Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ временных рядов и прогнозирование. Учебное пособие
.pdf
ния между коэффициентом автокорреляции остатков первого
2
порядка и критерием Дарбина-Уотсона: r
ε
= 1 – d/2.
1
Пример 7.6. Расчет параметров уравнения регрессии при
наличии автокорреляции остатков.
Пусть имеются данные о среднедушевом располагаемом
доходе и среднедушевом расходе на конечное потребление в
США за период с 1960 по 1991 гг. (табл.7.9). Требуется рассчитать параметры уравнения регрессии, проанализировав автокорреляцию остатков в США за рассматриваемый период.
Коэффициент корреляции, рассчитанный по уровням временных рядов, равен 0,997. Это говорит об очень тесной прямой
связи между расходами на конечное потребление и среднедушевым доходом в США за период с 1960 по 1991 г. Однако при
расчете параметров уравнения регрессии мы сталкиваемся с
другой проблемой – автокорреляцией в остатках (фактическое
значение критерия Дарбина-Уотсона составляет 0,519, что свидетельствует о наличии положительной автокорреляции в остатках). Поэтому найденные оценки параметров уравнения регрессии а0= -174,305 и а1=0,922 не являются эффективными ввиду
нарушения предпосылок МНК в этом уравнении.
Для получения новых оценок параметров, для которых не
нарушается свойство эффективности, воспользуемся методом
расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках.
. Найдем оценку коэффициента автокорреляции остатков
1
первого порядка. Ее можно получить двумя способами. Воспользовавшись приближенным соотношением между критерием
Дарбина-Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков
первого порядка, которое описывается формулой (7.41), имеем:
ε
r
1
519,0
1
740,0
=−=
– – 131
Таблица 7.9. Среднедушевой располагаемый доход и среднеду-
Среднедушевой
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
70
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
шевые расходы на конечное потребление в CIIIA за период с
1960 по 1991 гг. (в сопоставимых ценах 1987 г.)
Среднедуше-
располагаемый
Год
доход (долл.
США)
t xt yt
7264 6698
7382 6740 107,0231838 2088,873423 1859,30592
7583 6931 112,6718373 2203,889264 2019,70139
7718 7089 146,1821269 2192,42472 2038,52364
8140 7384 52,03651387 2516,053012 2218,3923
8508 7703 31,68678494 2576,550339 2322,4319
8822 8005 44,13294016 2622,39635 2391,9832
9114 8163 –67,13369258 2685,591044 2329,92205
9399 8506 13,05469671 2757,816682 2557,79072
9606 8737 53,17047419 2757,143076 2538,85371
19
9875 8842 –89,88680049 2875,306457 2475,52879
10111 9022 –127,5132571 2915,29172 2579,01746
10414 9425 –3,923495837 3046,323401 2850,85518
11013 9752 –229,2889513 3424,533567 2884,19741
10832 9602 –212,3805249 2807,054655 2495,91928
10906 9711 –171,6193291 3012,945611 2714,22117
11192 10121 –25,35308579 3245,023342 3044,79513
11406 10425 81,30766968 3250,621056 3050,03661
11851 10744 –10,04730144 3539,683682 3147,51809
12039 10867 –60,41074991 3403,421385 3038,06939
12005 10746 –150,0577858 3232,429673 2827,44184
12156 10770 –265,3018322 3408,20477 2939,61203
12146 10782 –244,0803722 3288,174192 2934,12373
12349 11179 –34,27601069 3498,460986 3322,37958
13029 11617 –223,3352924 4030,539084 3471,09389
13258 12015 –36,50672697 3764,037146 3549,93235
13552 12336 13,38234829 3891,169582 3580,91798
13545 12568 251,8373703 3669,937862 3579,01191
13890 12903 268,6969994 4020,038618 3744,95831
14030 13027 263,5965591 3908,644252 3624,85074
14154 13051 173,2504548 3930,629148 3558,49451
13987 12889 165,2488372 3673,272912 3379,0062
вые расходы
на конечное
потребление
(долл. США)
Остатки
ε
τ
173,8364121
Скорректированные на
коэффициент автокорреляции остатков значения
дохода расхода
x't y't
– –
– – 132
Приблизительно этот же результат можно получить, если
рассчитать коэффициент автокорреляции уровней первого порядка по временному ряду остатков (гр. 4 табл.7.9): r
ε
= 0,729.
