Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Дефекты решетки. Пособие к практическим занятиям и домашним работам. Учебное пособие
.pdf
В тензоре напряжений от винтовой дислокации
cos( ) cos( ) cos( )
Xx Xy Xz
cos( ) cos( ) cos( ) 0 1 0
Yx Yy Yz
cos( ) cos( ) cos( )
Zx Zy Zz
100
001
.
че-
ij
тыре компоненты, поэтому в формуле для вычисления
(0; 1; 0)[1; 0; 0]
будет четыре слагаемых:
cos( ) cos( ) cos( )cos( )
YX xz yz
zx zy
Yx Xz Yy Xz
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
Yz Xx Yz Xy
00 10 01 00 0.
xz yz zx zy
Такие дислокации не взаимодействуют.
Задача 5. Определить силы взаимодействия между дис-
локациями 1 и 2 в ГЦК-решетке. Характеристики дислокаций:
– дислокация 1 – винтовая, и линия дислокации лежит
вдоль направления [1; 0; –1] (при этом ее ось совпадает с вектором Бюргерса с такими же индексами); плоскость скольжения дислокации n1 = (1; 1; 1);
– дислокация 2 – также винтовая, но ее линия лежит
вдоль направления [–1; 1; 0] (это также и ее вектор Бюргерса) в той же плоскости скольжения n2 = n1 = (1; 1; 1).
1. Чтобы поле напряжений от дислокации 1 можно было
описывать уравнениями типа (4.2, б), линия дислокации 1
должна лежать вдоль оси Z. Для этого надо повернуть оси
координат (x, y, z) вокруг оси у на 135 против часовой стрелки. Такой поворот можно описать схемой в общем виде
ip
jq
ks
,
а в индексах данной задачи
Ее графическое представление дано на рис. 7.5.
101
z
b
2
b
= [–1;1;0]
2
135°
b
1
x
X
= [1;0;–1]
b
1
l
Z
1
Рис. 7.5. Взаимоположение векторов и плоскостей
к задаче 5. Серым выделена плоскость скольжения
дислокаций (1; 1; 1). Стрелками b1 и b2 показано
положение векторов Бюргерса дислокаций 1 и 2
на плоскости скольжения
l
2
yY
После такого поворота вектор b1 будет лежать вдоль оси
Z, а ось у своего положения не изменит (y = Y).
Матрица углов поворота будет равна
Xx Xy Xz
Yx YY Yz
Zx Zy Zz
Xx Xy Xz
cos( ) cos( ) cos( )
Yx Yy Yz
cos( ) cos( ) cos( ) 0 1 0 .
Zx Zy Zz
cos( ) cos( ) cos( )
102
22
0
22
22
22
0
(7.7)
2. Будем искать силу действия дислокации 1 на дислокацию 2.
3. В новой системе координат индексы линии дислокации 2 (а также и ее вектора Бюргерса) можно найти по формуле b
sm
=
s
– направляющие косинусы, по повторяющимся индек-
(6.6), где m пробегает обозначения i, j, k,
smbm
сам подразумевается суммирование. Эта формула расписывается в конкретных компонентах (проекциях вектора
= [–1; 1; 0] на новые оси координат) следующим образом:
b
2
=(–1/2
BY2 =
=(1/2
BХ2 =
pibi
+
) · (–1) + 0 · 1 + (–1/2) · 0 = 1/2;
qibi
+
+
qjbj
BZ2 =
qkbk
sibi
+
) · (–1) + 0 · 1 + (–1/2) · 0 = –1/2,
pjbj
+
pkbk
=
= 0 · (–1) + 1 · 1 + 0 · 0 = 1;
sjbj
+
skbk
=
и индексы вектора можно записать как B2 = [1/2
Для проверки индексы вектора b
= [1; 0; –1] станут сле-
1
дующими:
Х1 =
pibi
Y1 =
Z1 =
или 2/2
+
sibi
[0; 0; 1] – вектор действительно в новых осях рас-
qibi
+
pjbj
+
+
sjbj
pkbk
qjbj
+
= 1/2
= (–1/2) · (1) + 0 · 0 + (–1/2) · (–1) =
= –1/2
+
skbk
+ 1/2 = 0;
= 0 · 1 + 0 · 0 + 0 · (–1) = 0;
qkbk
= (1/2) · 1 + 0 · 0 + (–1/2) · (–1) =
+ 1/2 = 2/2
положен вдоль оси Z.
4. Плоскость скольжения вектора n
= (1; 1; 1) в новых
2
координатах приобретет индексы:
; 1; –1/2].
