Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ временных рядов и прогнозирование. Учебное пособие
.pdf
5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 t
x
t
y
t
0
Рис.7.4. Расходы на рекламу и объем продаж по месяцам
Введем новые переменные:
= y(t); x1 = x(t), x2 = x(t – 1), x3 = x(t – 2), x4 = x(t – 3), ε = ε(t) (7.56)
y
Кроме того, зададим параметры:
b0 = c, b1 = c0, b2 = c1, b3 = c2, b4 = c3. (7.57)
С учетом обозначений зависимость (7.55) будет представ-
лена в форме
y(t) = b0 + b1 ⋅ x1 + b2 ⋅ x2 + b3 ⋅ x3 + b4 ⋅ x4 + ε(t) (7.58)
Оценка параметров модели (7.58) проводится традицион-
ным МНК (в Excel с помощью процедуры Регрессия из Анали-
за данных). Значения переменных (7.56) задаются из табл.7.10 с
учетом сдвижки данных, начиная с t = 4 и далее. Например:
y1 = y(4) = 18,286; x11 = x(4) = 1,45; x21 = x(3) = 1,78 и т.д.
В результате получается табл.7.11.
Оценки параметров модели таковы:
b
= c = 0,021187;
0
b1 = c0 = 4,461027;
– – 141
b2 = c1 = 4,19125;
b3 = c2 = 2,158897;
b4 = c3 = 1,170873.
Таблица 7.11. Исходные данные для расчетов по МНК
x1 x2 x3 x4 y
1,45 1,78 1,23 1,52 18,286
1,48 1,45 1,78 1,23 17,388
1,12 1,48 1,45 1,78 16,345
1,34 1,12 1,48 1,45 15,029
1,38 1,34 1,12 1,48 15,626
1,45 1,38 1,34 1,12 16,241
1,14 1,45 1,38 1,34 16,100
1,58 1,14 1,45 1,38 17,446
1,45 1,58 1,14 1,45 17,351
1,24 1,45 1,58 1,14 16,872
1,35 1,24 1,45 1,58 16,087
1,68 1,35 1,24 1,45 17,496
1,65 1,68 1,35 1,24 18,844
1,56 1,65 1,68 1,35 18,904
1,50 1,56 1,65 1,68 19,214
Поскольку все коэффициенты больше нуля, можно сделать
вывод, что переменная x(t) оказывает влияние на переменную
y(t). Из результатов видно, что влияние лаговых переменных на
y(t) уменьшается с увеличением величины лага. Иначе говоря,
расходы на рекламу в предшествующие месяцы оказывают все
меньшее воздействие на объем продаж в текущем месяце.
8. Адаптивные методы прогнозирования
8.1. Применение адаптивных методов
при краткосрочном прогнозировании
При использовании традиционных подходов и методов для
прогнозирования важнейших экономических показателей на
макро-, мезо- и микроуровнях часто выдвигается гипотеза о том,
что основные тенденции и факторы, выявленные из предысто-
– – 142
рии, сохранятся и для периода упреждения (на прогнозируемый
период). Таким образом, процесс экстраполяции выявленных
закономерностей, тенденций базируется на предположении об
инерционности анализируемых экономических систем.
В последнее время в процессе коренных социальноэкономических преобразований в России подвижность этих систем возрастает. возрастает быстрота реакции на конъюнктуру
внешнего и внутреннего рынка, на правительственные решения,
на новые социально-экономические условия. Даже наиболее
инерционные макроэкономические характеристики становятся
более подвижными. В связи с этим для прогнозирования таких
сложных процессов требуется гибкий и современный статистический инструментарий.
В настоящее время одними из наиболее перспективных в
исследовании и прогнозировании одномерных временных рядов
считаются адаптивные методы.
Термин адаптация происходит от лат. a
собление. В биологии это слово означает совокупность различных особенностей (морфологических, поведенческих и других)
биологического вида, обеспечивающих приспособление к определенным условиям существования, к специфическим особенностям внешней среды. Адаптацией также называется и сам
процесс выработки приспособлений. Применительно к прогнозированию процесс адаптации состоит в следующем.
