Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Дефекты решетки. Пособие к практическим занятиям и домашним работам. Учебное пособие
.pdf
Практическое занятие 11
СКАЛЯРНАЯ И ТЕНЗОРНАЯ
ПЛОТНОСТИ ДИСЛОКАЦИЙ
При описании дислокаций, изложенном ранее, не шла
речь о количествах тех или иных типов дислокаций и особенностях их ориентировок в рассматриваемом объеме кристалла. Но для некоторых процессов, связанных с эволюцией
дислокационных структур, раздельный учет разных типов
дислокаций является важным. Таковы процессы рекристаллизации, полигонизации, формирования ячеистых структур
деформации и др. Для учета этого фактора введено понятие
тензорной плотности дислокаций. [До этого все описания и
анализ относились к скалярной плотности дислокаций.]
Основная цель введения тензорной плотности дислокаций – учет баланса дислокаций с разными векторами
Бюргерса и направлениями их осей (в сумме эти две характеристики задают тип дислокации – краевая, винтовая, смешанная). Плоскости скольжения дислокаций в анализе тензорной плотности участвуют опосредованно.
Оси и векторы Бюргерса дислокаций в пространстве могут иметь разнообразные направления. Поэтому тензорная
плотность – это матрица (тензор второго ранга), обозначаемая
торов в пространстве. Компоненты тензора имеют размерность см
тензорной плотности следующая.
го размера, чтобы в нем содержалась интересующая нас совокупность дислокаций. Удобнее выбирать форму объема
в виде прямоугольника (не обязательно с одинаковыми длинами ребер); вычисляется его объем в единицах, кратных
периоду решетки. Оси этого параллелепипеда располагают
вдоль осей кристаллической решетки.
, позволяющая сделать анализ распределения век-
ij
–1
.
Последовательность шагов для вычисления компонент
1. В кристаллической решетке выделяем объем тако-
131
2. Отмечаем дислокации, оси которых пересекают грань
параллелепипеда х (перпендикулярную оси Х). Индекс этой
плоскости будет первым индексом в обозначении компонент
тензора, которые вслед за этим будут определены.
3. Для каждой отмеченной дислокации последовательно
находим проекцию ее вектора Бюргерса на оси координат
Х, Y, Z. Индекс оси будет вторым индексом в компоненте
тензора.
4. Рассчитываем суммы проекций векторов Бюргерса b
на эти оси.
5. Определяем компоненты тензорной плотности (по отношению к плоскости х) по формуле
i
где F
– площадь грани х параллелограмма.
j
= bi / Fj, (11.1)
ij
6. Такая последовательность операций проводится и для
остальных граней параллелепипеда y и z.
Приведем несколько простых примеров определения
компонент тензора для различных дислокаций.
1. Пусть в простой кубической решетке есть одна винтовая дислокация с вектором Бюргерса а[1; 0; 0] в плоскости
(0; 0; 1). Из определения винтовой дислокации следует, что
линия этой дислокации параллельна ее вектору Бюргерса,
следовательно, ее индексы [1; 0; 0]. Ось этой дислокации пересекает только плоскость х. Вектор Бюргерса дает ненулевую проекцию только на ось Х (рис. 11.1, а).
Выберем в качестве анализируемого объема одну элемен-
тарную ячейку. Принимая период решетки равным а, нахо-
3
дим, что объем ячейки равен а
, площадь грани х равна а2,
длина вектора Бюргерса (а также длина его проекции на ось
Х) равна а.
По формуле (11.1)
= а / а2 = 1/а,
хх
а тензор плотности дислокаций имеет вид
132
1/ 0 0
a
Z
000.
ij
000
Z
l
Y
b
X
l
Z
b
Z
b
b
X
X
Рис. 11.1. Положение винтовой (а), краевой (б)
и смешанной (в) дислокаций в простой кубической решетке
X
Y
b
–Z
ба
l
Y
в
2. Решим задачу с такими же условиями, но для краевой
дислокации в плоскости z с вектором Бюргерса а[0; 0; –1] и
осью вдоль [0; 1; 0] (см. рис. 11.1, б).
