Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ временных рядов и прогнозирование. Учебное пособие
.pdf
Для каждого момента (периода) времени
ε
t
0 а
ε
t
0 б
ε
t
0
ε
t
0
компоненты
ε
определяется как
t
ε
p
(7.18)
yy −=
ttt
nt ,1=
значение
или
k
. (7.19)
⋅+−=
xbay
ε
∑
j
=
1
)(
jtjtt
Рассматривая последовательность остатков как временной
ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками МНК остатки
ε
должны быть слу-
t
чайными (рис.7.1а). Однако при моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки содержат тенденцию (рис.7.1б и в) или циклические колебания (рис.7.1г). Это
свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят о наличии автокорреляции остатков.
t
t
в
г
t
t
Рис.7.1. Модели зависимости остатков от времени
– – 121
Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу. Во-первых, иногда она связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака. Вовторых, в ряде случаев причину автокорреляции остатков следует искать в формулировке модели. Модель может не включать
фактор, оказывающий существенное влияние на результат,
влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто
этим фактором является фактор времени t. Кроме того, в качестве таких существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных, включенных в модель. Либо модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат значительно ввиду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний.
От истинной автокорреляции остатков следует отличать
ситуации, когда причина автокорреляции заключается в неправильной спецификации функциональной формы модели. В этом
случае следует изменить форму связи факторных и результативного признаков, а не использовать специальные методы расчета
параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции
остатков.
Известны два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков. Первый метод – это построение
графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод
использование критерия Дарбина-Уотсона и расчет величины
n
( )
−
∑
=
2
t
=
d
n
∑
=
1
t
2
εε
−
1
tt
. (7.20)
2
ε
t
Таким образом, d
– это отношение суммы квадратов разно-
стей последовательных значений остатков к остаточной сумме
квадратов по модели регрессии. Практически во всех статисти-
– – 122
ческих пакетах прикладных программ значение критерия Дар-
1
−
n
1
−
n
n
=
=
ε
ε
бина-Уотсона указывается наряду с коэффициентом детерминации, значениями t- и F-критериев.
Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка
определяется как
n
( ) ( )
ε
r
1
∑
=
t
=
2
n
( ) ( )
∑ ∑
= =
t
2 2
2
1
−⋅−
εεεε
−
tt
211
, (7.21)
n
−
tt
t
2
−⋅−
εεεε
21
где
n
ε
∑
1
−
t
2
=
t
ε
=
2
. (7.22)
Поскольку
n
ε
∑
t
2
=
t
ε
=
1
ε
– остатки, полученные по уравнению регрес-
t
;
сии, параметры которого определены обычным методом наименьших квадратов, в соответствии с предпосылками МНК их
сумма и среднее значение равны нулю.
n
ε
∑
t
1
=
t
. (7.23)
0
==
∑
tt1
n
ε
=
=
0
ε
t
Следовательно, без уменьшения общности можно предположить, что
. (7.24)
0
21
Предположим также
n
∑ ∑
= =
t
2 2
n
2
≈
2
. (7.25)
εε
−
tt
1
t
С учетом соотношений (7.24) и (7.25) формула для расчета
коэффициента автокорреляции остатков (7.2) преобразуется
следующим образом:
– – 123
n
(
)
⋅
εε
ε
=
r
1
=
t
2
n
( ) ( )
∑ ∑
= =
t
2 2
∑
−
tt
1
n
2
εε
⋅
−
tt
1
t
n
⋅
εε
∑
=
t
≈
2
2
∑
=
t
tt
n
2
ε
t
2
Преобразуем теперь формулу (7.20) расчета критерия Дарбина-Уотсона:
n
( )
−
∑
=
t
=
d
εε
−
tt
2
∑
t
1
n
2
ε
t
=
1
n
2
=
2
∑ ∑ ∑
= = =
t
2 2 2
n
2
t
n
2
ε
∑
t
=
t
1
n
2
+⋅⋅−
εεεε
−−
tttt
11
t
. (7.27)
С учетом (7.19) имеем:
−
1
. (7.26)
n
2
∑ ∑
= =
t
=
d
2 2
n
∑
=
t
n
22
ε
1
⋅⋅−⋅
εεε
−
ttt
t
2
t
1
n
∑
=
t
2
−⋅=
12
n
∑
=
t
1
⋅
εε
−
tt
1
. (7.28)
2
ε
t
Сравнив выражения (7.26) и (7.28), нетрудно вывести следующее соотношение между критерием Дарбина-Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка:
ε
12 rd −⋅≈
. (7.29)
1
Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и r
есть полная отрицательная автокорреляция, то r
ε
= 1, то d = 0. Если в остатках
1
ε
= –1 и, следо-
1
вательно, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то
ε
r
= 0 и d = 2. Значит,
1
0 ≤ d ≤ 4.
Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе
критерия Дарбина-Уотсона следующий:
1
. Выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции
остатков (альтернативные гипотезы Н1 и Н*1 состоят соответст-
– – 124
венно в наличии положительной или отрицательной автокорре-
85468
ляции в остатках);
2. Далее по специальным таблицам определяются критиче-
ские значения критерия Дарбина-Уотсона dL и dU для заданного
числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и
уровня значимости α;
3. По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью (1 – α) представлено на рис.7.2.
Есть
положительная
автокорреляция
остатков.
Н
отклоняется.
0
С вероятностью
принимается
0 2 4
P
= (1 –
α
)
Н
1
d
Зона
неопределенности
L
Нет оснований
отклонять
(автокорреляция
остатков
отсуствует)
d
U
Н
0
неопределенности
d
4 –
U
Зона
отрицательная
автокорреляция
остатков.
Н
отклоняется.
0
С вероятностью
P
принимается Н*
d
4 –
L
Есть
= (1 –
α
)
1
Рис.7.2. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции остатков
4. Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона
попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Н0.
Пример 7.5 Проверка гипотезы о наличии автокорреляции
в остатках.
Проверим гипотезу о наличии автокорреляции в остатках
для модели зависимости расходов на конечное потребление от
совокупного дохода (см. пример 7.1).
Было получено следующее уравнение регрессии:
p
t
Исходные данные, значения
xy
ε
и результаты промежуточ-
t
ε
+⋅+= 964,09903,89
tt
ных расчетов представлены в табл.7.8.
Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона для этой
модели составляет:
98,103359
==d
.
209,1
– – 125
Таблица 7.8. Расчет критерия Дарбина-Уотсона
p
t y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
1746,66 1776,02 1801,70 –55,04 3029,08
2853,53 2908,00 2892,69 –39,17 15,87 251,87 1534,03
3870,68 3983,76 3929,50 –58,82 –19,66 386,38 3460,18
5214,38 5324,52 5221,71 –7,33 51,50 2651,84 53,69
6710,06 6829,30 6672,00 38,06 45,39 2059,98 1448,54
8644,39 8885,61 8653,86 –9,47 –47,53 2258,76 89,62
10780,18 10976,29 10668,84 111,34 120,81 14594,12 12396,46
13614,23 13818,98 13408,59 205,64 94,30 8892,77 42288,17
16706,07 17289,94 16753,87 –47,80 –253,44 64233,82 2285,13
20489,59 21308,58 20627,00 –137,42 –89,61 8030,44 18883,10
xt
y
t
ε
ε
–
ε
t
(
t
t–1
Суммы 103359,98 85468,00
2
ε
–
ε
)
t
t–1
2
ε
t
По таблицам значений критерия Дарбина-Уотсона (прило-
жение 1) определим для числа наблюдений n = 10, числа независимых переменных модели k′ = 1 и уровня значимости
α
= 0,05
критические значения dL = 0,88 и dU = 1,32. Фактическое значение d = 1,209 попадает в промежуток от dU до 4 – dU. Следовательно, нет оснований отклонять гипотезу Н0 об отсутствии автокорреляции в остатках.