1
2. Проведем пересчет исходных данных в соответствии с
формулами (7.40) и (7.41). Новые переменные x’t и y’t приведены
в гр. 5 и 6 табл.7.6 соответственно. При пересчете данных мы
использовали величину коэффициента автокорреляции 0,729.
Однако в равной степени допустимо применять и другую его
оценку 0,740, полученную из соотношения между коэффициентом автокорреляции остатков и критерием Дарбина-Уотсона.
3. Определим параметры уравнения регрессии y’t на x’t
обычным МНК (уравнение 7.39). Получим:
= –88,714 + 0,935 ⋅ x’t + u
y’
t
.
t
4. Воспользуемся формулой (7.43) для расчета параметра а
исходного уравнения (7.39):
714,88
−=a
−
−=
729,01
971,326
5. Уравнение регрессии зависимости среднедушевых рас-
ходов на конечное потребление от среднедушевого располагаемого дохода имеет вид:
y’t = –326,971 + 0,935 ⋅ x’t + ut.
Коэффициент детерминации для этого уравнения равен
0,963. Для коэффициента регрессии t-критерий составил 27,328.
Полученные результаты можно считать статистически значимыми.
Следовательно, предельная склонность к потреблению в
США за период с 1960 по 1991 г. была равна 0,935. Это означает, что с увеличением среднедушевого располагаемого дохода
на 1 долл. США среднедушевые расходы на конечное потребление возрастали в среднем на 93,5 цента.
– – 133
7.4. Коинтеграция временных рядов
Общий недостаток методов исключения тенденции заключается в том, что эти методы предполагают некоторую модификацию модели (7.1) вследствие либо замены переменных, либо
добавления в эту модель фактора времени. Однако большая
часть соотношений, постулируемых экономической теорией,
верификацией которых занимается эконометрика, сформулирована в терминах уровней временных рядов, а не их последовательных разностей или отклонений от трендов и предполагает
измерение взаимосвязи переменных без включения в модель каких-либо дополнительных факторов (например, переменной
времени).
В ряде случаев наличие в одном из временных рядов тенденции может быть следствием именно того факта, что другой
ряд, включенный в модель, тоже содержит тенденцию, а не просто является результатом прочих случайных причин. Поэтому
одинаковая или противоположная направленность тенденций
рядов может иметь устойчивый характер и наблюдаться на протяжении длительного промежутка времени, а коэффициент корреляции, рассчитанный по уровням временных рядов, может соответственно не содержать ложной корреляции и характеризовать истинную причинно-следственную зависимость между ними.
Начиная с 1970-х гг. эти предположения были положены в
основу новой теории о коинтегpации временных рядов. Под ко-
интеграцией понимается причинно-следственная зависимость в
уровнях двух (или более) временных рядов, которая выражается
в совпадении или противоположной направленности их тенденций и случайной колеблемости.
Не останавливаясь детально на положениях и концепциях
теории коинтеграции (глубокое ее рассмотрение потребовало бы
подготовки отдельного учебного пособия), в данном разделе мы
кратко охарактеризуем основные статистические методы и критерии, применяемые для проверки гипотез о наличии
коинтегpации временных рядов данных.
– – 134
В соответствии с этой теорией между двумя временными
рядами коинтеграция существует в случае, если линейная комбинация временных рядов – это стационарный временной ряд
(т.е. ряд, содержащий только случайную компоненту и имеющий постоянную дисперсию на длительном промежутке времени). (Статистические критерии, предназначенные для проверки
гипотезы о коинтеграции, основаны не на проверке стационарности остатков, а на проверке менее жесткой гипотезы – гипотезы об отсутствии во временном ряде единичного корня).
Рассмотрим уравнение регрессии вида (1.1). Остатки
ε
в
t
этом уравнении представляют собой линейную комбинацию рядов yt и xt:
ε
= yt –a – b ⋅ xt. (7.51)
t
Одним из методов тестирования гипотезы о коинтегpации
временных рядов y
и xt является критерий Ингла-Грэнджера.
t
Алгоритм применения этого критерия следующий.
1. Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии
коинтегpации между рядами yt и xt.
2. Рассчитывают параметры уравнения регрессии вида
∆ε
= a + b ⋅
t
ε
. (7.52)
t–1
где
∆ε
– первые разности остатков, полученных из соотношения
t
(3.1).
