряжения (по величине и направлению), действующие
в любой точке этого тела и на любой плоскости, которой мы
мысленно это тело рассекаем.
1. Пусть на тело действует постоянная во времени сила F,
такая, что под ее действием одни точки тела смещаются
в пространстве по отношению к другим (то есть имеет место
движение тела как целого) рис. 6.1.
F
0
Рис. 6.1. Положение силы F
2. Зададим в теле удобную для нас систему координат
(удобнее и нагляднее – прямоугольную, но можно и криволинейную – цилиндрическую, эллиптическую, иную).
63
3. Выделим элементарный объем (рис. 6.2) в этой системе координат, а начало этой системы координат расположим
в теле так, чтобы точка О приложения силы F находилась
в выделенном элементарном объеме («сила F была приложена к выбранному элементарному объему»). Боковые грани этого кубика, перпендикулярные оси x, имеют индекс Х,
оси y – индекс Y, оси z – индекс Z (на рис. 6.3 плоскость X –
заштрихована).
F
z
0
x
y
Рис. 6.2. Введение системы координат
4. Определяются силы FX, FY, FZ, которые создает общая
сила F на площадках X, Y, Z (векторная сумма этих сил должна быть равна исходной силе F; силы F
, FY, FZ в общем слу-
X
чае не обязаны быть перпендикулярны площадкам X, Y, Z) –
рис. 6.3.
F
Z
F
X
z
x
F = FX+FY+F
F
Y
y
Z
Рис. 6.3. Определение сил на площадках X, Y, Z
64
5. Сила, действующая на каждую из площадок, раскладывается на 3 взаимно перпендикулярные составляющие
(рис. 6.4): одну по нормали к этой площадке и две – лежащие
в этой площадке и параллельные двум другим осям координат. [Например, сила F
раскладывается на а) силу FXx, пер-
Х
пендикулярную плоскости Х и параллельную оси х; б) силу
, лежащую в плоскости Х и параллельную оси y; в) силу
F
Xy
, лежащую в плоскости Х и параллельную оси z.] Если
F
Xz
эти силы разделить на площадь грани (S), к которой они
F
приложены (например,
то получим соответствующее напряжение:
[Общее выражение для напряжения: =
Xx
), и устремить эту площадь к 0,
S
X
lim
xx
S
сила
X
.]
F
Xx
.
0
S
X
площадь
z
F
F
F
X
Xy
Xz
х
Рис. 6.4. Разложение сил, действующих
F
Xх
F
X=FXx+FXy+FXz
на площадках X, Y, Z
y
6. В результате получаем по 3 компоненты напряжения
на каждой грани – всего 18 компонент на 6 гранях (рис. 6.5).
Поскольку твердое тело существует как единое целое, не разрушаясь разделением на части путем разрыва и кручения одних объемов относительно других, значит, эти компоненты
взаимно уравновешивают друг друга и существует только 6
65
независимых компонент. Напряжения на противоположных
гранях элементарного объема равны по величине и противоположно направлены (
равны попарно касательные напряжения (
Х,x
=
–Х,–x
,
Y,z
=
и т.п.). Также
–Y,–z
= 21, 13 = 31
12
и т.п.). Напряжения, перпендикулярные площадкам, называются нормальными, или растягивающими; для их обозначения применяют символ с нижними индексами, состоящими из двух одинаковых букв или цифр (например,
, оно же YY, оно же 22; применяют и более краткую за-
Yy
пись –
). Напряжения, лежащие в плоскостях, называют-
2
ся касательными, или сдвиговыми; для их обозначения допускается применять символ . В обозначении касательных
напряжений нижние индексы должны состоять из двух различных букв или цифр (например,
оно же
). Первый индекс в каждом обозначении означает
13
, оно же 13, оно же xz,
Xz
плоскость, к которой приложено (или в которой действует)
напряжение, а второй индекс обозначает направление, вдоль
которого действует напряжение.
V
zz
z
V
zy
V
zx
V
V
xy
V
xz
V
x
V
xx
yz
yx
V
yy
y
Рис. 6.5. Расположение компонент напряжений
на гранях элементарного объема
Полученные компоненты напряжения принято записы-
вать в форме тензора 2-го ранга:
66
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12 13
21 22 23
31 32 33
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
, либо
, либо
; либо
11213
21 2 23
31 32 3
Xx Xy Xz
Yx Yy Yz
Zx Zy Zz
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
, либо
, либо
все записи равноценны.
