Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дефекты решетки. Пособие к практическим занятиям и домашним работам. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

ВНЕШН

Рис. 7.1. Пластический сдвиг  от перемещения

дислокации

С микроскопической точки зрения эту работу совершила сила F жения дислокации, равном х (поскольку силу F относить к единице длины дислокации, то полная сила, действующая на ось дислокации, равна F

= F

дисл

Оба описания (макроскопическое и микроскопическое) равноценны, поэтому из равенства работ А ет равенство

, действующая на ось дислокации, на пути дви-

дисл

· В). В этом случае

дисл

· В · х.

дисл

= А

внешн

принято

следу-

дисл

·В·х = хх · (Bx) · bx,

дисл

откуда

= хх · bx. (7.1)

дисл

Из этой формулы видно, что результат зависит от взаимного расположения векторов  и b, поэтому в общем виде формула (7.2) может быть записана в виде

=  · b · cos (между плоскостями) ×

дисл

× cos(между направлениями) (7.2)

(в этом выражении произведения косинусов – это фактор Шмида аналогично формуле (3.1)).

В описании к работе 4 было показано, что упругие напряжения, создаваемые прямолинейной дислокацией любого вида, убывают с удалением r от ее оси как (r)  1/r.

(1)

Тогда, если известны напряжения  дает в кристалле дислокация 1, то сила F

(r), которые соз-

, с которой поле

12

этой дислокации действует на дислокацию 2, может быть вычислена по формуле (7.3) и по третьему закону Ньютона будет равна силе F

, с которой дислокация 2 действует

21

на дислокацию 1:

12

= b

· 

(1)

(r) = b

(1)

(2)

· 

(r) = F

. (7.3)

21

(2)

В случае произвольного положения дислокаций в пространстве формула (7.3) может быть записана в общем виде как

где b

и n2 – вектор Бюргерса и плоскость скольжения дисло-

= (b2)j · (n2)i · ij,

12

(7.4)

кации 2, записанные через их индексы.

Выражения (7.3) и (7.4) детализируются в нескольких важных частных случаях.

1. Параллельные винтовые дислокации.

Для параллельных винтовых дислокаций всегда есть общая плоскость их скольжения. Если такие дислокации имеют одинаковый знак вектора Бюргерса, то они взаимно отталкиваются и стремятся разойтись друг от друга на такое большое расстояние, что сила из взаимодействия по формуле (4.2) становится меньше напряжения Пайерлса 

(«сила

трения» решетки – это такое напряжение, которое надо приложить для начала движения дислокации, которое связано с дополнительными смещениями атомов из занимаемых ими позиций). Если такие дислокации имеют противоположный

знак вектора Бюргерса, то они взаимно притягиваются и сливаются друг с другом, взаимно аннигилируя (это основной процесс начальной стадии упрощения дислокационной структуры).

2. Параллельные краевые дислокации.

Описание таких взаимодействий разбивается на несколько случаев. Но главное отличие от взаимодействия параллельных винтовых дислокаций в том, что каждая краевая дислокация имеет только одну плоскость скольжения.

А. Если краевые дислокации лежат в одной плоскости скольжения (как линии на одной страничке), то их поведение полностью аналогично поведению винтовых дислокаций.

Б. Если оси краевых дислокации параллельны и эти дислокации лежат в плоскостях, имеющих одинаковые индексы, но расположенных в пространстве параллельно друг другу на некотором расстоянии (как линии на разных страничках), то возможны две ситуации. Первая – если дислокации одноименные (имеют одинаковый знак вектора Бюргерса). В этом случае возможно взаимодействие таких дислокаций по типу притяжения, и тогда линии таких дислокаций выстраиваются друг над другом, образуя малоугловую субграницу наклона, как на схеме рис. 12.1, б (более подробно эта тема рассмотрена в описании к практическому занятию 12). Количество параллельных одноименных краевых дислокаций, участвующих в «строительстве» такой субграницы, может быть сколь угодно большим. Второй случай – если дислокации разноименные (имеют противоположный знак вектора Бюргерса). Тогда взаимодействие таких дислокаций разбивается на пары – дислокация с «+» и дислокация с «–». В каждой такой паре дислокации притягиваются и сближаются до расстояния, равного той величине, на которую отстоят друг от друга плоскости их скольжения (рис. 7.2). Такая конфигурация называется дислокационным диполем. Дислокации в дисло- кационном диполе, хотя они и противоположные по знаку, аннигилировать друг с другом не могут – они лежат в разных (параллельных) плоскостях скольжения.

а б в

Рис. 7.2. Взаимодействия двух параллельных краевых

дислокаций: а – зависимость силы от расстояния х между

ними; б, в – устойчивые положения одноименных (б)

и разноименных (в) дислокаций (диполь)

Другие, более сложные случаи взаимодействия дислокаций при скрещивающемся положении в пространстве их линий либо при пересечении их осей рассмотрены в рекомендуемом учебнике.

