Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ временных рядов и прогнозирование. Учебное пособие
.pdf
впервые обратившей внимание на такое представление лагов.
Формально модель зависимости коэффициентов bj от величины лага j в форме полинома можно записать так:
– для полинома первой степени bj = c0 + c1 ⋅ j;
– для полинома второй степени bj = c0 + c1 ⋅ j + c2 ⋅ j2;
– для полинома третьей степени bj = c0 + c1 ⋅ j + c2 ⋅ j2 + c3 ⋅
j3 т.д.
В наиболее общем виде для полинома k-й степени имеем
(степень полинома лага меньше максимальной величины лага):
bj = c0 + c1 ⋅ j + c2 ⋅ j2 + … + ck ⋅ jk (6.10)
Тогда каждый из коэффициентов bj модели (6.3) можно
выразить следующим образом:
= c0;
b
0
b1 = c0 + c1 + … + ck;
b2 = c0 + 2 ⋅ c1 + 4 ⋅ c2 +…+ 2k ⋅ ck;
b3 = c0 + 3 ⋅ c1 + 9 ⋅ c2 +…+ 3k ⋅ ck;
…………………………………….
bl = c0 + l ⋅ c1 + l2 ⋅ c2 +… + lk ⋅ ck. (6.11)
Подставив в (6.3) найденные соотношения для bj получим:
yt = a + c0 ⋅ xt + (c0 + c1 + … + ck) ⋅ x
+ (c0 + 3 ⋅ c1 + 9 ⋅ c2 +…+ 3k ⋅ ck) ⋅ x
+ (c0 + 2 ⋅ c1 + 4 ⋅ c2 +… + 2k ⋅ ck) ⋅
t–1
+…+ (c0 + l ⋅ c1 + l2 ⋅ c2 +…+ lk ⋅ ck)
t–3
⋅ x
+
ε
(6.12)
t–l
t
x
+
t–2
Перегруппируем слагаемые в (6.12):
yt = a + c0 ⋅ (xt + x
+ c
⋅ (x
+ 3 ⋅ x
2
t–1
t–1
+ 9 ⋅ x
t–2
+ ⋅ x
+…+ x
t–2
+…+ l2 ⋅ x
t–3
) + c1 ⋅ (x
t–l
)+…+ ck ⋅ (x
t–l
+ 2 ⋅ x
t–1
t–2
+ 2k ⋅ x
t–1
+ 3 ⋅ x
+…+ lk ⋅ x
+
+…+ l ⋅
t–3
x
t–l
+ 3k ⋅ x
t–2
ε
(6.13)
t
) +
t–3
t–l
)
– – 91
Обозначим слагаемые в скобках при cj как новые перемен-
ные:
z1 = x
z2 = x
z0 = xt + x
+ 2 ⋅ x
t–1
+ 3 ⋅ x
t–1
t–1
+ 3 ⋅ x
t–2
+ 9 ⋅ x
t–2
+ ⋅ x
+…+ x
t–2
+…+ l ⋅ x
t–3
+…+ l2 ⋅ x
t–3
= ∑ x
t–l
t–j
= ∑ j ⋅ x
t–l
= ∑ j2 ⋅ x
t–l
;
;
t–j
;
t–j
……………………………………………………
zk = x
+ 2k ⋅ x
t–1
+ 3k ⋅ x
t–2
+…+ lk ⋅ x
t–3
= ∑ jk ⋅ x
t–l
. (6.14)
t–j
Перепишем модель (6.13) с учетом соотношений (6.14):
yt = a + c0 ⋅ z0 + c1 ⋅ z1 + c2 ⋅ z2 + … + ck ⋅ zk (6.15)
Процедура применения метода Алмон для расчета параметров модели с распределенным лагом выглядит следующим
образом.
. Определяется максимальная величина лага l.
1
2. Определяется степень полинома k, описывающего
структуру лага.
3. По соотношениям (6.14) рассчитываются значения пе-
ременных z0, ... , zk
4. Определяются параметры уравнения линейной регрес-
сии (6.15).