= (–1/2
NY2 =
NX2 =
pini
+
pjnj
+
pknk
) · (1) + 0 · 1 + (–1/2) · 1 = –2/2;
qini
+
qjnj
+
= 0 · 1 + 1 · 1 + 0 · 1 = 1;
qknk
103
=
NZ2 =
sini
+
sjnj
+
= (1/2) · (1) + 0 · 1 + (–1/2) · 1 = 0
sknk
или N2 = (–2/2
; 1; 0).
5. Для нахождения силы, действующей на дислокацию,
воспользуемся формулой (7.4), для которой
; ny; nz); b = (bx; by; bz);
x
· nx + xy· by · nx + xz· bz · nx ) +
· n
+ yy· by · ny + yz·
y
· n
+ zy·
z
by
· n
z
+ zz·
· ny ) +
bz
bz
· nz).
F = (
+ (
+ (
n = (n
xx· bx
yx· bx
zx· bx
Все эти операции должны быть применены к характери-
стикам, полученным после поворота осей. Поэтому
b = (1/2
XZ · bz
=
· n
XZ ·
F =
=
Fbnbnbnbn
XZxz YZxy ZXxz XYyz
(1/2)1 (1/2)0 (1/2).
YZ ZX ZY
; 1; –1/2); n = (–2/2; 1; 0);
+ YZ·
x
(–1/2) · (–2/2) +
+
ZX
· n
+
bz
y
ZX · bx
YZ
(1/2) · 0 + ZY · 1 · 0 =
(2/2) – YZ (1/2); (7.8)
XZ
(1/ 2)(2/ 2)
XZ
· n
+
z
ZY · by
(–1/2) · 1 +
· nz =
Теперь необходимо от значений вернуться к значениям
. Поскольку после поворота линия дислокации лежит вдоль
оси Z, то напряженное состояние описывается тензором вида
Компоненты
00
00
ZX ZY
рассчитываются по формуле (6.3), и
IJ
XZ
.
YZ
0
под знаком суммы в этой формуле будет четыре слагаемых
104
(по числу ненулевых компонент в тензоре ). Матрица поворотов для этого расчета – это матрица (7.7).
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
XZ xz yz
cos( )cos( ) cos( ) cos( )
zx zy
(1/ 2)(1/ 2) (1/ 2)0 /2 /2 0.
zx zy xx xx
YZ xz yz
zx zy
0 ( 1/ 2) 1 ( 1/ 2) 0 (1/ 2)
xz yz zx
Xx Zz Xy Zz
Xz Zx Xz Zy
( 1/ 2) ( 1/ 2) 0 ( 1/ 2)
xz yz
cos( ) cos( ) cos( )cos( )
Yx Zz Yy Zz
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
Yz Zx Yz Zy
00 (1/ 2).
zy yz
Подставляя найденные значения XZ и YZ в (7.8) и, учи-
тывая
XZ=ZX
и YZ=ZY, получаем
= yz /2.
F
12
Формулировка домашней работы
Определить силы взаимодействия между дислокациями
1 и 2 в … (простой кубической, ГЦК-, ОЦК-) решетке. Характеристики дислокаций … (задаются качественные и геометрические характеристики дислокаций).
105
Практическое занятие 8
АНАЛИЗ ОБРАЗОВАНИЯ ПОРОГОВ
(СТУПЕНЕК)НА ДИСЛОКАЦИЯХ
Дислокации, взаимодействуя друг с другом, могут пересекаться своими осями. Это означает, что начинают взаимодействовать их ядра. Такое взаимодействие может приводить к тому, что в точке пересечения дислокаций на их
линии могут образовываться перегибы. Эти перегибы называются ступеньками, или порогами. Из-за образования ступенек в металле очень быстро нарастает плотность дислокаций, что является второй главной причиной интенсивного
деформационного упрочнения в области развитой пластической деформации (выше предела текучести).
Для понимания процессов, происходящих при таком событии, необходимо предварительно рассмотреть геометрическое построение, предложенное Бюргерсами – а именно
построение контура Бюргерса – и позволяющее как распознавать линейные дефекты в кристаллической решетке, так
и представлять изменения атомной структуры кристаллов,
вносимые этими дефектами.
Контур Бюргерса строится, как правило, на схеме атомной плоскости, почти всегда – типа {100} с осями x и y в простой кубической решетке (рис. 8.1). Само построение состоит из следующих шагов, осуществляемых против часовой
стрелки:
– какой-либо узел кристаллической решетки выбирает-
ся за начальный (точка 1 на рис. 8.1);
– от этой точки в направлении х отсчитывается некото-
рое число межатомных расстояний n1; атомный узел нумеруется как точка 2;
– от точки 2 в направлении –y отсчитывается некоторое
число межатомных расстояний n2 (n2 не обязательно должно быть равно n1); атомный узел нумеруется как точка 3;
– от точки 3 в направлении +х отсчитывается n1 межатомное расстояние; атомный узел нумеруется как точка 4;
106
– от точки 4 в направлении +y отсчитывается n2 межатомное расстояние; атомный узел нумеруется как точка 5.
