Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Дефекты решетки. Пособие к практическим занятиям и домашним работам. Учебное пособие
.pdf
xy xz
yx yy
yz zx
) cos( )].zYz
zy zz
ZY xx
[cos( ) cos( )] [cos( ) cos( )]
[cos( ) cos( )] [cos( ) cos( )]
Zx Yy Zx Yz
[cos( ) cos( )] [cos( ) cos( )]
[cos( ) cos( )] [cos(
Zy Yx Zy Yy
Zy Yz Zz Yx
Zz Yy Z
[cos( ) cos( )]
Zx Yx
(6.3, б)
В ряде случаев требуется нахождение не отдельных компонент тензора напряжений при переходе от одних осей координат к другим, а обобщенной силы F
пряжения
), действующей на какой-либо площадке, если
S
(а через нее и на-
S
известна внешняя сила (по модулю и по направлению в выбранных декартовых кристаллографических осях). В этом
случае используют формулу, лежащую в основе закона
Шмида–Боаса:
(6.4)
cos( ) cos( ),
0
S
где – угол между плоскостью приложения внешней силы
и плоскостью, в которой ищется напряжение; – угол
между направлением действия внешней силы и интересующим нас направлением.
Формулировка задач практического занятия
Задача 1. Определить компоненты тензора напряжений
в координатах решетки (х, y, z), если внешняя сила, действующая на тело, равна 40 МПа и действует нормально к плоскости (1; 3; 5).
Решение
Если напряжение действует по нормали к плоскости, значит, индексы направления действия этого напряжения одинаковы с индексами плоскости. Для данной задачи это напряжение можно обозначить как
(1; 3; 5)[1; 3; 5]
.
Для нахождения компонент напряжений, действующих
вдоль осей х, y, z и в плоскостях X, Y, Z необходимо воспользоваться формулой Шмида–Боаса (6.4).
71
Косинусы между двумя векторами A ( a1; b1; c1) и B ( a2; b2; c2)
вычисляются по формуле
aa bb cc
cos( ) .
AB
abcabc
111222
12 12 12
222222
(6.5)
Определим нормальное напряжение, действующее вдоль
оси х и приложенное к площадке Х, т.е.
= 40 · cos {(1; 3; 5)]^(1; 0; 0)} · cos {[1; 3; 5]^[1; 0; 0)} =
хх
= 40 ·(1)/(35
· 1) · 1/(35 · 1) =
хх
=
(1; 0;0 )[1; 0; 0]
= 40 · (1)/35 = 1 · 8/7 (МПа);
= 40 · cos {(1; 3; 5)]^(1; 0; 0)} · cos {[1; 3; 5]^[0; 1; 0)} =
хy
=40 · (1)/(35
· 1) · 3/(35 · 1) =
=40 · (1)/35 = 3 · 8/7 (МПа);
= 40 · cos {(1; 3; 5)]^(1; 0; 0)} · cos {[1; 3; 5]^[0; 0; 1)} =
хz
= 40 · (1)/(35
· 1) · 5/(35 · 1) =
= 40 · (5)/35 (МПа). = 5 · 8/7 (МПа);
= 40 · cos {(1; 3; 5)]^(0; 1; 0)} · cos {[1; 3; 5]^[0; 1; 0)} =
yy
= 40 · 3/(35
· 1) · 3/(35 · 1) = 40 · 9/35 = 9 · 8/7 (МПа);
yz = 40 · cos {(1; 3; 5)]^(0; 1; 0)} · cos {[1; 3; 5]^[0; 0; 1)} =
= 40 · 3/(35
· 1) · 5/(35 · 1) = 40 · 15/35 = 15 · 8/7 (МПа);
.
zz = 40 · cos {(1; 3; 5)]^(0; 0 1)} · cos {[1; 3; 5]^[0; 0; 1)} =
= 40 · 5/(35
· 1) · 5/(35 · 1) = 40 · 25/35 = 25 · 8/7 (МПа).
Искомый тензор имеет вид
135
8
3915
7
51525
МПа.
Задача 2. Определить силы, действующие на краевую
дислокацию с осью вдоль оси z и вектором Бюргерса b в на-
72
правлении оси х, если извне к телу приложено касательное
напряжение 40 МПа, действующее в плоскости (1; 1; 2)
в направлении [1; 1; 0].
Решение
В описании к практической работе 4 приведено выражение (4.3б) для упругого поля, создаваемого краевой дислокацией с такими же характеристиками, как и в этой задаче:
направление оси дислокации – вдоль оси z, вектор Бюргерса – вдоль оси х. Упругое поле такой дислокации имеет вид
xx xy
ij yx yy
00
0
0.
zz
В этом тензоре 4 независимых компоненты (кроме zz).