Расчет силы, действующей на дислокацию от внешних напряжений (какова бы ни была природа сил, создающих эти напряжения), всегда сводится к двум ситуациям.

1. Внешнее воздействие задано в виде вектора, описывающего силу и записываемого через три его компоненты в виде F = (F

; FY; FZ) в заданной системе координат. В этом

случае нахождение силы, действующей на дислокацию, есть нахождение проекции этого вектора на: а) плоскость скольжения дислокации; б) направление вектора Бюргерса дислокации, и осуществляется по формуле Шмида–Боаса (6.4). Результат расчета есть число, т.е. модуль искомой силы в тех единицах измерения, в которых задана внешняя сила. Поскольку в результате внешней силы дислокация движется в кристаллической решетке, постоянно увеличивая ту часть плоскости, где сдвиг атомов из своих первоначальных положений уже произошел, то найденная сила: 1) направлена всегда по нормали к оси дислокации; 2) лежит в плоскости скольжения дислокации; 3) по модулю одинакова в любой точке дислокации. Для смешанной дислокации это приводит

к тому, что форма дислокационной петли при таком процессе ее расширения изменяется (для движения винтовых компонент требуются боTльшие напряжения, чем для краевых): исходно овальная петля стремится к форме дислокационного диполя – очень длинные параллельные краевые участки и очень короткие их замыкающие винтовые (рис. 8.4).

2. Внешнее воздействие задано в виде тензора напряжений, описывающего напряженное состояние в целом и записываемого через девять его компонент в виде тензора вто-





xx xy xz

рого ранга



   



yx yy yz





zx zy zz



в заданной системе координат

(x, y, z). В этом случае найти результирующую силу взаимо- действия двух дислокаций можно по формуле

F = n

· bj · ij, (7.5)

где n – нормаль к плоскости скольжения дислокации; b –

вектор Бюргерса дислокации; по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Предметом практического занятия будут случаи общего типа, когда поля напряжений описываются тензорами, поскольку именно такой вид полей создают вокруг себя дислокации. Случай, когда внешнее воздействие задано в виде вектора, подробно рассмотрен в описании к практической работе 6.

Формулировка задач практического занятия

Задача 1. Определить силы взаимодействия между дислокациями 1 и 2 в простой кубической решетке. Характеристики дислокаций:

– дислокация 1 – винтовая, и линия дислокации лежит

вдоль оси z; плоскость скольжения дислокации n1 = (1; 0; 0);

– дислокация 2 – также винтовая, и ее линия так же лежит вдоль оси z; плоскость скольжения дислокации такая же, и ее индексы n2 = (1; 0; 0);

– дислокации расположены на расстоянии 20b друг от друга (b – кратчайшее межатомное расстояние, равное периоду решетки а).

Решение

1. Поскольку дислокации винтовые, то их векторы Бюргерса параллельны их линиям и индексы векторов Бюргерса будут [0; 0; 1].

2. Будем искать силу действия дислокации 1 на дислокацию 2. Если поле упругих напряжений, создаваемых дислокацией 1 вокруг своей оси, записать через (4.2б) как





 

00 ,



ij yz





zx zy





то надо найти компоненту 

(1; 0; 0)[0; 0; 1]

в новом тензоре, полученном после предполагаемого поворота осей координат для описания дислокации 2. Но поскольку линии дислокаций 1 и 2 одновременно параллельны оси z, то поворота осей не требуется, и на дислокацию 2 будет действовать компонента 

из тензора 1.

Численное значение силы можно определить из выраже-

ния (7.3), и оно равно

= (Gb1/2) · b2 · (1/20a)= Ga/40. (7.6)

12

Полученное выражение положительно, и это состояние аналогично растяжению в механике, значит, дислокации стремятся увеличить расстояние между собой, т.е. они отталкиваются.

Еще одно наблюдение: поскольку в (7.6) отсутствуют координаты точек, в которых рассчитываются значения силы

, то сила взаимодействия постоянна вдоль всей линии

12

дислокации 1 и дислокации 2.

Задача 2. Определить силы взаимодействия между дислокациями 1 и 2 в простой кубической решетке. Характеристики дислокаций:

– дислокация 1 – винтовая, и линия дислокации лежит

вдоль оси z; плоскость скольжения дислокации n1 = (1; 0; 0);

– дислокация 2 – также винтовая, и ее линия также лежит вдоль оси z, однако плоскость скольжения дислокации иная, чем у дислокации 1, и ее индексы n2 = (0; 1; 0);

– дислокации расположены на расстоянии 20b друг от друга.

Решение

1. Поскольку дислокации винтовые, то их векторы Бюр-

герса будут [0; 0; 1].

2. Будем искать силу действия дислокации 1 на дислока-

цию 2.

