Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ временных рядов и прогнозирование. Учебное пособие
.pdf
прямая (3)).
Каждый из описанных выше подходов имеет свои положительные и отрицательные стороны. При построении кусочнолинейной модели происходит снижение остаточной суммы
квадратов по сравнению с единым для всей совокупности уравнением тренда. Однако разделение исходной совокупности на
две части ведет к потере числа наблюдений и, следовательно, к
снижению числа степеней свободы в каждом уравнении кусочно-линейной модели. Построение единого для всей совокупности уравнения тренда, напротив, позволяет сохранить число наблюдений n исходной совокупности, однако остаточная сумма
квадратов поэтому уравнению будет выше по сравнению с кусочно-линейной моделью. Очевидно, что выбор одной из двух
моделей (кусочно-линейной или единого уравнения тренда) будет зависеть от соотношения между снижением остаточной дисперсии и потерей числа степеней свободы при переходе от единого уравнения регрессии к кусочно-линейной модели.
Таблица 5.1. Условные обозначения для алгоритма теста Чоу
Оста-
точная
сумма
квадра-
тов
Число па-
раметров в
уравне-
1
нии
Число степеней
свободы остаточ-
ной дисперсии
Номер
урав-
нения
Вид урав-
нения
Число на-
блюдений в
совокупно-
сти
Кусочно-линейная модель
(l)
у
(1)
(2)
= а1 +
(2)
у
b1t
= а2 +
b2t
п
1
п2 C
1
C
k1 п1 – k1
ост
2
k2 п2 – k2
ост
Уравнение тренда по всей совокупности
(3)
у
(3)
= а3 +
t
b
3
п C
3
k3
ост
п – k3=(п1 + п2) –
k
3
1 В рассматриваемой нами формулировке число параметров всех уравнений
k
= k2 = k3 = 2. В общем случае число параметров в каждом уравнении мо-
1
жет различаться.
Формальный статистический тест для оценки этого соот-
– – 61
ношения был предложен Грегори Чоу. Применение этого теста
(
)
−+∆
предполагает расчет параметров уравнений трендов, графики
которых изображены на рис.5.1 прямыми (1), (2) и (3). Введем
систему обозначений, приведенную в табл.5.1.
Выдвинем гипотезу H0 о структурной стабильности тенденции изучаемого временного ряда.
Остаточную сумму квадратов по кусочно-линейной модели (С
кл
) можно найти как сумму С
ост
кл
С
= С
ост
1
+ С
ост
1
ост
2
. (5.1)
ост
и С
2
:
ост
Соответствующее ей число степеней свободы составит:
(n1 – k1) + (n2 – k2) = (n – k1 – k2). (5.2)
Тогда сокращение остаточной дисперсии при переходе от
единого уравнения тренда к кусочно-линейной модели можно
3
определить следующим образом (предполагается, что С
гда больше, чем С
кл
):
ост
∆С
ост
= С
3
ост
– С
кл
(5.3)
ост
ост
все-
Число степеней свободы, соответствующее ∆ С
, с учетом
ост
соотношения (5.2) будет равно:
n – k3 – (n – k1 – k2) = k1 + k2 – k3. (5.4)
Далее в соответствии с предложенной Г.Чоу методикой
определяется фактическое значение F-критерия по следующим
дисперсиям на одну степень свободы вариации:
Д
C
F
факт
∆
==
Д
кл
Найденное значение F
:
кл
( )
:
ост
сравнивают с табличным, полу-
факт
kkkС
321ост
(5.5)
kknС
−−
21
ченным по таблицам распределения Фишера для уровня значи-
α
мости
и числа степеней свободы (k1 + k2 – k3) и (n – k1 – k2).
Если F
факт
> F
, то гипотеза о структурной стабильности
табл
тенденции отклоняется, а влияние структурных изменений на
динамику изучаемого показателя признают значимым. В этом
случае моделирование тенденции временного ряда следует осу-
– – 62
ществлять с помощью кусочно-линейной модели. Если F
F
, то нет оснований отклонять нулевую гипотезу о структур-
табл
факт
<
ной стабильности тенденции. Ее моделирование следует осуществлять с помощью единого для всей совокупности уравнения
тренда.
Пример 5.1. Пусть имеются следующие условные данные
о производстве какого-либо изделия за 20 периодов времени –
табл.5.2.
Таблица 5.2. Производство изделия y (шт.)
t y
1 30
2 34
3 41
4 46
5 52
6 58
7 65
8 73
9 81
10 90
11 109
12 131
13 153
14 174
15 196
16 216
17 239
18 264
19 296
20 331
Требуется провести анализ структурной стабильности дан-
ного временного ряда с помощью теста Чоу.
Решение. Графический анализ исходных данных, приве-
денный на рис.5.1, показывает, что характер тенденции ряда в
момент времени t*
= 10 изменяется.