133
Выбирая тот же объем, видим, что ось дислокации пересекает только грань y, а вектор Бюргерса дает проекцию
только на ось Z, поэтому в тензоре будет только один ненулевой член –
.
yz
Его значение равно
= –а / а2 = –1/а,
yz
а тензор плотности дислокаций имеет вид
00 0
,001/
ij a
00 0
3. Решим задачу с такими же условиями, но для смешанной дислокации, линия которой лежит вдоль оси Z в плоскости y с вектором Бюргерса а[1; 0; 1] (см. рис. 11.1, в).
Выбирая тот же объем, видим, что ось дислокации пе-
ресекает только грань z, а вектор Бюргерса дает проекции
на оси Х и Z, поэтому в тензоре будут компоненты
и zz.
zх
Их значения будут равны
= а / (а22) = 1/(а2); хz = а / (а22) = 1/(а2),
zх
а тензор плотности дислокаций имеет вид
000
000.
ij
11
0
22
aa
Из приведенных примеров можно заметить, что винтовые дислокации (и винтовые компоненты смешанных дислокаций) дают в тензоре диагональные члены, а краевые – недиагональные. Сумма диагональных членов описывает все
винтовые дислокации в объеме. Если эта сумма ненулевая,
то кристаллическая решетка в выделенном объеме «скручена» вокруг кристаллографических осей, и угол, на который
она скручена, пропорционален модулям недиагональных
134
компонент (в качестве аналога такой деформации можно
привести деформацию стержня, подвергнутого испытанию
на кручение вдоль его длинной оси). Недиагональные члены
тензора плотности дислокаций описывают наклон кристаллографических осей (в качестве аналога такой деформации
можно привести деформацию бруска, подвергнутого испытанию на изгиб вдоль его длинной оси).
Формулировка задач практического занятия.
Задача 1. В простой кубической решетке с периодом а
есть равномерно размещенные с шагом L одноименные винтовые дислокации с осями [0; 1; 0] и [1; 0; 0]. Написать тензор плотности дислокаций.
Решение
В качестве анализируемого объема выберем кубик c размерами сторон L, тогда в нем будет находиться по одной дислокации каждой ориентировки (всего = 2 дислокации).
По условию все дислокации винтовые, поэтому в тензоре будут только две диагональные компоненты:
и xx
yy
(оси дислокаций с вектором Бюргерса [0; 1; 0] лежат также
вдоль этого направления, пересекают грань y и дают проекции только на ось Y, а оси дислокаций с вектором Бюргерса [1; 0; 0] лежат вдоль направления [1; 0; 0], пересекают
грань х и дают проекции только на ось Х; проекции векторов Бюргерса на оси координат будут равны а).
Значения компонент тензора будут равны:
= а / L2; yy = а / L2.
xx
Тензор будет иметь вид
a
ij
00
2
L
a
00.
2
L
000
135
Задача 2. Винтовые дислокации в решетке ГЦК имеют
скалярную плотность для каждой из возможных ориентировок оси дислокации. Все параллельные дислокации – одного знака. Написать тензор плотности дислокаций (период
решетки а).
Решение
1. Если период решетки а, то вектор Бюргерса для пол-
ных дислокаций в ГЦК-решетке равен а2
/2.
2. В ГЦК-решетке возможные векторы Бюргерса мо-
гут иметь шесть различных направлений в пространстве:
[1; 1; 0], [1; 0; 1], [0; 1; 1], [1; 1; 0], [1; 0; 1], [0; 1; 1] (они
очевидны на тетраэдре Томпсона – это ребра тетраэдра; см.
рис. 5.2). Вдоль этих же направлений будут и оси винтовых
дислокаций. Всего будет 6 различных ориентировок.
3. Плотность дислокаций связана с расстоянием между
дислокациями L соотношением
L = 1 /
, (11.2)
поэтому если выбрать анализируемый объем в форме куба
(это логично, поскольку по условию задачи количества различных дислокаций равны) с размером ребра, равным L, то
в нем будет по одной дислокации для каждой ориентировки
ее оси. Объем куба будет L
=
, площадь грани L2 = 1/.