3. Поскольку линии дислокаций одновременно параллельны оси z, то формулы (4.2, а) и (4.2, б), используемые для описания создаваемых ими упругих полей, могут быть применены без предварительного поворота осей координат.

4. Если поле упругих напряжений, создаваемых дислока-



цией 1 вокруг своей оси, записать как

 

то надо просто вычислить компоненту 



00 ,



ij yz





zx zy



(0; 1; 0)[0; 0; 1]



в этом

тензоре.

Поскольку расположение линий дислокаций такое же,

как и в примере 1, то и значение модуля силы будет равно

= (Gb1/2) · b2(1/20a) = Ga/40.

12

Задача 3. Определить силы взаимодействия между дислокациями 1 и 2 в простой кубической решетке. Характеристики дислокаций:

– дислокация 1 – винтовая, и линия дислокации лежит

вдоль оси z; плоскость скольжения дислокации n1 = (1; 0; 0);

– дислокация 2 – также винтовая, но ее линия лежит вдоль оси х, и ее плоскость скольжения n2 есть плоскость у с индексами (0; 1; 0).

Решение

1. Поскольку дислокация 1 винтовая, то ее вектор Бюр-

герса будет [0; 0; 1].

2. Поскольку дислокация 2 винтовая, то ее вектор Бюр-

герса будет [1; 0; 0].

3. Будем искать силу действия дислокации 1 на дислока-

цию 2.

4. Схема поворота осей приведена на рис. 7.3.

90°

Рис. 7.3. Схема поворота осей (x, y, z) к осям (X, Y, Z)

в задаче 3

Взаимное изменение координат осей для такого поворота

можно выразить схемой

[1 ;0; 0] [0; 0; 1]

   

[0;1;0] [0;1 ;0]

   

[0;0;1] [1;0;0]

 





Матрица углов поворота для этой схемы





Xx Xy Xz



    



Yx YY Yz





Zx Zy Zz







cos( ) cos( ) cos( )

Xx Xy Xz





 

 



cos( ) cos( ) cos( ) 0 1 0 .

Yx Yy Yz



cos( ) cos( ) cos( )

Zx Zy Zz

00 1



  



10 0



Поскольку в тензоре напряженного состояния, создава-

емом дислокацией 1, четыре компоненты, для нахождения

в новых осях (X, Y, Z) в формуле (6.3) будет четыре сла-



гаемых.

Надо найти компоненту 

(0; 1; 0)[0; 0; 1]

в новом тензоре, полученном после поворота осей координат для описания сил, действующих на дислокацию 2.

 

cos( ) cos( ) cos( ) cos( )



YZ xz yz



zx zy

            

Yx Zz Yy Zz

 

cos( ) cos( ) cos( ) cos( )

Yz Zx Yz Zy

00 10 01 00 0.

xz yz zx zy

Такие дислокации не взаимодействуют.

Задача 4. Определить силы взаимодействия между дис-

локациями 1 и 2 в простой кубической решетке. Характеристики дислокаций:

– дислокация 1 – винтовая, и линия дислокации лежит

вдоль оси z; плоскость скольжения дислокации n1 = (1; 0; 0);

– дислокация 2 – краевая, ее линия также лежит вдоль

оси z, а вектор Бюргерса дислокации лежит вдоль оси х;

– линии дислокаций расположены на расстоянии 20b

друг от друга.

Решение

1. Поскольку дислокация 1 винтовая, то ее вектор Бюр-

герса будет [0; 0; 1].

2. Для дислокации 2 нормаль к плоскости ее скольжения взаимно перпендикулярна и ее вектору Бюргерса, и ее оси, поэтому индексы плоскости n векторное произведение l

= [0; 0; 1] и b2 = [1; 0; 0]. Индексы

могут быть найдены через

n2 будут (0; 1; 0).

Взаимное положение векторов, характеризующих дисло-

кации 1 и 2, приведено на рис. 7.4.

Рис. 7.4. Взаимное положение векторов дислокаций 1 и 2

3. Поскольку линии дислокаций одновременно параллельны оси z, то формулы (4.2, а) и (4.2, б), используемые для описания создаваемых ими упругих полей, могут быть использованы без предварительного поворота осей координат.

4. Будем искать силу действия дислокации 1 на дислокацию 2. Если поле упругих напряжений, создаваемых дисло-



кацией 1 вокруг своей оси, записать как

то надо найти компоненту 

(0; 1; 0)[1; 0; 0]



 

00 ,



ij yz





zx zy



в этом тензоре.



Формально можно записать, что оси (x, y, z) «преобразу-

ются» в оси (X, Y, Z) по схеме

[1;0;0] [1;0;0]

 

[0;1;0] [0;1;0]

 

[0; 0;1] [0; 0;1]





и матрица углов «поворота» для этой схемы

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]