Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ гармонических процессов в линиях без потерь. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
А.В. САПСАЛЕВ, О.Б. ДАВЫДЕНКО,
О.Е. ОВЧИННИКОВА
АНАЛИЗ ГАРМОНИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ
В ЛИНИЯХ БЕЗ ПОТЕРЬ
Утверждено
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2019
УДК 621.3.011.71(075.8)
С 197
Рецензенты:
канд. техн. наук, доцент В.С. Данилов,
канд. техн. наук, доцент В.С. Чуркин
Работа подготовлена на кафедре электроники и электротехники
для студентов II курса РЭФ, обучающихся по направлениям:
11.03.01 – Радиотехника, 11.03.04 – Электроника и наноэлектроника,
28.03.01 – Нанотехнологии и микросистемная техника,
11.03.02 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи,
11.03.03 – Конструирование и технология
электронных средств
Сапсалев А.В.
С 197 Анализ гармонических процессов в линиях без потерь: учеб-
ное пособие / А.В. Сапсалев, О.Б. Давыденко, О.Е. Овчинникова. –
Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2019. – 76 с.
ISBN 978-5-7782-3924-1
В учебном пособии рассматриваются теоретические вопросы анализа комплексных характеристик линий без потерь, даются пояснения к
структуре круговой диаграммы и примеры ее использования для расчета комплексных сопротивлений и проводимостей линии без потерь при
произвольной нагрузке. Приведены различные примеры анализа комплексных характеристик линий без потерь, в том числе задачи по
чету согласующих устройств с помощью круговой диаграммы.
Предназначено для самостоятельной работы студентов, а также
может быть полезно преподавателям при организации учебного процесса.
УДК 621.3.011.71(075.8)
ISBN 978-5-7782-3924-1 Сапсалев А.В., Давыденко О.Б.,
Овчинникова О.Е., 2019
Новосибирский государственный
технический университет, 2019
рас-
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................................................................................. 4
1. Анализ периодических процессов в однородной линии без потерь ......... 5
1.1. Комплексные характеристики отрезков линии без потерь ..................... 6
1.2. Распределения действующих значений напряжения и тока ................... 8
1.3. Распределения составляющих сопротивления и проводимости .......... 10
1.4. Характеристики линии без потерь в предельных режимах работы ....... 14
1.5. Применение отрезков линии в качестве элементов согласую-
щих устройств ............................................................................................ 16
1.6. Примеры решения задач ........................................................................... 25
1.7. Задачи
2. Применение круговой диаграммы Вольперта–Смита
для анализа характеристик линий без потерь ........................................... 47
2.1. Структура и свойства круговой диаграммы ........................................... 47
2.2. Общие правила пользования круговой диаграммой .............................. 51
2.3. Примеры использования круговой диаграммы ...................................... 52
2.4. Задачи для самостоятельного решения ................................................... 73
Библиографический список .................................................................................. 75
для самостоятельного решения ................................................... 46
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
«Теория электрических цепей» – первая общепрофессиональная
дисциплина в системе подготовки студентов по направлениям:
11.03.02 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи;
28.03.01 – Нанотехнологии и микросистемная техника; 11.03.04 –
Электроника и наноэлектроника; 11.03.01 – Радиотехника; 11.03.03 –
Конструирование и технология электронных средств. Она представляет собой теоретическую основу, на которую опирается дальнейшее
обучение студентов указанных направлений.
Настоящее руководство охватывает раздел курса «
электрических цепей», посвященный анализу установившихся гармонических процессов в отрезках линий без потерь. Пособие включает
основные теоретические сведения по теме «Установившиеся процессы
в однородной линии без потерь при гармоническом внешнем воздействии», примеры решения задач и сами задачи. Учебное пособие предназначено в первую очередь для самостоятельной работы студентов
может быть использовано преподавателями при проведении практических занятий по указанному разделу курса.