3. Определяют фактическое значение t-критерия для коэф-
фициента регрессии b в уравнении (7.52).
4. Сравнивают полученное значение с критическим значе-
нием статистики τ. Критические значения τ, рассчитанные Инглом и Грэнджером для уровней значимости 1; 5 и 10%, составляют соответственно 2,5899; 1,9439 и 1,6177. Если фактическое
значение t больше критического значения τ для заданного уров-
α
ня значимости
, нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции
исследуемых временных рядов отклоняют и с вероятностью (1 –
α
) принимают альтернативную гипотезу о том, что между ряда-
ми yt и xt есть коинтеграция. В противном случае гипотеза об
отсутствии коинтеграции между исследуемыми рядами не от-
– – 135
клоняется.
Другой метод тестирования нулевой гипотезы об отсутствии коинтеграции между двумя временными рядами основан на
использовании величины критерия Дарбина-Уотсона, полученной для уравнения (7.51). Однако в отличие от традиционной
методики его применения в данном случае проверяют гипотезу
о том, что полученное фактическое значение критерия ДарбинаУотсона в генеральной совокупности равно нулю.
Ряд авторов приводят следующие критические значения
критерия Дарбина-Уотсона, полученные методом Монте-Карло
для ближайших уровней значимости: 1 % – 0,511; 5% – 0,386;
10% – 0,322. Если результаты тестирования показывают, что
фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона нельзя признать равным нулю (т.е. оно превышает критическое значение
для заданного уровня значимости), нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции временных рядов отклоняют.
Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона
меньше критического значения для заданного уровня значимости, то нулевая гипотеза об отсутствии коинтеграции не отклоняется.
Коинтеграция двух временных рядов значительно упрощает процедуры и методы, используемые в целях их анализа, поскольку в этом случае можно строить уравнение регрессии и определять показатели корреляции, применяя в качестве исходных
данных непосредственно уровни изучаемых рядов, учитывая тем
самым информацию, содержащуюся в исходных данных, в полном объеме. Однако поскольку коинтеграция означает совпадение динамики временных рядов в течение длительного промежутка времени, то сама эта концепция применима только к временным рядам, охватывающим сравнительно длительные (например, в несколько десятилетий) промежутки времени. При
наличии коротких временных рядов данных, даже если формальные критерии показали присутствие их коинтеграции, моделирование взаимосвязей по уровням этих рядов может привести к неверным результатам ввиду нарушения предпосылок
– – 136
теории коинтеграции.
Пример 7.7. Анализ взаимосвязи временных рядов сред-
недушевого располагаемого дохода и среднедушевого расхода
на конечное потребление.
Пусть имеются данные о среднедушевом располагаемом
доходе и среднедушевом расходе на конечное потребление в
США за период с 1960 по 1991 гг. (табл.7.9). Проверить изучаемые временные ряды на наличие коинтеграции.
Построим графики временных рядов среднедушевого дохода и потребления (рис.7.3). Видно, что тенденции этих рядов
совпадают. Проведем тестирование на коинтеграцию временных
рядов среднедушевого дохода и расхода на потребление.
y
x
t
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
t
доходы
расходы
2000
0
1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988
t
Рис.7.3. Динамика среднедушевого дохода и расходов на конеч-
ное потребление в США с 1960 по 1991 гг.
Нулевая гипотеза состоит в том, что коинтеграция между
этими рядами отсутствует.
В примере 7.6 были рассчитаны параметры уравнения регрессии зависимости среднедушевых расходов у
вого дохода х
.
t
от среднедуше-
t
Регрессионный анализ зависимости среднедушевых расходов на конечное потребление от среднедушевого располагаемо-
– – 137
го дохода показал следующее:
а0 = –174,305;
а1 = 0,922;
R2 = 0,994;
Критерий Дарбина-Уотсона = 0,519.
Уравнение регрессии имеет вид: у
ε
.
t
= –174,305 + 0,922 ⋅ х
t
+
t
Применим критерий Ингла-Грэнджера. В примере 7.5 остатки
ε
(графа 4 табл.7.9). Определим параметры уравнения рег-
τ
рессии (7.52):
а0 = –1,729;
а1 = –0,272;
2
= 0,137;
R
Фактическое значение t-критерия, рассчитанное по данным
уравнения регрессии, равно –2,149. Поскольку полученное фактическое значение по абсолютной величине превышает критическое значение t
= 1,9439, с вероятностью 95% можно от-
0,05
клонить нулевую гипотезу и сделать вывод о коинтеграции временных рядов среднедушевого дохода и среднедушевых расходов наконечное потребление.
