Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ временных рядов и прогнозирование. Учебное пособие
.pdf
ний (как и в практическом примере 3.1) = 450388738,8.
(3682792,2)/(450388738,8) ⋅ 100= 0,818.
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель
объясняет 99,18% общей вариации уровней временного ряда
объема сбыта мороженого за последние 16 кварталов, а 0,82%
случайные компоненты.
Сделаем прогноз продажи мороженого (тыс. руб.) на следующий год:
Квартал S T T + S
17 0,5441 15357,63 8355,43
18 1,2913 15600,28 20144,49
19 1,4719 15842,92 23319,74
20 0,6927 16085,57 11142,77
Таким образом, мультипликативная модель лучше описывает объем продаж мороженого, чем аддитивная модель.
4. Применение фиктивных переменных для
моделирования сезонных колебаний
Рассмотрим еще один метод моделирования временного
ряда, содержащего сезонные колебания, – построение модели
регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных. Количество фиктивных переменных в такой модели
должно быть на единицу меньше числа моментов (периодов)
времени внутри одного цикла колебаний. Например, при моделировании поквартальных данных модель должна включать 4
независимые переменные – фактор времени и три фиктивные
переменные. Каждая фиктивная переменная отражает сезонную
(циклическую) компоненту временного ряда для какого-либо
одного периода. Она равна единице для данного периода и нулю
для всех остальных периодов.
Пусть имеется временной ряд, содержащий циклические
колебания периодичностью k.
Модель регрессии с фиктивными
переменными для этого ряда будет иметь вид:
yt = a + b ⋅ t +c1x1 +…+ cjxj +…+ c
k–1xk–1
+
ε
(4.1)
t
– – 51
где
=
x
j
случаях.остальныхвсехво0
,циклакаждоговнутрикаждогодля1 j
Например, при моделировании сезонных колебаний на основе поквартальных данных за несколько лет число кварталов
внутри одного года k = 4, а общий вид модели следующий:
где
yt = a + b ⋅ t +c1x1 + c2x2 + c3x3 +
=
x
1
=
x
2
x
=
3
,кварталапервогодля1
случаях;остальныхвсехво0
,кварталавторогодля1
случаях;остальныхвсехво0
,кварталатретьегодля1
случаях;остальныхвсехво0
ε
(4.2)
t
Уравнение тренда для каждого квартала буде иметь следующий вид:
для I квартала yt = a + b ⋅ t + c1 +
для II квартала yt = a + b ⋅ t + c2 +
для III квартала yt = a + b ⋅ t + c3 +
для IV квартала yt = a + b ⋅ t +
ε
(4.3)
t
ε
(4.4)
t
ε
(4.5)
t
ε
(4.6)
t
Таким образом, фиктивные переменные позволяют дифференцировать величину свободного члена уравнения регрессии
для каждого квартала. Она составит:
для I квартала (a + c1);
для II квартала (a + c2);
для III квартала (a + c3);
для IV квартала a.
Параметр b в этой модели характеризует среднее абсолютное изменение уровней ряда под воздействием тенденции. В
сущности, модель (4.2) есть аналог аддитивной модели временного ряда, поскольку фактический уровень временного ряда –
– – 52
это сумма трендовой, сезонной и случайной компонент.
Пример 4.1. Построим модель регрессии с включением
фактора времени и фиктивных переменных для данных о потреблении электроэнергии из примера 1.2. В данной модели четыре независимые переменные: t, x1, x2, x3 и результативная переменная y. Составим матрицу исходных данных – табл.4.1.
Таблица 4.1. Исходные данные по потреблению электроэнергии
с фиктивными переменными
ˆ
t x1 x2 x3 yt
1 1 0 0 6 6,425 0,180625
2 0 1 0 4,4 4,225 0,030625
3 0 0 1 5 4,975 0,000625
4 0 0 0 9 9,075 0,005625
5 1 0 0 7,2 7,175 0,000625
6 0 1 0 4,8 4,975 0,030625
7 0 0 1 6 5,725 0,075625
8 0 0 0 10 9,825 0,030625
9 1 0 0 8 7,925 0,005625
10 0 1 0 5,6 5,725 0,015625
11 0 0 1 6,4 6,475 0,005625
12 0 0 0 11 10,575 0,180625
13 1 0 0 9 8,675 0,105625
14 0 1 0 6,6 6,475 0,015625
15 0 0 1 7 7,225 0,050625
16 0 0 0 10,8 11,325 0,275625
Сумма 1,01
y
(
t
2
ˆ
)
yy −
tt
Оценим параметры уравнения регрессии (4.2) обычным
МНК. Результаты приведены в табл.4.2.
Таблица 4.2. Уравнение регрессии с фиктивными переменными
Переменная Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика
y-пересечение
t 0,1875 0,016939 11,06909
x1 –2,0875 0,220208 –9,47968
x2 –4,475 0,216926 –20,6292
x3 –3,9125 0,214933 –18,2034
8,325 0,227261 36,63183
– – 53
Уравнение регрессии имеет вид:
(
)
(
)
(
)
yt = 8,33 + 0,19 ⋅ t – 2,09x1 – 4,48x2 – 3,91x3.
