Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ временных рядов и прогнозирование. Учебное пособие
.pdf
где ut =
λ
−
1
λ
−
1
ε
–
λ
⋅
ε
t
t–1
.
Полученная модель – это модель двухфакторной линейной
регрессии (точнее – авторегрессии). Определив ее параметры,
мы найдем λ и оценки параметров a и b0 исходной модели. Далее с помощью соотношений (6.17) несложно определить параметры b1, b2, … модели (6.16). Применив обычный МНК к оценке параметров модели (6.22), получим смещенные оценки параметров ввиду наличия в этой модели в качестве фактора лаговой
результативной переменной y
t–1
.
Описанный алгоритм получил название «преобразования
Койка». Это преобразование позволяет перейти от модели с бесконечными распределенными лагами к модели авторегрессии,
и y
содержащей две независимые переменные x
t
t–1
.
Несмотря на бесконечное число лаговых переменных в
модели (6.16), геометрическая структура лага позволяет определить величины среднего и медианного лагов в модели Койка.
Поскольку сумма коэффициентов регрессии в модели (6.16) –
это сумма геометрической прогрессии, т.е.
∞
∑
j
=
0
j
( )
1
0
2
000
32
λλλ
K
3
bbbbb
λλλ
0
⋅=++++⋅=
bb
0
=+⋅+⋅+⋅+=
K
(6.23)
1
то средний лаг определяется как
∞
⋅
bj
∑
j
=
l
b
0
=
=
b
0
∑
j
λ
∞
b
=
0
⋅⋅
⋅
0
j
=
j
1
( )
λ
−
1
1
b
( )
0
1
⋅
b
0
−
1
2
λ
=
1
λ
−
32
+⋅+⋅+⋅⋅
321
K
λλλ
=
λ
(6.24)
– – 101
Нетрудно заметить что при λ = 0,5 средний лаг l= 1, а при
λ
ln
λ
< 0,5 средний лаг l< 1, то есть воздействие фактора на результат в среднем занимает менее одного периода времени. Величину (1 – λ) интерпретируют обычно как скорость, с которой происходит адаптация результата во времени к изменению факторного признака. Для расчета медианного лага необходимо выполнение следующего условия:
−
1
l
β
=
0
j
−
1
l
b
j
j
∞
=
0
j
b
∑
=
0
j
−
1
l
==
=
0
j
j
b
j
λ
⋅
b
0
1
⋅
0
λ
−
1
−
1
l
MeMe MeMe
j
( )
∑∑ ∑∑
=
0
j
λλ
=−⋅=
(6.25)
5,01
Поэтому медианный лаг в модели Койка равен (если
+
10q
−
1
λ
):
λ
−
1
5,0ln
Me
=l
(6.26)
∑
i
q
i
=
λ
=
Применим метод Койка к данным из примера 6.3. Результаты расчетов по процедуре Регрессия для модели (6.22) следующие:
Коэффициенты Значения Стандартная ошибка t-статистика
a ⋅ (1 – λ)
b
0
λ
Регрессия 2 24111294 12055647 5290,339
Остаток 29 66085,32 2278,804
Итого 31 24177380
85,70211 33,45666 2,561586
1,179702 0,163956 7,195215
0,806448 0,028438 28,35844
Регрессионная статистика
Множественный R 0,998632
R-квадрат 0,997267
Нормированный R-квадрат 0,997078
Стандартная ошибка 47,73682
Наблюдения 32
Дисперсионный анализ
df SS MS F
– – 102
Таким образом, мы получили значение постоянного темпа
λ
= 0,806 и значения коэффициентов b0 = 1,180 и а = 85,7 / (1 –
0,806) = 442,8. Теперь можно вычислить все коэффициенты модели (6.16):
b0 = 1,179702;
b1 = b0 ⋅ λ = = 1,180 ⋅ 0,806 = 0,951368;
b2 = 0,767229;
b3 = 0,61873;
b4 = 0,498973;
b5 = 0,402396 и т.д.