Основы теории
и
4
γ
х
х
γ
Z
Z
γ
x
γ
x
γ
γ
1. АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
В ОДНОРОДНОЙ ЛИНИИ БЕЗ ПОТЕРЬ
Характеристики участка конечного отрезка однородной линии
можно записать в экспоненциальных функциях в одном из двух равносильных представлений:
γγγ
ххх
() (0) ρ ,() (0) ρ
Ux U ее Ix YU ее (1)
пп
или
UUZI IUZIYU – ком-
где
п 22 пп 22
() (0) ρ ,() (0) ρ ,
Ux ZI ее Ix I ее
пп
c
(0) ( )/2, (0) (0)/ ( )/2
γγ γγ
ccc
плексы действующих значений волн напряжений и тока в конце отрезка линии (х = 0);
ρ
нения волны;
00
j
e
Выражения комплексных характеристик участка [0, x] в экспонен-
тах позволяют не только количественно, но и качественно определять
распределение действующих значений напряжений и токов и их
начальных фаз вдоль конечного отрезка линии (0
Общие решения уравнений Гельмгольца можно представить также и
в виде линейной комбинации гиперболических функций
ххх
α(ω) β(ω)ZY j
Z
с
н
н
– коэффициент отражения волны.
Z
с
c
(2)
– коэффициент распростра-
x l).
sh
и ch
:
5
() ch
Ux U x ZI x
() sh
Ix YU x I x
22
22
c
sh γ
c
ch γ
, (3)
. (4)
Комплексные характеристики участка конечного отрезка одно-
R
R
Z
родной линии в экспоненциальных и гиперболических функциях взаимно дополняют друг друга, выбор тех или иных диктуется условиями задачи.
1.1. Комплексные характеристики
отрезков линии без потерь
На практике часто, особенно при высоких частотах, значения потребляемой мощности в начале и в конце отрезка линии передачи
близки. Тогда в любом режиме такой отрезок линии передачи удовлетворительно моделируется отрезком однородной линии без потерь.
Применение такой довольно грубой модели можно считать обоснованным, если собственное затухание отрезка линии передачи
сованном режиме не превышает 0,045 Нп; при этом
грешностью не более 5 %.
Рассматривать линию, не имеющую потерь, т. е. пренебречь первичными параметрами
(продольным сопротивлением) и
0
речной проводимстью), в ряде случаев оказывается удобным и полезным. Формально линия без потерь есть предельный случай линии с
потерями при ограничении дуальной пары ее первичных диссипатив-
ных параметров значениями
= 0 и
0
G
= 0. В этом случае выраже-
0
ния характеристических параметров линии принимают наипростейший
вид: ( ) 0 , следовательно,
j ,
l в согла-
l
1, 0 0
e с по-
G
(попе-
0
() LC
00
,
L
0
, т. е. собственное затухание линии без потерь равно
c
R
c
C
0
нулю, а ее характеристическое сопротивление вещественно. Поскольку
коэффициент фазы пропорционален частоте , то фазовая скорость
()vv волн напряжения и тока от частоты не зависит:
фф
ω 1
v
ф
β(ω)
LC
00
.
Для линий без потерь, которые моделируют воздушные линии
передачи, значение фазовой скорости
6
v по умолчанию принимают
ф
равным значению скорости света: фv = с = 3 108 м/с. Если же линия
Z
j
j
x
x
без потерь моделирует радиотехнический кабель, то скорость света
делят на так называемый «коэффициент укорочения длины волны»,
значения которого приводятся в стандарте на соответствующий кабель
(ГОСТ 11326.1–79 – 11326.92–79).
Выразим комплексные характеристики участка [0, x] конечного отрезка (0 x l) линии без потерь, нагруженного пассивной ветвью с
характеристиками
j ,
R и
c
c
UZI
нн
н
YG .
c
c
или
IYU
нн
, с учетом того, что
н
Характеристики в экспоненциальных функциях мнимого аргумента
на основании (1) и (2):
ββ
() [ ρ ]
Ux U e e , (5)
xjx
п2
где через
Ix I e e , (6)
URI и
п2 п2
c
() [ ]
IGU обозначены комплексы действу-
п2 п2
ββ
п2
c
xjx
ющих значений падающих волн напряжения и тока в конце отрезка
линии:
UU и
п2 п
(0)
II.
п2 п
(0)
Характеристики в гиперболических функциях (3) и (4) записываются теперь в тригонометрических функциях вещественного аргумента:
() cosβ sin β
Ux U x jRI x
() sinβ cosβ
Ix jGU x I x
22
22
c
c
, (7)
, (8)
поскольку
ch ch cos
jx x , sh sh sin
jx j x .