Именно для них и нужно найти «проекции» внешней силы,
действующей на тело.
Применяя формулу Шмида–Боаса (6.4) вычисляем эти
компоненты:
= 40 · cos {(1; 1; 2)]^(1; 0; 0)} · cos {[1; 1; 0]^[1; 0; 0)} =
хх
= 40 ·1/(6
· 1) · 1/(2 · 1) = 40 · 1/12 = 1 · 20/3 (МПа);
yy = 40 · cos {(1; 1; 2)]^(0; 1; 0)} · cos {[1; 1; 0]^[0; 1; 0)} =
= 40 ·(1)/(6
· 1) · 1/(2 · 1) = 40 · 1/12 = 1 · 20/3 (МПа);
xy = yx = 40 · cos {(1; 1; 2)]^(1; 0; 0)} · cos {[1; 1; 0]^[0; 1; 0)} =
= 40 · 1/(6
Компонента
= (xx + yy ) = 20/3 20/3 = 0 ( – коэффициент Пу-
на
zz
· 1) · 1/(2 · 1) = 40 · 1/12 = 1 · 20/3 (МПа);
возникает из-за Пуассонова сжатия и рав-
zz
ассона).
Искомый тензор напряжений, действующих на краевую
110
дислокацию, имеет вид
20
110
3
000
МПа.
73
Задача 3. Образец в форме кубика подвергается одноосному растяжению вдоль оси х, создающему в образце тензор
напряженного состояния вида
00
xx
000.
000
Определить вид тензора в новых осях X, Y, Z, полученных после поворота осей х и y вокруг оси z на 90 градусов
против часовой стрелки (рис. 6.8). Найти матрицу направляющих косинусов в форме (6.2).
Z
z
Y
V
xx
90°
X
y
x
Рис. 6.8. Взаимные расположения осей и компоненты хх
при исходном (x, y, z) и новом (X, Y, Z) положении осей
координат
Решение
По условию задачи положение оси z в пространстве не меняется, т.е. ось Z z. После поворота ось X параллельна оси
y, а ось Y антипараллельна (противонаправлена) оси х.
Соответствие осей координат до и после поворота можно
записать как
1; 0; 0 0; 1; 0
0;1;0 1;0;0 .
0;0;1 0; 0;1
74
Матрица поворотов (6.2) для условий задачи равна
Xx Xy Xz
Yx YY Yz
Zx Zy Zz
cos( ) cos( ) cos( )
Xx Xy Xz
cos( ) cos( ) cos( ) 1 0 0 .
Yx Yy Yz
cos( ) cos( ) cos( )
Zx Zy Zz
010
001
В исходной матрице только одна не нулевая компонента – это
, поэтому при поиске компонент ij по формулам
хх
типа (6.3) достаточно найти только первое слагаемое, в котором есть не равный нулю сомножитель
cos( ) cos( ) 0 0 0;
XX xx xx
XY xx xx
XZ xx xx
YX xx xx
YY xx xx
cos( ) cos( ) ( 1) 0 0;
YZ x
ZY xx xx
cos( ) cos( ) ( 1) ( 1) ;
xxx
ZX xx xx
ZZ xx xx
Xx Xx
co s ( ) c os( ) 0 ( 1) 0;
Xx Yx
cos( ) cos( ) 0 0 0;
Xx Zx
cos( ) cos( ) ( 1) 0 0;
Yx Xx
Yx Yx
Yx Zx
cos( ) cos( ) 0 0 0;
Zx Xx
co s ( ) co s ( ) 0 ( 1) 0;
Zx Yx
cos( ) cos( ) 0 0 0.
Zx Zx
хх
:
хх
Искомый тензор имеет вид
000
00.
000
xx
75
Задача 4. В образце в форме кубика создано напряженное
а
состояние, задаваемое тензором напряженного состояния
00
xy
вида
000
000
только с одним касательным напряже-
нием. Исходно оси x, y, z направлены вдоль ребер кубика.
Определить вид тензора в новых осях X, Y, Z, полученных
после поворота осей х и y вокруг оси z на 90 градусов по часовой стрелке (рис. 6.9). Найти матрицу направляющих косинусов в форме (6.2).
Z
z
X
90°
x
V
xy
Y
Площадка
перпендикулярн
оси х
y
Рис. 6.9. Взаимные расположения осей и компоненты хy
при исходном (x, y, z) и новом (X, Y, Z) положении осей
координат
Решение
Соответствие осей координат до и после поворота можно
записать как
100 0 10
010 1 0 0
001 0 0 1
76
По аналогии с решением предыдущей задачи матрица
углов поворота
cos( ) cos( ) cos( )
Xx Xy Xz
cos( ) cos( ) cos( ) 1 0 0 .