Если для описания плоскостей и направлений используются кристаллографические индексы, то их также можно использовать для обозначения компонент тензора. При
этом направление вдоль оси х будет иметь индексы [1; 0; 0],
вдоль оси y – индексы [0; 1; 0], для оси z – по аналогии. Индексы плоскостей при таком способе их маркировки будут
(1; 0; 0) – для плоскости, перпендикулярной оси х, (0; 1; 0) –
для плоскости, перпендикулярной оси y, (0; 0; 1) – для
плоскости, перпендикулярной оси z. Компоненты тензора
при этом будут иметь обозначения
=
(1; 0; 0)[0; 1; 0]
и т.д.
x,y
=
(1; 0; 0)[0; 1; 0]
,
x,y
=
Можно всегда предложить такие особые направления осей
x, y, z в пространстве, что на соответствующих им площадках
X, Y, Z при этом будут действовать только нормальные напря-
жения (а касательные напряжения на этих площадках не возникают, т.е.
0) – рис. 6.6. Такие оси называются главны-
i,j
ми, также называются главными и напряжения. Для этих
осей тензор напряженного состояния имеет вид
00
1
00
2
00
.
3
67
Записывая тензор в главных осях принимают, что
должно быть самое большое, а 3 самое меньшее из всех 1,
, 3 с учетом их знаков (например, из значений главных
2
напряжений , равных 0 Мпа, 70 МПа и –15 МПа необходимо назначить
= 0, а 3 = 70).
1
V
1
Zz
V
3
1
x
Рис. 6.6. Главные оси и напряжения
V
X
2
Y
y
Однако при этом на других площадках, наклоненных
к главным по углом 45 (и называемых октаэдрическими),
возникают максимальные касательные напряжения. Их
значения будут равны
t
1
Из них наибольшим будет t
23
.
2
2
t
2
13
2
,
t
3
12
.
2
,
Если известны напряжения в главных осях, то можно
определить (по модулю) нормальные и касательные напряжения в любой плоскости, проходящей через данную точку тела (рис. 6.7), если известно положение этой плоскости
по отношению к главным осям (оно задается через углы наклона этой плоскости по отношению к главным осям; удобнее задавать не углы отклонения, а косинусы этих углов –
так называемые направляющие косинусы
, Y, Z). При
X
этом необходимо пользоваться формулами:
222
,
123XY Z
68
22 22 22 2 2 2
XYZ XYZ
123 123
()
.
T
z
T
T
X
Y
T
Z
T
Y
T
X
D
X
Y
Z
X
D
Y
D
Z
N
V
3
z
W
V
2
y
V
y
x
x
Z
V
1
Рис. 6.7. Определение компонент напряжений
на произвольных площадках через главные напряжения
Более сложные вычисления приходится делать в том
случае, если тензор напряженного или деформированного
состояния задан не в главных осях, а в осях произвольного
положения в пространстве (тогда в общем случае в тензоре
присутствуют все 9 компонент). Такого рода операция – это
операция поворота осей или (в равносильных терминах)
перехода к новым осям. Компактное выражение для нахождения новых значений компонентов тензора задается
выражением (6.1) в соответствии с принятыми в тензорном
исчислении правилами записи операций для тензорных величин.
(6.1)
,,,,
XY Xx Yy xy
.
Это выражение подразумевает, что:
оси в исходном положении обозначаются как x, y, z;
оси в новом положении обозначаются как X, Y, Z;
тензор напряженного состояния в исходных осях имеет
(условно) вид
69
xx xy xz
=
yx yy yz
zx zy zz
;
тензор напряженного состояния в новых осях (после поворота) имеет вид
XX XY XZ
=
YX YY YZ
ZX ZY ZZ
;
по повторяющимся индексам в формуле (6.1) подразумевается суммирование;
Х,х
и
называются направляющими косинусами и
Y,y
вычисляются как косинусы углов между осями в новом и
исходном положении; совокупность этих косинусов может
быть записана как матрица поворотов :
Xx Xy Xz
Yx YY Yz
Zx Zy Zz
.
(6.2)
В развернутом виде формула (6.1) включает в себя 9 отдельных действий, по которым вычисляются все 9 новых
компонент тензора. Примеры вычисления некоторых компонент тензора приведены ниже.
XX xx
[cos( ) cos( )] [cos( ) cos( )]
xz yx
[cos( ) cos( )] [cos( ) cos( )]
yy yz
[cos( ) cos( )] [cos( ) cos( )]
zx zy
Xx Xz Xy Xx
Xy Xy Xy Xz
Xz Xx Xz Xy
( ) cos( )];Xz Xz
[cos( ) cos( )]
[cos( ) cos( )]
xy
[cos
zz
Xx Xx
Xx Xy
(6.3, а)
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]