При обработке временных рядов, как правило, наиболее
ценной является информация последнего периода, так как необходимо знать, как будет развиваться тенденция, существующая
в данный момент, а не сложившаяся в среднем на рассматриваемом периоде. Адаптивные методы позволяют учесть различную
информационную ценность уровней временного ряда, степень
«устаревания» данных с помощью системы весов, придаваемых
этим уровням.
Важнейшее достоинство адаптивных методов – построение
самокорректирующихся моделей, способных учитывать результат прогноза, сделанного на предыдущем шаге. Пусть модель
daptatio – приспо-
– – 143
находится в некотором состоянии, для которого определены текущие значения ее коэффициентов. На основе этой модели делается прогноз. При поступлении фактического значения оценивается ошибка прогноза (разница между этим значением и полученным по модели). Ошибка через обратную связь поступает в
модель и учитывается в ней в соответствии с принятой процедурой перехода от одного состояния в другое. В результате вырабатываются «компенсирующие» изменения, состоящие в коррекции параметров с целью непосредственного согласования
поведения модели с динамикой ряда. Затем рассчитывается прогнозная оценка на следующий момент времени, и весь процесс
повторяется вновь.
Таким образом, адаптация осуществляется итеративно с
получением каждой новой фактической точки ряда. Модель постоянно «впитывает» новую информацию, приспосабливается к
ней и поэтому отражает тенденцию развития, существующую в
данный момент.
Скорость реакции модели на изменения в динамике процесса характеризует так называемый параметр адаптации. Этот
параметр адаптации должен быть выбран таким образом, чтобы
обеспечивалось адекватное отображение тенденции при одновременной фильтрации случайных отклонений.
На основе рассмотренных особенностей дадим определение группы методов прогнозирования, объединенных общим
названием «адаптивные». Адаптивными называются методы
прогнозирования, позволяющие строить самокорректирующиеся
(самонастраивающиеся) экономико-математические модели, ко-
торые способны оперативно реагировать на изменение условий
путем учета результата прогноза, сделанного на предыдущем
шаге, и учета различной информационной ценности уровней ряда.
В связи с отмеченными свойствами адаптивные методы
можно рассматривать как эффективное средство краткосрочного
прогнозирования показателей, характеризующих развитие российской экономики. Указав основные характерные черты, при-
– – 144
сущие рассматриваемому подходу, следует отметить, что деление на адаптивные и неадаптивные модели в то же время носит
достаточно условный характер. У истоков адаптивных методов
находится модель экспоненциального сглаживания.
Предположим, что временной ряд может быть представлен
в виде:
yt =a1 +
где a1 = const;
ε
– случайные неавтокоррелированные отклоне-
t
ния с нулевым математическим ожиданием и дисперсией
ε
,
t
2
σ
.
Модель экспоненциального сглаживания ряда описывается
следующей рекуррентной формулой:
= αyt + βS
S
t
, (8.1)
t–1
где St – значение экспоненциальной средней в момент t; α – параметр сглаживания, α = const; 0 < α <1; β = 1 –α.
Если последовательно использовать соотношение (8.1), то
экспоненциальную среднюю St можно выразить через предшествующие значения уровней временного ряда.
Таки образом, экспоненциальная средняя может быть
представлена в виде:
−
1
n
i
∑
t
=
0
i
n
+=
−
it
, (8.2)
SyS
ββα
0
где n – длина ряда; S0 – начальное значение экспоненциальной
средней.
Из (8.2) видно, что величина St оказывается взвешенной
суммой всех членов ряда. Причем веса отдельных уровней ряда
убывают по мере их удаления в прошлое соответственно экспоненциальной функции (в зависимости от «возраста» наблюдений). Именно поэтому модель (8.1) получила название модели
экспоненциального сглаживания.
Например, пусть
yt будет равен 0,1; вес предыдущего уровня y
вовать
αβ
= 0,1 ⋅ 0,9 = 0,09; для уровня y
α
= 0,1. Тогда все текущего наблюдения
будет соответст-
t–1
вес составит
t–2
αβ
2
=
– – 145
0,081; для y
t–3
3
–
αβ
= 0,0729 и т.д.