Определение расчетных значений по модели с бесконечным лагом предполагает какое-то конкретное конечное значение
лага. Это значение определяется точностью вычислений, т.е. необходимо ограничить число членов ряда в зависимости от абсолютного значения разницы между двумя последовательными
значениями, полученными с разным лагом. В данном примере
ограничение составило 16 лагов. Результаты расчетов с разным
числом лагов приведены в следующей таблице:
Год x y y
1975 437,6 3221,7 2672,038 3156,489 3281,828 3293,019
1976 520,6 3380,8 2715,271 3199,683 3335,498 3346,477
1977 600,4 3533,2 2827,468 3325,89 3472,973 3483,9
1978 664,6 3703,5 2977,232 3505,553 3658,376 3670,503
1979 669,7 3796,8 3084,717 3654,079 3813,076 3826,037
1980 594,4 3776,3 3098,371 3682,679 3847,925 3861,963
1981 631,1 3843,1 3186,88 3752,537 3917,769 3933,363
1982 540,5 3760,3 3124,443 3696,258 3866,27 3882,807
1983 599,5 3906,6 3117,797 3714,863 3895,073 3910,878
1984 757,5 4148,5 3277,996 3909,673 4103,883 4120,499
1985 745,9 4279,8 3391,849 4058,484 4257,791 4275,209
1986 735,1 4404,5 3495,361 4177,418 4370,363 4386,587
1987 749,3 4540 3583,68 4280,897 4475,943 4494,122
1988 773,4 4781,6 3712,736 4383,944 4587,603 4607,697
1989 789,2 4836,9 3816,306 4478,58 4694,045 4716,385
1990 749,5 4884,9 3801,723 4507,5 4734,889 4755,39
1991 672,6 4848,4 3703,007 4448,438 4681,088 4697,61
5
y10 y15 y16
– – 103
Следует заметить, что применение этой модели приводит к
λ
потере исходных данных, так как каждое следующее слагаемое
умножается на x
Средний лаг по полученным результатам равен:
(i – номер лага).
t–i
806,0
=
l
Медианный лаг:
l
Me
Прогноз по этой модели также предполагает определенное
значение валовых внутренних инвестиций, примем его равным
00 млрд. долл. Результат расчета прогноза по модели с беско-
7
нечным лагом составляет 4686,55 млрд. долл.
Таким образом, результаты, полученные по модели Койка,
существенно отличаются от результатов по модели с распределенным лагом, что говорит о сложности изучаемого явления и
неоднозначности самих методов.
7. Изучение взаимосвязей временных рядов
Изучение причинно-следственных зависимостей переменных, представленных в форме временных рядов, является одной
из самых сложных задач эконометрического моделирования.
Применение в этих целях традиционных методов корреляционно-регрессионного анализа может привести к ряду серьезных
проблем, возникающих как на этапе построения, так и на этапе
анализа эконометрических моделей. В первую очередь эти проблемы связаны со спецификой временных рядов как источника
данных в эконометрическом моделировании. Известно, что каждый уровень временного ряда содержит три основные компоненты: тенденцию, циклические (или сезонные) колебания и
случайную компоненту. Рассмотрим подробнее, каким образом
наличие этих компонент сказывается на результатах корреляционно-регрессионного анализа временных рядов данных.
=
1
−
−
λ
5,0ln
ln
λ
=
806,01
5,0ln
806,0ln
.
17,4
.
22,3
===
– – 104
Предварительный этап такого анализа заключается в выявлении структуры изучаемых временных рядов. Если на этом
этапе было выявлено, что временные ряды содержат сезонные,
или циклические, колебания, то перед проведением дальнейшего исследования взаимосвязи необходимо устранить сезонную,
или циклическую, компоненту из уровней каждого ряда, поскольку ее наличие приведет к завышению истинных показателей силы и тесноты связи изучаемых временных рядов в случае,
если оба ряда содержат циклические колебания одинаковой периодичности, либо к занижению этих показателей в случае, если
сезонные, или циклические, колебания содержат только один из
рядов или если периодичность колебаний в рассматриваемых
временных рядах различна.
Устранение сезонной компоненты из уровней временных
рядов можно проводить в соответствии с методикой построения
аддитивной и мультипликативной моделей. При дальнейшем
изложении методов анализа взаимосвязей мы примем предположение, что изучаемые временные ряды не содержат периодических колебаний. Допустим, что изучается зависимость между
рядами х и у. Для количественной характеристики этой зависимости используется линейный коэффициент корреляции. Если
рассматриваемые временные ряды имеют тенденцию, коэффициент корреляции по абсолютной величине будет высоким (положительным в случае совпадения и отрицательным – в случае
противоположной направленности тенденций рядов х и у). Однако из этого еще нельзя делать вывод о том, что х – причина у,
или наоборот. Высокий коэффициент корреляции в данном случае – это результат того, что х и у зависят от времени, или содержат тенденцию. При этом одинаковую или противоположную тенденцию могут иметь ряды, совершенно не связанные
друг с другом причинно-следственной зависимостью.