5. С помощью соотношений (6.11) рассчитываются пара-
метры исходной модели с распределенным лагом.
Применение метода Алмон сопряжено с рядом проблем.
Во-первых, величина лага 1 должна быть известна заранее.
При ее определении лучше исходить из максимально возможного лага, чем ограничиваться лагами небольшой длины. Выбор
меньшей величины лага по сравнению с его реальным значением приведет к тому, что в модели регрессии не будет учтен фактор, оказывающий значительное влияние на результат, т. е. к неверной спецификации модели. Влияние этого фактора в такой
модели будет выражено в остатках. Тем самым в модели не будут соблюдаться предпосылки МНК о случайности остатков, а
полученные оценки ее параметров окажутся неэффективными и
– – 92
смещенными. Выбор большей величины лага по сравнению с ее
реальным значением будет означать включение в модель статистически незначимого фактора и снижение эффективности полученных оценок, однако эти оценки все же будут несмещенными.
Известно несколько практических подходов к определению реальной величины лага, например построение нескольких
уравнений регрессии и выбор наилучшего из этих уравнений
или применение формальных критериев, например критерия
Шварца. Однако наиболее простым способом является измерение тесноты связи между результатом и лаговыми значениями
фактора. Кроме того, оптимальную величину лага можно приближенно определить на основе априорной информации экономической теории или проведенных ранее эмпирических исследований.
Во-вторых, необходимо установить степень полинома k.
Обычно на практике ограничиваются рассмотрением полиномов
второй и третьей степени, применяя следующее простое правило: выбранная степень полинома k должна быть на единицу
больше числа экстремумов в структуре лага. Если априорную
информацию о структуре лага получить невозможно, величину k
проще всего определить путем сравнения моделей, построенных
для различных значений k, и выбора наилучшей модели.
В-третьих, переменные Z, которые рассчитываются как
линейные комбинации исходных переменных Х, будут коррелировать между собой в случаях, когда наблюдается высокая связь
между самими исходными переменными. Поэтому оценку параметров модели (6.15) приходится проводить в условиях мультиколлинеарности факторов. Однако мультиколлинеарность факторов z0, ... , zk в модели (6.15) сказывается на оценках параметров b0, … , bl в несколько меньшей степени, чем если бы эти
оценки были получены путем применения обычного МНК непосредственно к модели (6.15) в условиях мультиколлинеарности
факторов x
, …, x
t
. Это связано с тем, что в модели (6.15) муль-
t–l
тиколлинеарность ведет к снижению эффективности оценок c0,
– – 93
… , ck, поэтому каждый из параметров b0, … , bl, которые опре-
деляются как линейные комбинации оценок c0, … , ck будет
представлять собой более точную оценку, а стандартные ошибки этих параметров не будут превышать стандартные ошибки
параметров, полученных по модели (6.3) обычным МНК (доказательство этого утверждения достаточно сложное и в данном
пособии не приводится).
Метод Алмон имеет два неоспоримых преимущества:
– он достаточно универсален и может быть применен для
моделирования процессов, которые характеризуются разнообразными структурами лагов;
– при относительно небольшом количестве переменных в
(6.15) (обычно выбирают k = 2 или k = 3), которое не приводит к
потере значительного числа степеней свободы, с помощью метода Алмон можно построить модели с распределенным лагом
любой длины.
Пример 6.3. В табл. 6.1 представлены данные об объеме
выпуска продукции в бизнес-секторе экономики США (в % к
уровню 1982 г.) и общей сумме расходов на приобретение новых заводов и оборудования в промышленности за 1959-1990 гг.
(млрд. долл. США).
Построим модель с распределенным лагом для l
= 4 в
предположении, что структура лага описывается полиномом
второй степени. Общий вид этой модели:
yt = a + b0 ⋅ xt + b1 ⋅ x
+ b2 ⋅ x
t–1
+ b3 ⋅ x
t–2
+ b4 ⋅ x
t–3
t–4
+
ε
.
t
Для полинома второй степени имеем:
bj = c0 + c1 ⋅ j + c2 ⋅ j2,j = 0 ÷ 4.