Этот же вывод подтверждается и другим критерием. Полученное значение критерия Дарбина-Уотсона для уравнения регрессии, рассчитанного по уровням временных рядов, d = 0,519
превышает его критическое значение при уровне значимости
0,01, равное 0,511, и тем более превышает его критические значения при повышении уровня значимости. Это свидетельствует
о том, что в генеральной совокупности критерий ДарбинаУотсона не равен нулю и, следовательно, временные ряды дохода и потребления коинтегрируют.
Делаем обобщенный вывод: для определения показателей
силы и тесноты их взаимосвязи можно работать с уровнями рядов.
– – 138
7.5. Модель распределенных лагов
Модель распределенных лагов используется для построения регрессии между временными рядами y(t) и x(t). Особенность такой регрессии состоит в том, что зависимая переменная
y(t) учитывает не только текущие значения независимой переменной x(t), но и ее предшествующие значения:
y(t) = c + c0 ⋅ x(t) + c1⋅ x(t – 1) + … +ck ⋅ x(t – k) + ε(t) (7.53)
Модель (7.53) применяется в тех случаях, когда на значения переменной y(t) существенно влияют лаговые переменные
x(t – 1), x(t – 2),…, x(t – k). Принято, что случайная составляющая ε(t), входящая в (9.1), предполагается такой, что
ε
(t)) = 0; D((ε(t)) =
M(
2
σ
= const > 0, (7.54)
а случайные величины ε(t1), ε(t2),…, ε(tn), взаимно независимы и
имеют нормальное распределение. Эти условия соответствуют
основным предположениям МНК, что дает возможность применить регрессионный анализ.
Коэффициенты с, с0, с1, …,сk являются параметрами модели и должны вычисляться по набору данных. Модель (7.53) позволяет прогнозировать значения y(t) на несколько шагов вперед
на основе ранее полученных значений лаговых переменных.
Работа с моделью (7.53) включает несколько этапов. Первый из них предполагает содержательный анализ данных, в том
числе и графический. На этом этапе необходимо решить вопрос
о длине лага (параметр k). Второй этап связан с оценками коэффициентов выбранной модели. Третий этап предполагает интерпретацию полученных оценок коэффициентов модели. Пусть в
модели (7.53) все найденные коэффициенты имеют одинаковые
знаки. Тогда модель допускает четкую интерпретацию, состоящую в том, что переменная x(t)
оказывает влияние на перемен-
ную y(t) и это влияние распространяется на определенный период времени. Здесь также используются такие понятия как средний и медианный лаг. Коэффициенты модели интерпретируются
как мультипликаторы.
– – 139
Если коэффициенты будут иметь различные знаки, то возможно, что модель (7.53) или ее порядок выбраны неудачно, либо взаимосвязь между y(t) и x(t) имеет достаточно сложный характер, который нужно дополнительно изучать.
Пример 7.8. Рассмотрим набор данных, который характе-
ризует зависимость объемов продаж компании за месяц y(t) от
расходов на рекламу x(t) (млн. руб). эти данные представлены в
табл.7.10.
Таблица 7.10. Зависимость объемов продаж компании за месяц
от расходов на рекламу
Месяц, t Расходы на рекламу, x
1 1,52 17,955
2 1,23 16,842
3 1,78 18,448
4 1,45 18,286
5 1,48 17,388
6 1,12 16,345
7 1,34 15,029
8 1,38 15,626
9 1,45 16,241
10 1,14 16,100
11 1,58 17,446
12 1,45 17,351
13 1,24 16,872
14 1,35 16,087
15 1,68 17,496
16 1,65 18,844
17 1,56 18,904
18 1,50 19,214
Объем продаж, y
t
t
Графический анализ данных (рис.7.4) показывает, что ди-
намика переменных y(t) и x(t) имеет согласованный характер.
Для построения связи между y(t)
и x(t) можно использовать
линейную регрессионную зависимость. Зафиксируем порядок
модели k
= 3 и рассмотрим зависимость
y(t) = c + c0 ⋅ x(t) + c1⋅ x(t – 1) + c
2
⋅ x(t – 3) + ε(t). (7.55)
3
– – 140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]