Если положения точки 1 и точки 5 совпали, то внутри
этого контура линейного дефекта (а нас интересуют дислокации) нет.
2
3
Рис. 8.1. Построение контура Бюргерса в идеальной
кристаллической решетке
15
4
Пусть в этой решетке есть точечный дефект (вакансия,
атом замещения, атом внедрения (рис. 8.2). Контур Бюргерса, охватывающий такой дефект, не претерпевает разрыва.
2
15
3
Рис. 8.2. Построение контура Бюргерса
в кристаллической решетке с точечным дефектом
107
4
Построим модель плоскости, в которой есть краевая дислокация (а краевая дислокация есть линия в кристалле,
вдоль которой одна из плоскостей обрывается; отсюда пошло выражение для краевой дислокации – «край экстраплоскости»). Построение контура Бюргерса на модели такой
решетки (рис. 8.3) показывает, что контур не замкнут – он
испытывает разрыв (и отсюда одно из определений дислокации, предложенное Билби: «Дислокация – это такой дефект
кристаллической решетки, который разрывает контур Бюргерса, построенный вокруг его оси»). Вектор, проведенный
из конечной точки контура Бюргерса к его начальной точке,
есть вектор Бюргерса дислокации. Важно отметить, что разрыв контура Бюргерса по величине сопоставим с вектором
трансляции решетки (он всегда кратен вектору трансляции;
если контур охватывает несколько дислокаций или дислокация имеет боTльшую «мощность», чем одно межатомное расстояние, замыкающий контур Бюргерса вектор будет равен
сумме векторов Бюргерса охватываемых им дислокаций).
b
2
15
3
Рис. 8.3. Контур Бюргерса в кристаллической решетке
с краевой дислокацией
4
Атомная модель образования ступенек на дислокациях
следующая.
108
1. Пусть в кристалле есть две дислокации, оси которых
прямолинейны, не параллельны друг другу и лежат в разных плоскостях (рис. 8.4).
n
1
V
внешн
b
2
b
2l
l
1
1
b
2
b
2n
l
2
A
b
1
2
V
внешн
1
2
Дислокационный
диполь
V
внешн
2
1
b
2n
Рис. 8.4. Последовательность процесса образования
порогов на дислокациях
109
2. Будем считать, что дислокация 1 скользит в своей плоскости скольжения n1 под действием внешней силы, и ее
вектор Бюргерса, лежащий в плоскости n1, равен b1.
3. Примем, что дислокация 2 неподвижна (т.е. по формуле Шмида–Боаса напряжение от внешней силы, действующей на тело, для этой дислокации дает результирующую
силу равную нулю), она пересекает плоскость скольжения
дислокации 1 в точке А, эта дислокация 2 могла бы скользить в своей плоскости n2 и обладает вектором Бюргерса b
,
2
не лежащим в плоскости скольжения дислокации 1.
4. Представим процесс движения дислокации 1 под действием внешней силы в направлении к оси дислокации 2.
При пересечении осей дислокаций в точке А произойдет дислокационная реакция, и эта точка на линии дислокаций
может оказаться, как стопор, препятствующий движению
дислокации в этой точке дальше, но при удалении от этой
точки другие части оси дислокации 1 продолжают двигаться в первоначальном направлении (при этом говорят, что
ветви дислокации продолжают движение). По сути линия
дислокации 1 обошла вокруг оси дислокации 2, но это и есть
аналог построения контура Бюргерса вокруг оси дислокации
2. Значит, на этом контуре должен появиться разрыв, по величине равный модулю вектора b
направлении, что и b
(но в направлении, перпендикулярном
2
и направленный в том же
2
к плоскости 1, одна из ветвей дислокации 1 должна подняться на величину b
над плоскостью 1).
2n
5. В описанной последовательности явлений есть одно непринципиальное допущение – что движется дислокация 1, а
дислокация 2 – неподвижна. Результат и рассуждения не изменятся, если представить, что неподвижна дислокация 1,
а на нее «надвигается» дислокация 2, кроме одного: при
таком рассмотрении на оси дислокации 1 может появиться
ступенька. Из модели появления контура Бюргерса очевидно условие для появления такой ступеньки: вектор Бюргерса охватываемой дислокации не должен лежать в плоскости
скольжения подвижной.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]