При расчете экспоненциальной средней в момент времени
t всегда требуется значение экспоненциальной средней в предыдущий момент времени, поэтому на первом шаге должна быть
определена некоторая величина S0, предшествующая St. Часто на
практике в качестве начального значения S0 используется среднее арифметическое значение из всех имеющихся уровней временного ряда или из какой-то их части. Из выражения (8.2) следует, что вес, приписываемый этому значению, уменьшается по
экспоненциальной зависимости по мере удаления от первого
уровня. Поэтому для длинных временных рядов влияние неудачного выбора S0 погашается.
Рассмотрим выражение (8.2) при n →
0. Очевидно, что
β
→ 0, следовательно,
∞
i
=
t
∑
=
βα
0i
, (8.3)
yS
−
it
Автор модели Р.Браун показал, что математическое ожидание временного ряда и экспоненциальной средней совпадут,
но в то же время дисперсия экспоненциальной средней D[St] будет меньше дисперсии временного ряда (
2
σ
).
Представим выражение (8.3) в следующем виде:
n
∞
i
t
=
i
−
0 i i
∞
i
( )
∑ ∑∑
it
=
0 0
aayS
t
∞
i
+=+==
111
=
.
εβαεβαβα
−−
it
Отсюда очевидно, что математическое ожидание M(St) =
a1, так же как и математическое ожидание самого временного
ряда.
Дисперсия экспоненциальной средней D[St] определяется
выражением:
2
i
εβα
.
−
it
[ ]
( )
[ ]
Учитывая свойства
2
1
tt
ε
, можно записать:
t
=−=
MaSMSD
∞
∑
=
i
0
– – 146
[ ]
α
2
α
α
−
SD
Таким образом,
t
[ ]
SD
∞
i
==
σβα
∑
=
0
i
=
t
2
2
(8.4)
σ
2222
.
σ
α
−
Так как 0 < α <1, то D[St] меньше дисперсии временного
ряда, равной
2
σ
.
Из (8.4) видно, что при высоком значении α дисперсия
экспоненциальной средней незначительно отличается от дис-
персии ряда. С уменьшением α дисперсия экспоненциальной
средней сокращается, возрастает ее отличие от дисперсии ряда.
Тем самым экспоненциальная средняя начинает играть роль
«фильтра», поглощающего колебания временного ряда.
Таким образом, с одной стороны, следует увеличивать вес
более свежих наблюдений, что может быть достигнуто повыше-
α
нием
, с другой стороны, для сглаживания случайных отклоне-
ний величину α нужно уменьшить. Эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения параметра
сглаживания α с учетом специфики решаемой задачи составляет
важную часть исследования.
Пример 8.1. Требуется рассчитать экспоненциальную
среднюю для временного ряда курса EURO с 2 октября 2006 г.
по 31 октября 2006 г. (табл.8.1). В качестве начального значения
экспоненциальной средней взять среднее значение пяти первых
уровней. Расчеты провести для трех различных значений параметров адаптации α = 0,2; α = 0,5; α = 0,8.
Сравнить исходный временной ряд и экспоненциально
сглаженные временные ряды при различных значениях параметра адаптации. Какой временной ряд носит более гладкий характер.
– – 147
Таблица 8.1. Экспоненциальные средние для временного ряда
курса EURO
Дата t Курс EURO
2 октября 2006 г. 1 33,9783 34,02206 34,00565 33,98924
3 октября 2006 г. 2 33,9651 34,01067 33,98538 33,96993
4 октября 2006 г. 3 34,1013 34,02879 34,04334 34,07503
5 октября 2006 г. 4 34,0745 34,03794 34,05892 34,07461
6 октября 2006 г. 5 34,0458 34,03951 34,05236 34,05156
7 октября 2006 г. 6 33,99 34,02961 34,02118 34,00231
10 октября 2006 г. 7 33,8757 33,99883 33,94844 33,90102
11 октября 2006 г. 8 33,8828 33,97562 33,91562 33,88644
12 октября 2006 г. 9 33,7945 33,9394 33,85506 33,81289
13 октября 2006 г. 10 33,7963 33,91078 33,82568 33,79962
14 октября 2006 г. 11 33,8393 33,89648 33,83249 33,83136
17 октября 2006 г. 12 33,7247 33,86213 33,77859 33,74603
18 октября 2006 г. 13 33,7588 33,84146 33,7687 33,75625
19 октября 2006 г. 14 33,7983 33,83283 33,7835 33,78989
20 октября 2006 г. 15 33,782 33,82266 33,78275 33,78358
21 октября 2006 г. 16 33,9048 33,83909 33,84377 33,88056
24 октября 2006 г. 17 33,8532 33,84191 33,84849 33,85867
25 октября 2006 г. 18 33,7603 33,82559 33,80439 33,77997
26 октября 2006 г. 19 33,8003 33,82053 33,80235 33,79623
27 октября 2006 г. 20 33,9272 33,84187 33,86477 33,90101
28 октября 2006 г. 21 33,9677 33,86703 33,91624 33,95436
31 октября 2006 г. 22 34,0284 33,89931 33,97232 34,01359
Экспоненциальная средняя
α
= 0,2
α
= 0,5
α
= 0,8
Решение
5
Определим
1
=
0
5
∑
=
i
.