Получим теперь выражение потребляемой комплексной мощности
в сечении с координатой x конечного отрезка однородной линии:
Sx UxIx Ux e Ix e
пп
= () ()1 ρρ
UxIx e e
пп
= () ()(1 ρ )2sin(2βν).
UxIx j x (9)
пп
2(2βν)(2βν)
**
() ()() ()1 ρ ()1 ρ
(2βν)(2βν)
jx jx
jx jx
2
п
7
1.2. Распределения действующих значений
ν
j
напряжения и тока
Для вывода зависимости U(x) обратимся к уравнению (5) и найдем
его модуль на основе следующих соотношений:
() () () ρ
Ux UxUx U e e U e e .
jx jx jx jx
ββ ββ
п2
п2
1/ 2 1/2
**
Принимая во внимание, что коэффициент отражения равен
ZZ
н
c
,
ρρ
ZZ
н
e
c
после несложных преобразований получим
*
() 1 ρ 2ρcos(2βν)Ux U x
п2
2
. (10)
Заменяя здесь формально идентификаторы U на I, а на –, полу-
чаем
() 1 ρ 2ρ cos(2βν)Ix I x
п2
2
. (11)
Анализ распределения действующих значений напряжения и тока
удобнее провести для нормированных характеристик, которые выражаются функциями
()
Ux
() 1 ρ 2ρcos(2βν)
Ux x
U
п2
2
и
()
Ix
() 1 ρ 2ρ cos(2βν)
Ix x
,
I
п2
2
определенными на интервале [0, l]. Отметим особенности этих функ-
ций (рис. 1):
функции ()Uxи ()Ix являются периодическими с периодом
/2 = /;
8
их максимальные 1 и минимальные 1 значения опреде-
xl
ляются только значением модуля коэффициента отражения ;
сечения отрезка, в которых наблюдаются максимумы функции
()Ux, совпадают с сечениями, в которых функция ()Ixпринимает ми-
нимальные значения, и наоборот. Значения координаты этих сечений
()/2(/)
xk k
k
, 0
4
, 0kN
k
определяются лишь значением аргумента коэффициента отражения .
/2
Рис. 1
В режиме бегущих волн ( = 0) функции () () 1Ux I x и графики
распределений нормированных действующих значений напряжения и
тока вырождаются в два совпадающих отрезка, параллельных оси абсцисс. В режиме стоячих волн ( = 1) из общих выражений функций
()Ux и ()Ix по формулам приведения получим
() 2cos(βν/2)Ux x,
() 2sin(βν/2)Ix x.
Для режима стоячих волн характерно наличие в отрезке линии сечений, в которых амплитуда колебания напряжения или тока равна
9
нулю (узлы напряжения или соответственно тока), и сечений, в кото-
j
j
j
j
R
X
рых амплитуда колебаний максимальна (пучности напряжения или тока):
22U и п222I . Кроме того, ни узлы, ни пучности волн напря-
п2
жения и тока с течением времени вдоль отрезка линии не
перемещаются. Вот почему эти волны называют стоячими.
Среднее за период значение мощности
()Px
, передаваемой к кон-
п
цу отрезка, найдем как вещественную часть выражения (9):
() (1 ρ )Р xUI
пп2 п2
2
.
Отсюда видно, что среднее значение передаваемой вдоль отрезка
мощности не зависит от координаты его сечения – результат, не удивительный для отрезка линии без потерь.
1.3. Распределения составляющих сопротивления
и проводимости
Из характеристик участка [0, x] конечного отрезка [0, l] линии без
потерь в экспонентах (5) и (6) найдем выражения входных параметров
участка:
2 β
x
()
Ux
()
Zx R
()
Ix
c
1 ρ
1 ρ
e
e
2 β
,
x
2 β
x
1 ρ
1 ρ
e
e
2 β
.
x
x и выделим действи-
xZx
сопротивле-
Учитывая, что
тельную
Yx G
обозначим 2βξ
() Re ()
xZx и мнимую часть () Im ()
Ux
,je
()
c
()
Ix
()
ния, для чего числитель и знаменатель умножим на сопряженный комплекс знаменателя:
ξξ2 ξξ 2
(1 ρ )(1 ρ )1ρρ ρ 1 ρ 2ρ cos ξ
(1 ρ )(1 ρ )1ρρ ρ 1 ρ 2 ρ sin ξ
10
jj jj
ee ee
ξξ2 ξξ 2
jj jj
ee ee j
,
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]