Для расчета параметров этой модели необходимо преобра-
зовать исходные данные в новые переменные z0, z1 и z2.
Это преобразование в соответствии с (6.14) выглядит сле-
дующим образом:
z
0
z1 = x
= xt + x
+ 2 ⋅ x
t–1
t–1
+ x
+ 3 ⋅ x
t–2
t–2
+ x
+ x
t–3
+ 4 ⋅ x
t–3
t–4
;
t–4
;
– – 94
z2 = x
+ 4 ⋅ x
t–1
+ 9 ⋅ x
t–2
+ 16 ⋅ x
t–3
t–4
.
Таблица 6.1. Динамика объемов ВВП CШA (у) и валовых внут-
ренних инвестиций в экономику CIIIA (х) в ценах 1987 г., млрд.
долл. США
Год у х z
1959 1931,3 296,4 – – –
1960 1973,2 290,8 – – –
1961 2025,6 289,4 – – –
1962 2129,8 321,2 – – –
1963 2218,0 343,3 1541,1 2958,0 8838,4
1964 2343,3 371,8 1616,5 3017,1 8885,5
1965 2473,5 413,0 1738,7 3179,6 9266,2
1966 2622,3 438,0 1887,3 3471,3 10129,1
1967 2690,3 418,6 1984,7 3752,6 10929,0
1968 2801,0 440,1 2081,5 4020,8 11836,4
1969 2877,1 461,3 2171,0 4243,3 12664,5
1970 2875,8 429,7 2187,7 4349,3 12997,1
1971 2965,1 481,5 2231,2 4347,0 12933,4
1972 3107,1 532,2 2344,8 4485,2 13393,6
1973 3268,5 591,7 2496,4 4629,5 13706,3
1974 3248,1 543,0 2578,1 4819,4 13929,2
1975 3221,7 437,6 2586,0 5249,0 15403,6
1976 3380,8 520,6 2625,1 5427,5 16450,1
1977 3533,2 600,4 2693,3 5391,6 16625,2
1978 3703,5 664,6 2766,2 5126,4 15309,2
1979 3796,8 669,7 2892,9 5177,6 14753,2
1980 3776,3 594,4 3049,7 5882,5 17061,3
1981 3843,1 631,1 3160,2 6329,2 18861,0
1982 3760,3 540,5 3100,3 6487,4 19669,6
1983 3906,6 599,5 3035,2 6264,7 19129,7
1984 4148,5 757,5 3123,0 5951,4 17951,8
1985 4279,8 745,9 3274,5 6102,4 18117,6
1986 4404,5 735,1 3378,5 6221,4 17819,4
1987 4540,0 749,3 3587,3 6897,4 20128,2
1988 4781,6 773,4 3761,2 7487,2 22522,8
1989 4836,9 789,2 3792,9 7460,9 22320,9
1990 4884,9 749,5 3796,5 7524,3 22388,1
1991 4848,4 672,6 3734,0 7645,3 22855,7
0
z1 z2
(Источник: Economic Report of the President. – Washington: US
– – 95
Government Printing Office, 1992. – Р. 300).
Значения переменных z0, z1 и z2 приведены в табл.6.1. От-
метим, что число наблюдений, по которым проводится расчет
этих переменных, составляет 28 (четыре наблюдения потеряно
вследствие сдвига факторного признака xt на 4 момента времени).
Расчет параметров уравнения регрессии (6.15) обычным
МНК по процедуре Регрессия приводит к следующим результатам:
Коэффициенты Значения Стандартная ошибка t-статистика
с
0
с
1
с
2
с
3
Регрессия 3 17769798 5923266 889,8682
Остаток 25 166408,5 6656,341
Итого 28 17936207
288,7157 66,98855 4,309926
1,939602 0,204197 9,498696
-0,94334 0,294933 –3,1985
0,188841 0,072242 2,614023
Регрессионная статистика
Множественный R 0,99535
R-квадрат 0,990722
Нормированный R-квадрат 0,989609
Стандартная ошибка 81,5864
Наблюдения 29
Дисперсионный анализ
df SS MS F
В результате получили следующее уравнение:
yt = 288,7 + 1,940 ⋅ z0 – 0,943 ⋅ z1 + 0,189 ⋅ z2;.