3
–3/2
4а. Дислокации с осями [1; 1; 0] лежат в плоскости z
(сравни с рис. 11.1, в), пересекают грани х и у, и их векторы
Бюргерса будут давать проекции на оси X и Y. Длина проекции будет равна b 2
/2 = а/2. Пересекая грани х, дислока-
ции имеют проекции на оси X и Y и создают компоненты
= (а/2) / (1/) = а/2; аналогично xу = а/2.
xx
Но эти же дислокации, пересекая грань у, также имеют
проекции на оси X и Y и создают компоненты
= (а/2) / (1/) = а/2; аналогично уу = а/2.
уx
4б. Дислокации с осями [1; 0; 1] лежат в плоскости у,
пересекают грани х и z, и их векторы Бюргерса будут иметь
136
проекции на оси X и Z. По аналогии с п. 4а они дадут вклад
в компоненты
– пересекая грань х:
= а/2; xz = а/2;
xx
– пересекая грань z: zz = а/2; zx = а/2.
4в. Дислокации с осями [0; 1; 1] лежат в плоскости х,
пересекают грани у и z, и их векторы Бюргерса будут иметь
проекции на оси Y и Z. Они дадут вклад в компоненты
– пересекая грань y: yy = а/2; yz = а/2;
– пересекая грань z: zz = а/2; zy = а/2.
4г. Дислокации с осями [1; 1; 0] лежат в плоскости z,
пересекают грани x и y, и их векторы Бюргерса будут иметь
проекции на оси X и Y. Они дадут вклад в компоненты
– пересекая грань х:
= –а/2; ху = а/2;
хх
– пересекая грань у: уу = а/2; yх = –а/2.
4д. Дислокации с осями [1; 0; 1] лежат в плоскости у,
пересекают грани x и z, и их векторы Бюргерса будут иметь
проекции на оси X и Z. Они дадут вклад в компоненты
– пересекая грань х:
= –а/2; хz = а/2;
хх
– пересекая грань у: zz = а/2; zx = –а/2.
4е. Дислокации с осями [0; 1; 1] лежат в плоскости х,
пересекают грани у и z, и их векторы Бюргерса будут иметь
проекции на оси Y и Z. Они дадут вклад в компоненты
– пересекая грань y:
= –а/2; yz = а/2;
yy
– пересекая грань z: zz = а/2; zy = а/2.
Суммируя результаты для сходных компонент, получим:
– для
: –а/2 – а/2 + а/2 + а/2 = 0;
хx
– для xу: а/2 + а/2 = а;
– для xz: а/2 + а/2 = а;
– для yy: –а/2 + а/2 + а/2 + а/2 = а;
– для yx: а/2 = а/2;
– для yz: а/2 – а/2 + а/2 = а/2;
– для zz: а/2 + а/2 + а/2 + а/2 = 2а;
– для zx: –а/2 + а/2 = 0;
– для zy: –а/2 + а/2 = 0.
137
Тензор будет иметь вид
0
aa
ij
aa
aa
22
002
a
011
0,5 1 0,5 .
002
Формулировка домашней работы
Имеется фотопластинка размерами 90120 мм фотографии шлифа образца поликристалла NaCl с размером зерна
(100, 140, 200, 260 мкм), сделанная с увеличением (1000,
1400, 2000 крат) в оптическом микроскопе. На наблюдаемой плоскости (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1) видны (180, 240,
300) ямок травления, принадлежащих винтовым дислокациям с осями [1; 0; 0], [0; 1; 0], [0; 0; 1], и краевым с теми же
осями и векторами Бюргерса [0; 0; 1], [1; 0; 0], [0; 1; 0] в пропорции 1 : 5. Записать значение скалярной и выражение для
тензорной плотностей дислокаций.
Анализ выполнения работы.