Проанализируем эти результаты. Влияние сезонной ком-
поненты в каждом квартале статистически значимо (фактические значения t-критерия по модулю больше t
раметров при переменных x1, x2, x3 и константы a). Параметр a =
8,33 – это сумма начального уровня ряда и сезонной компоненты в IV квартале. Сезонные колебания в I, II и III кварталах приводят к снижению этой величины, о чем свидетельствуют отрицательные оценки параметров при переменных x1, x2 и x3. Отметим, что эти параметры не равны значениям сезонной компоненты, поскольку они характеризуют не сезонные изменения
уровней ряда, а их отклонения от уровней, учитывающих сезонные воздействия в IV квартале. Положительная величина параметра b
чии возрастающей тенденции в уровнях ряда. Его абсолютное
значение говорит о том, что средний за квартал абсолютный
прирост объема потребления электроэнергии составляет 0,19
млн. кВт⋅ч, или 190 тыс. кВт⋅ч. Поскольку фактическое значение
t-критерия Стьюдента равно 11,1, можно утверждать, что существование в уровнях ряда тенденции установлено надежно.
Общая сумма квадратов уровней ряда yt, составляет:
= 0,19 при переменной времени свидетельствует о нали-
Коэффициент детерминации в данной модели R2 = 0,985.
2
=−= 1,67
общ
∑
yyC
i
= 2,12 для па-
табл
.
Определим остаточную сумму квадратов:
2
ост
Остаточная сумма квадратов по аддитивной модели (сумма
квадратов абсолютных ошибок) была рассчитана ранее
(табл.3.3) и составляет 1,10. Следовательно, модель регрессии с
фиктивными переменными описывает динамику временного ряда потребления электроэнергии лучше, чем аддитивная модель.
Полученная модель может использоваться для прогнози-
общ
– – 54
.
01,11,67985,011
=⋅−=⋅−= CRC
рования потребления электроэнергии на будущее. Для этого
достаточно подставить в нее соответствующие значения факторов. Для примера рассмотрим прогноз на следующий год, т.е. на
4 квартала, которые в нашем временном ряду принимают значения от 17 до 20. Результаты прогноза сведем в следующую таблицу:
t x1 x2 x3 Прогноз
17 1 0 0 9,425
18 0 1 0 7,225
19 0 0 1 7,975
20 0 0 0 12,075
Сравним полученные результаты прогноза с примером 3.3,
в котором прогнозировалось потребление электроэнергии за
ближайшие полгода. В нашем случае это потребление равно:
,425 + 7,225 = 16,650 кВт⋅ч.
9
Различия между двумя прогнозами (16,650 – 16,560 =
0,090) менее 1%, следовательно, оба рассмотренных метода мо-
гут применяться для прогнозирования.
Основной недостаток модели с фиктивными переменными
для описания сезонных и циклических колебаний – наличие
большого количества переменных. Если, например, строить модель для описания помесячных периодических колебаний за несколько лет, то такая модель будет включать 12 независимых
переменных (11 фиктивных переменных и фактор времени). В
такой ситуации число степеней свободы невелико, что снижает
вероятность получения статистически значимых оценок параметров уравнения регрессии.
4.1. Практические примеры
Практический пример 4.1
В качестве примера рассмотрим изменение численности
экономически активного населения Российской Федерации с
2
000 по 2008 гг.
– – 55
Год Квартал Экономически активное население, у, тыс. чел
I 72174
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
II 73440
III 73134
IV 72332
I 71135
II 71593
III 72048
IV 71411
I 71630
II 72141
III 73237
IV 72421
I 71436
II 72162
III 73133
IV 72835
I 72117
II 73148
III 73624
IV 72909
I 72918
II 73262
III 74197
IV 73811
I 73467
II 74099
III 74946
IV 74156
I 74580
II 75111
III 75884
IV 75060
I 74799
II 75728
III 76608
IV 75892
Для изучения сезонности этого явления применим фиктивные переменные. Так как исходный временной ряд построен по
кварталам, количество фиктивных переменных равно 3.