– – 63
0 50
350
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
y
50
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t y
300
250
200
150
100
t
Рис.5.1 Производство изделия y
Разобьем исходный ряд на 2 подсовокупности: до момента
времени t*
и после и определим параметры уравнений регрессии
для каждой из них, а также для всей совокупности. Все результаты, включая расчетные значения каждой совокупности, сведем
в табл.5.3. Полученные прямые изображены на рис.5.2.
350
300
(2)
250
200
150
100
(3)
(1)
0
-50
Рис.5.2. Расчетные прямые
Статистические параметры полученных уравнений регрес-
сии представлены в табл.5.4.
– – 64
Таблица 5.3. Результаты расчетов по тесту Чоу
(
)
++−
−+∆
t y (3) y
1
(1) y
2
(2)
1 30 -11,80 30 27,22
2 34 3,54 34 33,84
3 41 18,88 41 40,45
4 46 34,23 46 47,07
5 52 49,57 52 53,69
6 58 64,91 58 60,31
7 65 80,25 65 66,93
8 73 95,59 73 73,55
9 81 110,94 81 80,16
10 90 126,28 90 86,78 90 83,27
11 109 141,62 109 109
12 131 156,96 131 131
13 153 172,31 153 153
14 174 187,65 174 174
15 196 202,99 196 196
16 216 218,33 216 216
17 239 233,67 239 239
18 264 249,02 264 264
19 296 264,36 296 296
20 331 279,70
331 331
Таблица 5.4. Статистические параметры уравнений регрессии
Параметр (1) (2) (3)
Свободный член (а) 20,6 –150 –27,1421
Коэффициент регрессии (b) 6,618182 23,32727 15,34211
Число наблюдений (n) 10 11 20
Остаточная сумма (С
) 4,059091 48,34747 697,1734
ост
Число степеней свободы 8 9 18
Коэффициент детерминации (R2) 0,9911 0,9928 0,9258
Определяем фактическое значение F-критерия по следую-
щим дисперсиям на одну степень свободы вариации:
Д
∆
C
F
факт
==
Д
кл
:
кл
( )
:
ост
kkkС
321ост
=
−−
kknС
21
2
)35,4806,4(17,697
:
35,4806,4
=
2220
−−
43,98
– – 65
Найденное значение F
∆
сравниваем с табличным F
факт
табл
для степеней свободы 2 и 16 и уровня значимости α = 0,05, которое равно 3,63. Так как F
факт
> F
, то гипотеза о структурной
табл
стабильности тенденции отклоняется, а влияние структурных
изменений на динамику изучаемого показателя признаем значимым. В этом случае моделирование тенденции временного ряда
следует осуществлять с помощью кусочно-линейной модели.
Отметим следующие особенности применения теста Чоу.
1. Если число параметров во всех уравнениях (1), (2), (3)
(см. рис.5.1 и табл.5.1) одинаково и равно k, то формула (5.5)
упрощается:
kС
:
F
=
факт
кл
ост
ост
( )
(5.6)
knС
2:
−
2. Тест Чоу позволяет сделать вывод о наличии или отсут-
ствии структурной стабильности в изучаемом временном ряде.
Если F
факт
< F
, то это означает, что уравнения (1) и (2) описы-
табл
вают одну и ту же тенденцию, а различия численных оценок их
параметров a1 и a2, а также b1 и b2 соответственно статистически
незначимы. Если же F
факт
> F
, то гипотеза о структурной ста-
табл
бильности отклоняется, что означает статистическую значимость различий в оценках параметров уравнений (1) и (2).
3. Применение теста Чоу предполагает соблюдение предпосылок о нормальном распределении остатков в уравнениях (1)
и (2) и независимость их распределений.
Если гипотеза о структурной стабильности тенденции ряда
yt отклоняется, дальнейший анализ может заключаться в исследовании вопроса о причинах этих структурных различий и более
детальном изучении характера изменения тенденции. В принятых нами обозначениях эти причины обусловливают различия в
оценках параметров уравнений (1) и (2).
Возможны следующие сочетания изменений численных
оценок параметров этих уравнений (рис.5.2):
,
– – 66
y
t*
а
t*
t
y
t
(2)
(1)
t
(2)
(1)
t
б
y
t
(2)
(1)
t
t*
в
Рис.5.2. Изменение тенденции временного ряда при различном
сочетании статистической значимости изменений параметров
– – 67
– изменение численной оценки свободного члена уравне-
(
)
ε
+⋅⋅+⋅+⋅+=
()(
)
ε
+⋅+++
=
ния тренда a2 по сравнению с a1 при условии, что различия между b1 и b2 статистически незначимы. Геометрически это означает, что прямые (1) и (2) параллельны (рис.5.2 а). В данной ситуации можно говорить о скачкообразном изменении уровней
ряда yt в момент времени t* при неизменном среднем абсолютном приросте за период;
– изменение численной оценки параметра b2 по сравнению
с b1 при условии, что различия между a1 и a2 статистически незначимы. Геометрически это означает, что прямые (1) и (2) пересекают ось ординат в одной точке (рис.5.2 а). В этом случае
изменение тенденции связано с изменением среднего абсолютного прироста временного ряда, начиная с момента времени t*,
при неизменном начальном уровне ряда в момент времени t
– изменение численных оценок параметров a1 и a2, а также
b1 и b2. Геометрически эта ситуация изображена на рис.5.2 в.