Есть несколько существенных ограничений на применение
критерия Дарбина-Уотсона.
1. Во-первых, он неприменим к моделям, включающим в
качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, т. е. к моделям авторегрессии. Для тестирования на автокорреляцию остатков моделей авторегрессии используется критерий h Дарбина.
2. Во-вторых, методика расчета и использования критерия
Дарбина-Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка. При проверке остатков на автокорреляцию более высоких порядков следует применять другие
методы.
. В-третьих, критерий Дарбина-Уотсона дает достовер-
3
ные результаты только для больших выборок. В этом смысле
результаты примера 1.4 нельзя считать 100% достоверными
ввиду малого числа наблюдений n
= 10, по которым построена
– – 126
модель регрессии.
7.3.2. Оценивание параметров уравнения регрессии
при наличии автокорреляции в остатках
Обратимся вновь к уравнению регрессии (7.1). Примем не-
которые допущения относительно этого уравнения:
– пусть yt и xt не содержат тенденции, например, представ-
ляют собой отклонения выровненных по трендам значений от
исходных уровней временных рядов;
– пусть оценки a и b параметров уравнения регрессии най-
дены обычным МНК;
– пусть критерий Дарбина-Уотсона показал наличие авто-
корреляции в остатках первого порядка.
Для того чтобы понять, каковы последствия автокорреляции в остатках для оценок параметров модели регрессии, найденных обычным МНК, построим формальную модель, описывающую автокорреляцию в остатках. Автокорреляция в остатках
первого порядка предполагает, что каждый следующий уровень
остатков
зависит от предыдущего уровня
t
ε
. Следовательно,
t–1
ε
существует модель регрессии вида
ε
= c + d ⋅
t
ε
+ ut, (7.30)
t–1
где с и d – параметры уравнения регрессии.
В соответствии с рабочими формулами МНК имеем:
⋅−
εεεε
11
−−
tttt
;
=⋅−=
εε
ddc
1
−
tt
2
−
εε
1
. (7.31)
1
−−
tt
С учетом соотношений (7.23) и (7.24) получим:
n
⋅
εε
1
tt
−
2
t
=
b
2
ε
∑
1
t
−
2
t
=
ε
, (7.32)
≈
1
где r
;0 rdc
ε
ε
– коэффициент автокорреляции остатков первого поряд-
1
εε
∑
1
tt
−
===
2
1
t
−
ка.
– – 127
Таким образом, имеем:
ε
= r
t
ε
⋅
ε
+ ut, (7.33)
1
t–1
где ut – случайная ошибка.
Заметим, что |r
ε
| < 1.
1
Учитывая соотношение (7.33), уравнение (7.1) можно переписать в виде
yt = a + b xt + r
ε
⋅
ε
+ ut. (7.34)
1
t–1
Найденные соотношения показывают, что текущий уровень ряда yt зависит не только от факторной переменной xt, но и
от остатков предшествующего периода
ε
.
t–1
Допустим, мы не принимаем во внимание эту информацию
и оцениваем параметры a и b уравнения (7.1) обычным МНК.
Тогда можно показать, что полученные оценки неэффективны,
т. е. они не имеют минимальную дисперсию. Это приводит к
увеличению стандартных ошибок, снижению фактических значений t-критерия и широким доверительным интервалам для коэффициента регрессии. На основе таких результатов можно сделать ошибочный вывод о незначимом влиянии исследуемого
фактора на результат, в то время как на самом деле его влияние
статистически значимо.
Отметим, что при соблюдении прочих предпосылок МНК
автокорреляция остатков не влияет на свойства состоятельности
и несмещенности оценок параметров уравнения регрессии
обычным методом наименьших квадратов, за исключением моделей авторегрессии. Применение МНК к моделям авторегрессии ведет к получению смещенных, несостоятельных и неэффективных оценок.
Рассмотрим основной подход к оценке параметров модели
регрессии в случае, когда имеет место автокорреляция остатков.