Воспользуемся найденными коэффициентами регрессии
при переменных z0, z1 и z2 и соотношениями (6.11) и рассчитаем
коэффициенты регрессии исходной модели:
b
= 1,940;
0
b1 = 1,940 – 0,943 + 0,189 = 1,185;
b2 = 1,940 + 2 ⋅ (–0,943) + 4 ⋅ 0,189 = 0,808;
– – 96
b3 = 1,940 + 3 ⋅ (–0,943) + 9 ⋅ 0,189 = 0,809;
1
2
2 3 4 5
b4 = 1,940 + 4 ⋅ (–0,943) + 16 ⋅ 0,189 = 1,188.
Модель с распределенным лагом имеет вид:
yt = 288,7 + 1,940 ⋅ xt + 1,185 ⋅ x
1,188 ⋅ x
+ 0,808 ⋅ x
t–1
.
t–4
+ 0,809 ⋅ x
t–2
t–3
Представим полученные значения коэффициентов в виде
графика – рис.6.2.
b
j
1,8
1,6
1,4
1,2
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
j, лаг
Рис.6.2. Структура лага в модели зависимости объема ВВП от
объема инвестиций в экономику
+
Долгосрочный мультипликатор равен:
b = 1,940 + 1,185 + 0,808 + 0,809 + 1,188 = 5,930.
Мультипликатор показывает, что рост инвестиций в экономику США на 1 млрд долл. в текущем периоде приведет через
4 года к росту ВВП в среднем на 5,93 млрд долл. США.
Определим относительные коэффициенты регрессии:
940,1
β
0
==
930,5
;
327,0
β
185,1
1
==
930,5
;
200,0
β
808,0
2
==
930,5
;
136,0
– – 97
809,0
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
β
3
==
930,5
;
136,0
β
188,1
4
==
930,5
.
200,0
Более половины воздействия фактора на результат реализуется с лагом в 1 год, причем 32,7% этого воздействия реализуется сразу же, в текущем периоде.
Средний лаг этой модели составит:
.
l
683,14200,03136,02136,01200,00327,0
В среднем увеличение инвестиций в экономику США приведет к увеличению ВВП через 1,683 года.
Чтобы сделать прогноз объема ВВП в следующем году,
необходимо задаться значением валовых внутренних инвестиций и использовать полученное уравнение. Если принять х 700
млрд. долл., то объем ВВП по этой модели составит 4606,482
млрд. долл.
Для сравнения приведем результаты применения обычного
МНК для расчета параметров исходной модели (6.3):
Коэффициенты Значения Стандартная ошибка t-статистика
a
b
0
b
1
b
2
b3 0,432523 0,422581 1,023526
b4 1,345698 0,316746 4,248506
Регрессия 5 17781334 3556267 528,1386
Остаток 23 154872,5 6733,586
Итого 28 17936207
286,657 67,81836 4,226835
2,096913 0,306127 6,849821
0,788388 0,418427 1,88417
1,272646 0,430327 2,957391
Регрессионная статистика
Множественный R 0,995673
R-квадрат 0,991365
Нормированный R-квадрат 0,989488
Стандартная ошибка 82,05843
Наблюдения 29
Дисперсионный анализ
df SS MS F
– – 98
В результате получили следующее уравнение:
yt = 286,7 + 2,097 ⋅ xt + 0,788 ⋅ x
1,345 ⋅ x
+ 1,273 ⋅ x
t–1
.
t–4
+ 0,433 ⋅ x
t–2
t–3
+
Несмотря на то, что коэффициент детерминации этой модели несколько выше, стандартные ошибки коэффициентов регрессии в модели, полученной с учетом ограничений на полиномиальную структуру лага, значительно снизились. Кроме того,
модель, полученная обычным МНК, обладает более существенным недостатком: коэффициенты регрессии при лаговых переменных x
t–1
и x
нельзя считать статистически значимыми.
t–3
Прогноз объема ВВП по этой модели при заданном значении валовых внутренних инвестиций 700 млрд. долл. немного
отличается от прогноза по предыдущей модели и составляет
620,724 млрд. долл.