– – 56
Промежуточные расчеты сведем в следующую таблицу:
x1 x2 x3
t
ˆ
у
y
(
t
2
ˆ
)
yy −
tt
1 1 0 0 72174 70857,91 1316,09
2 0 1 0 73440 71572,13 1867,87
3 0 0 1 73134 72252,91 881,09
4 0 0 0 72332 71588,02 743,98
5 1 0 0 71135 71317,21 –182,21
6 0 1 0 71593 72031,43 –438,43
7 0 0 1 72048 72712,21 –664,21
8 0 0 0 71411 72047,32 –636,32
9 1 0 0 71630 71776,51 –146,51
10 0 1 0 72141 72490,73 –349,73
11 0 0 1 73237 73171,51 65,49
12 0 0 0 72421 72506,62 –85,62
13 1 0 0 71436 72235,81 –799,81
14 0 1 0 72162 72950,03 –788,03
15 0 0 1 73133 73630,81 –497,81
16 0 0 0 72835 72965,92 –130,92
17 1 0 0 72117 72695,11 –578,11
18 0 1 0 73148 73409,33 –261,33
19 0 0 1 73624 74090,11 –466,11
20 0 0 0 72909 73425,22 –516,22
21 1 0 0 72918 73154,41 –236,41
22 0 1 0 73262 73868,63 –606,63
23 0 0 1 74197 74549,41 –352,41
24 0 0 0 73811 73884,52 –73,52
25 1 0 0 73467 73613,71 –146,71
26 0 1 0 74099 74327,93 –228,93
27 0 0 1 74946 75008,71 –62,71
28 0 0 0 74156 74343,82 –187,82
29 1 0 0 74580 74073,01 506,99
30 0 1 0 75111 74787,23 323,77
31 0 0 1 75884 75468,01 415,99
32 0 0 0 75060 74803,12 256,88
33 1 0 0 74799 74532,31 266,69
34 0 1 0 75728 75246,53 481,47
35 0 0 1 76608 75927,31 680,69
36 0 0 0 75892 75262,42 629,58
Применение процедуры Регрессии из Анализа данных
– – 57
приводит к следующим результатам:
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика
y-пересечение 71128,72222 296,0365 240,2701
t 114,825 10,29627 11,15209
x1 –385,6361111
x2 213,7611111 301,4775 0,709045
x3 779,7138889 300,9496 2,590845
Регрессионная статистика
Множественный R 0,90816113
R-квадрат 0,824756638
Нормированный R-квадрат 0,802144591
Стандартная ошибка 638,0367502
Наблюдения 36
Дисперсионный анализ
df SS MS F
Регрессия 4 59393282 14848321 36,47421
Остаток 31 12619818 407090,9
Итого 35 72013100
302,3554 –1,27544
Полученное уравнение регрессии имеет вид:
yt = 71128,7 + 114,8 ⋅ t – 385,6x1 + 213,8x2 + 779,7x3.
Влияние сезонной компоненты на функцию значимо толь-
ко для 3-го квартала, у которого значение t-критерия по модулю
больше t
= 2,028. Сезонные составляющие 1-го и 2-го кварта-
табл
лов существенно не влияют на результат.
Однако, высокое значение коэффициента детерминации
(R2 = 0,825) позволяет использовать полученное уравнение регрессии для прогноза развития явления на будущее.
Приведем прогноз экономически активного населения на
2009 г. в следующей таблице:
Год Квартал t x1 x2 x3 Прогноз
I 37 1 0 0 74991,61
2009
II 38 0 1 0 75705,83
III 39 0 0 1 76386,61
IV 40 0 0 0 75721,72
– – 58
Изобразим полученные результаты на графике:
10 20 30 40
экономически активное население по РФ
77000
76000
75000
74000
73000
72000
71000
70000
0
кварталы
экономически
активное население,
тыс.чел
По уравнению
регрессии
Таким образом, мы получили модель временного ряда с
фиктивными переменными, которую можно использовать для
прогнозирования.
5. Моделирование тенденции временного ряда
при наличии структурных изменений
От сезонных и циклических колебаний следует отличать
единовременные изменения характера тенденции временного
ряда, вызванные структурными изменениями в экономике или
иными факторами. В этом случае, начиная с некоторого момента
времени t*, происходит изменение характера динамики изучаемого показателя, что приводит к изменению параметров тренда,
описывающего эту динамику. Схематично такая ситуация изображена на рис.5.1.
Момент (период) времени t*
сопровождается значитель-
ными изменениями ряда факторов, оказывающих сильное воздействие на изучаемый показатель y
. Чаще всего эти изменения
t
вызваны изменениями в общеэкономической ситуации или факторами (событиями) глобального характера, приведшими к из-
– – 59
менению структуры экономики (например, начало крупных экономических реформ, изменение экономического курса, нефтяные кризисы и прочие факторы). Если исследуемый временной
ряд включает в себя соответствующий момент (период) времени, то одной из задач его изучения становится выяснение вопроса о том, значимо ли повлияли общие структурные изменения на
характер этой тенденции.
y
t
(2)
(3)
(1)
t
*
t
Рис.5.1. Изменение характера тенденции временного ряда
Если это влияние значимо, то для моделирования тенденции данного временного ряда следует использовать кусочнолинейные модели регрессии, т. е. разделить исходную совокупность на две подсовокупности (до момента времени t* и после
момента t*) и построить отдельно по каждой подсовокупности
уравнения линейной регрессии (на рис.5.1 этим уравнениям соответствуют прямые (1) и (2)). Если структурные изменения незначительно повлияли на характер тенденции ряда y
, то ее мож-
t
но описать с помощью единого для всей совокупности данных
уравнения тренда (на рис.5.1 этому уравнению соответствует
– – 60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]