При изучении взаимосвязей между временными рядами
требуется определить коэффициенты корреляции, характеризующие причинно-следственную связь между изучаемыми рядами. А для того чтобы получить данные коэффициенты, следу-
– – 105
ет избавиться от так называемой ложной корреляции, вызванной
наличием тенденции в каждом ряде. Обычно это осуществляют
с помощью одного из методов исключения тенденции.
Анализ влияния фактора времени на динамику в уровнях
каждого ряда выражается в корреляционной зависимости между
значениями остатков
ε
за текущий и предыдущие моменты вре-
t
мени, которая получила название автокорреляция в остатках.
Автокорреляция в остатках – это нарушение одной из основных
предпосылок МНК – предпосылки о случайности остатков, полученных по уравнению регрессии. Один из возможных путей
решения этой проблемы состоит в применении обобщенного
МНК к оценке параметров модели.
В качестве объекта изучения будут выступать данные о
расходах на конечное потребление населения в РФ и о совокупном доходе за 10 лет (период с 1998 по 2007 годы).
Соответственно, предметом анализа будет являться измерение взаимосвязи между исходными рядами данных (расходами и доходами) с применением различных методов.
.1. Методы исключения тенденции
7
Предположим, что по двум временным рядам хt и уt строится уравнение нелинейной регрессии вида:
yt = a + b xt +
ε
(7.1)
t
Наличие тенденции в каждом из этих временных рядов означает, что на зависимую yt и независимую xt переменные модели оказывает воздействие фактор времени, который непосредственно в модели не учтен.
Сущность всех методов исключения тенденции заключается в том, чтобы устранить или зафиксировать воздействие фактора времени на формирование уровней ряда. Основные методы
исключения тенденции можно разделить на две группы:
методы, основанные на преобразовании уровней исход-
–
ного ряда в новые переменные, не содержащие тенденции. Полученные переменные используются далее для анализа взаимо-
– – 106
связи изучаемых временных рядов. Эти методы предполагают
непосредственное устранение трендовой компоненты Т из каждого уровня временного ряда. Два основных метода в данной
группе – это метод последовательных разностей и метод отклонений от трендов;
– методы, основанные на изучении взаимосвязи исходных
уровней временных рядов при элиминировании воздействия
фактора времени на зависимую и независимую переменные модели. В первую очередь – это метод включения в модель регрессии по временным рядам фактора времени.
Рассмотрим подробнее методику применения, преимущества и недостатки каждого из указанных методов.
7.1.1. Метод отклонений от тренда
Пусть имеются два временных ряда х
и уt, каждый из ко-
t
торых содержит трендовую компоненту Т и случайную компоненту ε. Аналитическое выравнивание каждого из этих рядов
позволяет найти параметры соответствующих уравнений трен-
р
дов и определить расчетные по тренду уровни х
t
и у
р
соответ-
t
ственно. Эти расчетные значения можно принять за оценку
трендовой компоненты Т каждого ряда. Поэтому влияние тенденции можно устранить путем вычитания расчетных значений
уровней ряда из фактических. Эту процедуру проделывают для
каждого временного ряда в модели. Дальнейший анализ взаимосвязи рядов проводят с использованием не исходных уровней, а
отклонений от тренда хt - х
р
и уt - у
t
р
при условии, что послед-
t
ние не содержат тенденции.
Пример 7.1. Пусть имеются данные о расходах на конеч-
ное потребление и данные о совокупном доходе. Исходные данные за 10 лет представлены в табл.7.1. Требуется охарактеризовать тесноту и силу связи между временными рядами совокупного дохода х
и расходов на конечное потребление уt.
t
Корреляционно-регрессионный анализ, проведенный по
исходным данным рядов, приводит к следующим результатам:
P
t
xy ⋅+= 964,0990,89
t
; r
2
= 0,9998; rxy = 0,9999.
xy
– – 107
Таблица 7.1. Расходы на конечное потребление и совокупный
1
n
1
n
доход (усл.ед.) в РФ.
Год / Показатель
1998 1746,661 1776,016
1999 2853,528 2908,001
2000 3870,675 3983,757
2001 5214,384 5324,518
2002 6710,064 6829,298
2003 8644,392 8885,610
2004 10780,179 10976,293
2005 13614,231 13818,975
2006 16706,069 17289,938
2007 20489,589 21308,583
Расходы на конечное по-
требление, уt , млрд. руб
Совокупный доход, хt,
млрд. руб
Далее необходимо рассчитать коэффициенты автокорреляции первого порядка для каждого уровня ряда: r
y
и r
1
го воспользуемся следующей формулой:
n
где
( ) ( )
k
r
1
n
k
∑
t
2
=
t
=
k
1
и
−
n
∑
=
t
=
k
2
∑
=
t
=
2
2
n
( ) ( )
∑ ∑
= =
t
2 2
k
1
−
t
, а k
−
2
1
t и kt-1
−⋅−
kkkk
−
tt
211
, (7.2)
n
−
tt
t
2
−⋅−
kkkk
21
– значение фактора в пе-
х
. Для это-
1
риоде t и t-1.