4
6.3.2. Метод Койка
Рассмотренные выше модели были построены в предположении о том, что величина лага l конечна. Допустим теперь,
что для описания некоторого процесса используется модель с
бесконечным лагом вида:
yt = a + b0 ⋅ xt + b1 ⋅ x
+ b2 ⋅ x
t–1
+ … +
t–2
ε
. (6.16)
t
Очевидно, что параметры такой модели обычным МНК
или с помощью иных стандартных статистических методов определить нельзя, поскольку модель включает бесконечное число
факторных переменных. Однако, приняв определенные допущения относительно структуры лага, оценки ее параметров все же
можно получить. Эти допущения состоят в наличии геометрической структуры лага, т.е. такой структуры, когда воздействия
лаговых значений фактора на результат уменьшаются с увеличением величины лага в геометрической прогрессии. На рис.6.1
геометрической структуре лага соответствует вариант 6.1б.
Изложенный здесь подход к оценке параметров моделей с
распределенным лагом типа (6.16) впервые был предложен
Л.М.Койком. Он предположил, что существует некоторый по-
– – 99
стоянный темп λ (0 < λ < 1) уменьшения во времени лаговых
воздействий фактора на результат. Если, например, в период t
результат изменялся под воздействием изменения фактора в
этот же период времени на b0 ед., то под воздействием изменения фактора, имевшего место в период t – 1, результат изменит-
ся на b0 ⋅ λ ед.; в период t – 2 – на b0 ⋅ λ⋅ λ ед. и т.д. Для некоторого периода t – l это изменение результата составит: b0 ⋅ λ l ед.
В более общем виде можно записать:
j
0
j
K
ljbb
(6.17)
10,,2,1,0;
<<=⋅=
λλ
Ограничение на значение λ > 0 обеспечивает одинаковые
знаки для всех коэффициентов bj > 0, а ограничение λ < 1 означает, что с увеличением лага значения параметров модели (6.16)
λ
убывают в геометрической прогрессии. Чем ближе
к 0, тем
выше темп снижения воздействия фактора на результат во времени и тем большая доля воздействия на результат приходится
на текущее значение фактора xt.
Выразим с помощью формулы (6.17) все коэффициенты в
модели (6.16) через b0 и λ:
yt = a + b0 ⋅ xt + b0 ⋅ λ ⋅ x
+ b0 ⋅
t–1
2
λ
⋅ x
+ … +
t–2
ε
. (6.18)
t
Тогда для периода t – 1 модель (6.18) можно записать следующим образом:
yt = a + b0 ⋅ x
+ b0 ⋅ λ ⋅ x
t–1
+ b0 ⋅
t–2
2
λ
⋅ x
+ … +
t–3
ε
. (6.19)
t–1
Умножив обе части уравнения (6.19) на λ, получим:
λ
⋅ yt = λ ⋅ a + b0 ⋅ λ ⋅ x
+ b0 ⋅
t–1
2
λ
⋅ x
+ b0 ⋅
t–2
3
λ
⋅ x
+ … + λ ⋅
t–3
ε
t–1
.(6.20)
Вычтем найденное соотношение (6.20) из (6.18):
yt – λ ⋅ yt = a – λ ⋅ a + b0 ⋅ xt +
ε
– λ ⋅
t
ε
. (6.21)
t–1
В результате преобразований (6.21) мы получаем модель
Койка:
y
= a ⋅ (1 – λ) + b0 ⋅ xt + λ ⋅ y
t
+ ut. (6.22)
t–1
– – 100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]