Она означает, что изменение характера тенденции сопровождается изменением как начального уровня ряда, так и среднего за
период абсолютного прироста.
Один из статистических методов тестирования при применении перечисленных выше ситуаций для характеристики тенденции изучаемого временного ряда был предложен американским экономистом Д.Гуйарати. Этот метод основан на включении в модель регрессии фиктивной переменной Zt, которая принимает значение 1 для всех t < t*, принадлежащие промежутку
времени до изменения характера тенденции, далее – промежутку
(1), и значения 0 для всех t > t*, принадлежащие промежутку
времени после изменения характера тенденции, далее – промежутку (2). Д.Гуйарати предлагает определять параметры следующего уравнения регрессии:
= 0;
tZdtcZbay
Таким образом, для каждого промежутка времени получим
следующие уравнения:
промежуток (1) Z
= 1
– – 68
(5.7)
tttt
;
tdcbay
tt
промежуток (2) Z = 0
ε
+⋅+
=
()(
)
+=+
=
Сопоставив полученные уравнения с уравнениями (1) и (2)
табл.5.1, нетрудно заметить, что
;;
11
Параметр b есть разница между свободными членами
уравнений (1) и (2), а параметр d – разница между параметрами
b1 и b2 уравнений (1) и (2). Оценка статистической значимости
различий a1 и a2, а также b1 и b2 эквивалентна оценке статистической значимости параметров b и d уравнения (5.7). Эту оценку
можно провести при помощи t-критерия Стьюдента.
Таким образом, если в уравнении (5.7) b является статистически значимым, а d
только различиями параметров a1 и a2 (см. рис.5.2 а). Если в
этом уравнении параметр d статистически значим, а b – нет, то
изменение характера тенденции вызвано различиями параметров b1 и b2 (рис.5.2 б). Наконец, если оба коэффициента b и d являются статистически значимыми, то на изменение характера
тенденции повлияли как различия между a1 и a2, так и различия
между b1 и b2 (рис.5.2 в).
Этот метод можно использовать не только в дополнение к
тесту Чоу, но и самостоятельно для проверки гипотезы о структурной стабильности тенденции изучаемого временного ряда.
Основное его преимущество перед тестом Чоу состоит в том,
что нужно построить только одно, а не три уравнения тренда.
Применим метод Д.Гуйарати для нашего примера. Для
этого сформируем новую расчетную таблицу – табл.5.5.
Применив процедуру Регрессия из Анализа данных получаем следующие значения коэффициентов:
a = –157,6242424; b = 178,2242424; c = 23,77575758; d = –
17,15757576
Значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов b и d
равны 19,08179438 и –22,00565552 соответственно, что означает
их статистическую значимость. Следовательно, на изменение
– нет, то изменение тенденции вызвано
dcbbaa
.;
cbaa
==
22
.
tcay
tt
(5.8)
– – 69
характера тенденции влияют все различия между параметрами
уравнений (1) и (2), что подтверждает вывод из теста Чоу: моделирование тенденции временного ряда следует осуществлять с
помощью кусочно-линейной модели.
Таблица 5.5. Исходные данные для метода Д.Гуйарати
t Z
1 1 1 30 27,21818
2 1 2 34 33,83636
3 1 3 41 40,45455
4 1 4 46 47,07273
5 1 5 52 53,69091
6 1 6 58 60,30909
7 1 7 65 66,92727
8 1 8 73 73,54545
9 1 9 81 80,16364
10 1 10 90 86,78182
11 0 0 109 103,9091
12 0 0 131 127,6848
13 0 0 153 151,4606
14 0 0 174 175,2364
15 0 0 196 199,0121
16 0 0 216 222,7879
17 0 0 239 246,5636
18 0 0 264 270,3394
19 0 0 296 294,1152
20 0 0 331 317,8909
Z⋅t
y Предсказанное y
Дополнительной иллюстрацией к выводам служит график,
изображенный на рис.5.3.
Мы рассмотрели простейший случай применения теста
Чоу для моделирования линейной тенденции, однако этот тест
(а также модель (5.7) с фиктивной переменной может использоваться (и действительно используется во многих прикладных
исследованиях) при проверке гипотез о структурной стабильности и в более сложных моделях взаимосвязи двух и более временных рядов.
– – 70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]