Yx Yy Yz
cos( ) cos( ) cos( )
Zx Zy Zz
Xx Xy Xz
Yx YY Yz
Zx Zy Zz
010
001
В исходной матрице только одна не нулевая компонента – это
, поэтому при поиске компонент ij по формулам
ху
типа (6.3) достаточно найти только слагаемое, в котором есть
не равный нулю сомножитель
co s ( ) c os( ) 0 ( 1) 0;
XX xy xy
XY xy xy
XZ xy xy
YX xy xy xy
YY xy xy
()cos() 100;
YZ xy
ZX xy xy
ZY xy xy
ZZ xy xy
Xx Xy
cos( ) cos( ) 0 0 0;
Xx Yy
cos( ) cos( ) 0 0 0;
Xx Zy
cos( ) cos( ) 1 ( 1) ;
Yx Xy
cos( ) cos( ) 1 0 0;
Yx Yy
Yx Zy
cos
co s ( ) co s ( ) 0 ( 1) 0;
cos( ) cos( ) 0 0 0;
cos( ) cos( ) 0 0 0.
Zx Xy
Zx Yy
Zx Zy
ху
:
xy
Искомый тензор имеет вид
000
00.
xy
000
Задача 5. В образце в форме кубика создано напряженное состояние, задаваемое тензором напряженного состо-
77
0
а
с касательным и нормальным
яния вида
xx xy
000
000
напряжениями. Исходно оси x, y, z направлены вдоль ребер
кубика. Определить вид тензора в новых осях X, Y, Z, полученных после поворота осей х и y вокруг оси z на 90 градусов
против часовой стрелки (рис. 6.10). Найти матрицу направляющих косинусов в форме (6.2).
Z
z
Y
y
x
V
xx
Рис. 6.10. Взаимные расположения осей и компонент хх
и хy при исходном (x, y, z) и новом (X, Y, Z) положении
осей координат
90°
V
xy
Площадка
перпендикулярн
оси х
X
Решение
Соответствие осей координат до и после поворота можно
записать как
1; 0; 0 0; 1; 0
0;1;0 1;0;0 .
0;0;1 0; 0;1
78
Тензор направляющих косинусов, как и в задаче 3, будет
равен
Xx Xy Xz
Yx YY Yz
Zx Zy Zz
cos( ) cos( ) cos( )
Xx Xy Xz
cos( ) cos( ) cos( ) 1 0 0 .
Yx Yy Yz
cos( ) cos( ) cos( )
Zx Zy Zz
010
001
В исходной матрице две не нулевых компоненты – это
и ху, поэтому при поиске компонент ij в формулах типа
хх
(6.3) будут два слагаемых – с сомножителем
телем
:
ху
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
XX xx xy
XY xx xy
XZ xx xy
YX xx xy
YY xx xy
)
YZ xx xy
ZX xx xy
Xx Xx Xx Xy
00 01 0;
xx xy
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
Xx Yx Xx Yy
0( 1) 00 0;
xx xy
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
Xx Zx Xx Zy
00;
00 0
xx xy
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
Yx Xx Yx Xy
(1)0 (1)1 ;
xx xy xy
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
Yx Yx Yx Yy
2
(1) (1)0 ;
xx xy xx
Yx Zx Yx Zy
cos( ) cos( ) cos( ) cos(
(1)0 (1)0 0;
xx xy
Zx Xx Zx Xy
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
00 01 0;
и с сомножи-
хх
79
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
ZY xx xy
)cos( )
ZZ xx xy
Zx Yx Zx Yy
0( 1) 00 0;
xx xy
cos( ) cos( ) cos(
Zx Zx Z
00 00 0.
xy xy
xZy
Искомый тензор имеет вид
000
xy xx
000
0.
Задача 6. В материале с простой кубической решеткой
имеется винтовая дислокация с линией вдоль оси z. Определить вид тензора в новых осях X, Y, Z, полученных после поворота осей х и y вокруг оси z на 90 градусов против часовой
стрелки (см. рис. 6.10). Найти матрицу направляющих косинусов в форме (6.2).
Решение
В практической работе 4 был представлен тензор напряженного состояния (4.2, б) для винтовой дислокации, ось которой была параллельна оси z, в виде
00
00 .
ij yz
zx zy
xz
0
Соответствие осей координат до и после поворота можно
записать как
1; 0; 0 0; 1; 0
0;1;0 1;0;0 .
0; 0; 1 0; 0; 1
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]