yS
t
1
Найдем значения экспоненциальной средней при α = 0,2.
Согласно (8.1)
= αy1 + (1 – α)S0; S
S
1
= 0,2⋅33,9783 + 0,8⋅34,033 = 34,0221;
1
S2 = αy2 + (1 – α)S1; S2 = 0,2⋅33,9651 + 0,8⋅34,0221 = 34,0107 и т.д.
Аналогичны вычисления для
α
= 0,5 и α = 0,8. Результаты
расчетов экспоненциально сглаженных рядов при различных
– – 148
значениях параметров адаптации представлены в табл.8.1.
34
5 10 15 20 25 t
y
(
)
=
(
)
На рис.8.1 наглядно проявляется характер сглаженного ряда. При α = 0,2 экспоненциальная средняя носит более гладкий
характер, так как в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.
y
34,15
34,1
34,05
33,95
33,9
33,85
33,8
33,75
33,7
0
0,2
0,5
0,8
Рис.8.1. Экспоненциальное сглаживание временного ряда курса
EURO при различных значениях параметра адаптации
При использовании экспоненциальной средней для краткосрочного прогнозирования предполагается, что модель ряда
имеет вид:
yt =a
+
ε
, (8.5)
1,t
t
где a
– варьирующий во времени средний уровень ряда;
1,t
ε
–
t
случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым ма-
2
σ
тематическим ожиданием и постоянной дисперсией
.
Прогнозная модель определяется равенством:
, (8.6)
ˆˆ
aty
t
,1
где
τ
– прогноз, сделанный в момент t на τ единиц времени
ˆ
ty
τ
– – 149
(шагов) вперед;
=
=
ˆ
– оценка a
ta,1
1,t
Единственный параметр модели
щью экспоненциальной средней:
.
ˆ
определяется с помо-
ta,1
ˆ
ˆ
;
Sa
tt
,1
.
Sa
00,1
Выражение (8.1) можно представить по-другому, перегруппировав члены:
St = S
Величину (уt – S
) можно рассматривать как погрешность
t–1
прогноза. Тогда новый прогноз S,
+ α(yt –S
t–1
). (8.7)
t–1
получается в результате кор-
ректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом
и состоит адаптация модели.
При краткосрочном прогнозировании желательно как
можно быстрее отразить изменения ряда и в то же время очистить ряд, отфильтровав случайные колебания. Для этого величине α следует присвоить одно из промежуточных значений в
интервале от 0 до 1. Если в результате экспериментальных расчетов получено наилучшее значение α, близкое к 1, то целесообразно проверить правомерность выбора модели данного типа.
Р.Браун рекомендовал брать значения α в пределах 0,1-0,3. Во
многих работах некритически повторяются эти рекомендации.
Однако опыт практических исследований экономических временных рядов свидетельствует о том, что часто эти значения далеки от оптимальных.
Иногда поиск этого значения параметра осуществляется
путем перебора на сетке значений. В этом случае в качестве оптимального выбирается то значение α, при котором получена
наименьшая дисперсия ошибки. В большинстве эконометрических пакетов, например, «Мезозавр», «SPSS», «STATISTICA» и
др., при построении этих моделей предусмотрена удобная для
пользователя возможность реализации поиска значений параметров адаптации по предложенной схеме.
– – 150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]