1. В практической работе 2 давалось описание ямки травления как объекта, возникающего на поверхности кристалла в том месте, где на нее выходит ось дислокации. Указание
на количество ямок травления – это указание на число дислокаций.
2. Если речь идет о наблюдении на плоскости (а не наблюдении в объеме), то для расчета скалярной плотности дислокации следует применять формулу (2.3).
3. Указание на наблюдаемую плоскость говорит о том,
какую именно плоскость пересекают оси дислокаций.
138
Практическое занятие 12
МАЛОУГЛОВЫЕ ГРАНИЦЫ
(СУБГРАНИЦЫ)
В процессе деформации в кристалле нарастает плотность
дислокаций. Возникая из источников Франка–Рида на первой стадии деформации их количество сначала нарастает
сравнительно медленно, и их оси в целом достаточно прямолинейны. В просвечивающем электронном микроскопе
на этом этапе они выглядят в виде длинных (теоретически –
в размер кристалла) жгутов, идущих в одном направлении
и отстоящих друг от друга на расстояние в несколько микрон. Но уже при деформации 5–7% наблюдается лавинное
нарастание их количества, они активно взаимодействуют
друг с другом и образуют ячеистую структуру деформации:
в электронном микроскопе видна структура, очень напоминающая зеренную (есть более или менее свободные от дислокаций объемы и есть границы с очень большой плотностью
дислокаций, разделяющие эти объемы), но угол разворота
кристаллической решетки на этих границах ячеек менее
1 градуса. Такой тип структуры сохраняется далее до самого разрушения. Если температура деформации выше 0,3–0,4
от Т
металл нагревается, то может наблюдаться процесс поли-
гонизации – укрупнения и упрощения сформировавшейся
к этому моменту ячеистой структуры. Тип структуры при
этом остается тот же – это ячеистая дислокационная структура, но в этих условиях ее принято называть субзеренной.
Дислокационные ячейки в субзеренной структуре отличаются от ячеек деформации боTльшими размерами, меньшей
общей плотностью дислокаций, более четким строением субграниц, но главный признак ячеистой структуры сохраняется и в полигонизованной структуре – угол разворота субграниц в 99% случаев менее 1 градуса. Субграницы оказывают
на порядок меньшее влияние на механические свойства кри-
металла либо если продеформированный вхолодную
ПЛ
139
сталлических тел, но, например, в тугоплавких металлах
методами термической обработки создают именно полигонизованную структуру, а не зеренную (последняя – не позволяет обрабатывать их холодной деформацией, порождая
хрупкость, а полигонизованные – удовлетворительно прокатываются вхолодную).
Малый угол разворота на субгранице формирует важное
ее свойство малоугловые границы проницаемы для других дислокаций (в отличие от границ зерен – высокоугловых границ, которые для дислокаций в 99,9% случаев непроницаемы). Именно в этом основная причина меньшего
упрочняющего эффекта от субграниц по сравнению с границами зерен.
Из электронно-микроскопических наблюдений структур
деформированных металлов обнаружено, что границы ячеек
деформации и субграницы от полигонизации имеют разное
дислокационное строение: в первых наблюдаются все типы
дислокаций, а вторые образованы либо только винтовыми дислокациями (и тогда это субграницы кручения), либо
только краевыми (и тогда это субграницы наклона).
Субграницы характеризуются: (1) плоскостью, в которой
они расположены; (2) их «мощностью», равной углу разворота на этой субгранице; (3) тем, дислокациями с какими индексами они образованы; (4) тем, как именно искривляются
кристаллографические плоскости и направления на данной
субгранице.
На рис. 12.1 приведены схемы дислокационного строения границ ячеек в ячеистой структуре холодной деформации и субграниц в полигонизованной структуре, состоящих
либо только из краевых, либо только из винтовых дислокаций.
Поскольку субграницы состоят из дислокаций только одного типа, то в кристаллической решетке возможны лишь
несколько их ориентировок.
Субграницы наклона формируются краевыми дислокациями. Из схемы их строения на рис. 12.1, б следует, что
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]