В нашем случае 2 фактора: расходы на конечное потребление (у) и совокупный доход (х). Следовательно, рассчитаем 2
коэффициента автокорреляции первого порядка: по ряду расхо-
y
дов на конечное потребление r
дохода r
x
= 0,9997. Предположим, что полученные результаты
1
= 0,9998 и по ряду совокупного
1
содержат ложную корреляцию ввиду наличия в каждом из рядов
линейной или близкой к линейной тенденции. Применим метод
устранения тенденции по отклонениям от тренда. В нашем слу-
– – 108
чае, очевидно, необходимо построить нелинейные тренды по
каждому из рядов (наиболее подходящая функция имеет вид: y =
а
+ a1 ⋅ t + a2 ⋅ t2). Результаты расчета представлены в табл.7.2.
0
Таблица 7.2. Результаты расчета параметров нелинейных трен-
дов
Показатель Совокупный доход, хt Расходы на конечное потребление, уt
a
0
a
1
a1 186,8889 172,9177
r
xy
2
R
По трендам
p
t
чения и отклонения от трендов
1933,1755 1767,0457
33,0364 116,1090
0,999096134 0,999440888
0,998193085 0,998882089
p
t
8889,1860364,331755,1933 ttx
2
определим расчетные зна-
⋅+⋅+=
p
и
yyt−=∆
tty
2
⋅+⋅+=
и
xxt−=∆
ttx
p
9177,172109,1160457,1767 tty
(табл.7.3).
Таблица 7.3. Трендовая компонента и ошибки временных рядов
t yt хt
p
y
t
p
x
t
p
yyt−=∆
tty
p
xxt−=∆
ttx
1 1746,66 1776,02 2056,07 2153,10 –309,41 –377,08
2 2853,53 2908,00 2690,93 2746,80 162,59 161,20
3 3870,68 3983,76 3671,63 3714,28 199,04 269,47
4 5214,38 5324,52 4998,17 5055,54 216,22 268,97
5 6710,06 6829,30 6670,53 6770,58 39,53 58,72
6 8644,39 8885,61 8688,74 8859,39 –44,35 26,22
7 10780,18 10976,29 11052,78 11321,99 –272,60 –345,69
8 13614,23 13818,98 13762,65 14158,36 –148,42 –339,38
9 16706,07 17289,94 16818,36 17368,51 –112,29 –78,57
10 20489,59 21308,58 20219,91 20952,43 269,68 356,15
Проверим полученные отклонения на автокорреляцию.
Коэффициенты автокорреляции первого порядка по отклонени-
ям от трендов составляют:
∆x
r
363,0
=
1
∆y
;
=
r
1
.
267,0
Следовательно, временные ряды отклонений от трендов
– – 109
можно использовать для получения количественной характери-
(
)
стики тесноты связи исходных временных рядов (расходов на
конечное потребление и общего дохода). Коэффициент корреляции по отклонениям от трендов r
= 0,973 (сравните это
∆x∆
y
значение с коэффициентом корреляции по исходным уровням
рядов rxy = 0,9999). Связь между расходами на конечное потребление и совокупным доходом прямая и тесная.
Результаты построения модели регрессии по отклонениям
от трендов:
Показатель Значение
a
0
a
1
r
∆x∆
y
R2 0,9467
–5,323E-13
0,7378
0,97300
Содержательная интерпретация параметров этой модели
затруднительна, однако ее можно использовать для прогнозирования. Для этого необходимо следовать алгоритму:
1. Определить трендовое значение факторного признака
p
;
x
t
2. С помощью одного из методов оценить величину пред-
полагаемого отклонения фактического значения от трендового
p
;
xx −
tt
3. По уравнению тренда для результативного признака оп-
ределяют трендовое значение
p
;
y
t
4. По уравнению регрессии по отклонениям от трендов на-
ходят величину отклонения
p
;
yy −
tt
5. рассчитать точечный прогноз фактического значения yt
по формуле:
p
tt
p
.
yyyy −+=
tt
Спрогнозируем расходы на конечное потребление для t
=
11, следуя вышеописанному алгоритму:
1.
p
x
t
2
=⋅+⋅+=
;
14,24910118889,186110364,331755,1933
– – 110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]