Для этого вновь обратимся к исходной модели (7.1). Для момента времени t – 1 эта модель примет вид:
y
= a + b ⋅ x
t–1
t–1
+
ε
. (7.35)
t–1
– – 128
t–1
′
+ r
ε
:
1
ε
⋅
ε
. (7.36)
1
t–1
Умножим обе части уравнения (7.35) на r
ε
r
⋅ y
1
t–1
= r
ε
⋅ a + r
1
ε
⋅ b ⋅ x
1
Вычтем почленно из уравнения (7.1.) уравнение (7.36):
yt – r
ε
⋅ y
= a – r
1
t–1
ε
⋅ a + b ⋅ xt – r
1
ε
⋅ b ⋅ x
1
t–1
+
ε
– r
t
ε
⋅
ε
1
t–1
. (7.37)
Проведя тождественные преобразования в (7.37), имеем:
y’t = a’ + b ⋅ x’t + ut. (7.38)
где
ε
– r
t
ε
⋅ y
; (7.39)
1
t–1
ε
⋅ x
; (7.40)
1
t–1
ε
⋅
ε
; (7.41)
1
t–1
ε
). (7.42)
1
y’t = yt – r
= xt – r
x’
t
ut =
a’ = a ⋅ (1 – r
Поскольку ut – случайная ошибка, для оценки параметров
уравнения (7.38) можно применять обычный МНК.
Итак, если остатки по исходному уравнению регрессии содержат автокорреляцию, то для оценки параметров уравнения
используют обобщенный метод наименьших квадратов. Для его
реализации необходимо выполнять следующие условия:
1. Преобразовать исходные переменные yt и xt к виду (7.39)
и (7.40).
2. Применив обычный МНК к уравнению (7.38), опреде-
лить оценки параметров a’ и b’.
3. Рассчитать параметр а исходного уравнения из соотно-
шения (7.42) как
a
a
=
1 r
(7.43)
ε
−
1
4. Выписать исходное уравнение (7.1).
Обобщенный метод наименьших квадратов аналогичен
– – 129
методу последовательных разностей. Однако мы вычитаем из yt
(или xt) не все значение предыдущего уровня y
которую его долю – r
ε
⋅ y
1
или r
t–1
ε
⋅ x
1
. Если r
t–1
(или x
t–1
ε
= 1, данный
1
), а не-
t–1
метод это просто метод первых разностей, так как
y’t = yt – y
(7.44)
t–1
и
x’t = xt – x
(7.45)
t–1
Поэтому в случае, если значение критерия ДарбинаУотсона близко к нулю, применение метода первых разностей
вполне обоснованно. Если r
ε
= –1, т. е. в остатках наблюдается
1
полная отрицательная автокорреляция, то изложенный выше метод модифицируется следующим образом:
= yt – (–1) ⋅ y
y’
t
= yt + y
t–1
. (7.46)
t–1
Аналогично
x’t = xt – (–1) ⋅ x
= xt + x
t–1
. (7.47)
t–1
Поскольку
a’ = a ⋅ (1 – r
ε
) = 2 ⋅ a, (7.48)
1
имеем
yt + y
= 2 ⋅ a + b ⋅ ( xt + x
t–1
) + ut, (7.49)
t–1
Следовательно
(yt + y
)/2= a + b ⋅ ( xt + x
t–1
)/2 + ut/2. (7.50)
t–1
В сущности, в модели (7.50) мы определяем средние за два
периода уровни каждого ряда, а затем по полученным усредненным уровням обычным МНК рассчитываем параметры а и b.
Данная модель называется модель регрессии по скользящим
средним.
Главная проблема, связанная с применением данного метода, заключается в том, как получить оценку r
ε
. Известно
1
множество способов оценить численное значение коэффициента
автокорреляции остатков первого порядка. Однако основными
способами являются оценка этого коэффициента непосредственно по остаткам, полученным по исходному уравнению регрессии, и получение его приближенного значения из соотноше-
– – 130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]