Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ гармонических процессов в линиях без потерь. Учебное пособие
.pdf
риваемого согласующего устройства следуют два математических
Z
cZ
условия согласования:
1)
Im ( ) 0YYl
2
н
, 2) (/4)
YG
.
c
Входное сопротивление разомкнутой линии без потерь
x
ctg β
jR x
c
.
Для разомкнутого шлейфа отсюда следует
() tgβ
Yx jG x.
c
Для короткозамкнутого шлейфа
tg β
jR x и () /tgβ
к
Yx jG x.
c
Из этих формул и первого условия согласования имеем:
– для разомкнутого шлейфа
Im (tg β )0
YG l
н
lk
k
2
2
ck
1
π arctg ,
β
и
tgβ (Im ) /
lYG
2
Im
Y
н
G
c
kc
kN
н
;
0
,
– для короткозамкнутого шлейфа
Im / (tg β )0
причем
YG l
l . Отсюда видно, в частности, что при резистивной
20k
ck
н
lk
2
k
2
1
π arctg
β Im
и
G
tg β /(Im )
lG Y,
2
kc
c
Y
н
kN,
,
н
0
нагрузке надобность в шлейфе отпадает.
В соответствии со вторым условием согласования отрезок линии
длиной l будет работать в согласованном режиме, если значения вход-
ной проводимости нагруженного трансформатора
ристической проводимости
21
G линии одинаковы:
c
2
G
т
(λ /4)
YG
c
.
Re
Y
c
н
(λ /4)Y и характе-
Отсюда следует
х
х
х
х
х
х
GGY . (25)
т
сс
Re
н
При соблюдении условий согласования в отрезке линии передачи l
(рис. 7) обеспечивается режим бегущих волн, в трансформаторе – режим смешанных волн, а в шлейфе будут только стоячие волны напряжения и тока.
Существуют схемы согласования всего одним шлейфом, подключаемым, например, параллельно линии передачи вблизи нагрузки (рис. 8).
ll
1
U
1
G
с
l
2
G
с
0
Шлейф подключается в таком сечении
l
1
G
с
Y
U
н
1
00
)а
а
Рис.8
ll
G
G
0
1
с
l
2
l
1
G
с
Y
н
00
с
)в
б
Рис. 8
l , в котором вещественная
1
часть проводимости равна характеристической проводимости линии.
Шлейф длиной
l , включаемый в это сечение, компенсирует мнимую
2
составляющую проводимости несогласованного участка линии. Отсюда следуют два условия согласования, из которых определяются координата сечения линии, где включается шлейф, и длина шлейфа:
Re ( )
Yl G, 2)
1)
1
c
Im ( ) ( ) 0Yl Yl .
12
Из формулы (14), определяющей вещественную часть проводимости участка конечного отрезка линии, и первого условия согласования
()
Gl G получаем 1cos(2βν) ρ
1
kc
22
l
k
, откуда
1
ν
В
В
lk , 0kN,
1
k
2β
arccos( ρ)2π
причем
0
ll.
1
k
Реактивная проводимость линии в сечении
l
на основании фор-
1k
мулы (15) будет равна
Yl В lG
Im() ()
11
kkc
2ρ
1 ρ
.
2
Реактивная проводимость шлейфа определяется выражением:
() () tgβ ;
– разомкнутого
Yx
– короткозамкнутого
xjG x
() () /tgβ
Yx
c
xjG x.
c
Для получения уравнений, задающих спектры длин шлейфов, обратимся ко второму условию согласования
Im ( ) ( ) 0Yl Yl . В ре-
12
зультате несложных преобразований получим:
– для разомкнутого на конце шлейфа (рис. 8, а)
12ρ
ln
2
n
π arctg
,
β
1 ρ
2
nN
;
0
– для короткозамкнутого шлейфа (рис. 8, б)
1
ln
2
n
π arctg
β 2ρ
1 ρ
2
nN.
,
0
Знаки перед вторыми слагаемыми формул для
l и 2nl согласова-
1k
ны. Очевидно, что шлейф должен быть как можно короче и его следует
подключать как можно ближе к нагрузке.
В зависимости от назначения линии передачи применяют различные согласующие устройства, принцип действия которых и порядок
расчета подробно рассматриваются в специальных курсах.
Ниже в таблице приведены расчетные соотношения параметров
компонентов устройств
согласования, соответствующих заданию на
курсовую работу [1].
23
Расчетные соотношения компонентов устройств согласования
R
R
Z
R
Z
ν
ν
ν
Тип согласующего
устройства
1. Четвертьволновый
трансформатор
т 1
сс k
Расчетные формулы
Re ( )
RZl
( πν)2β,
lk kN
10
k
2. Четвертьволновый
трансформатор
lk
и последовательный
короткозамкнутый
Re
RZ
т
сс
н
k
2
β
шлейф
3. Четвертьволновый
трансформатор
и последовательный
т
сс
Re
RZ
н
lk
k
2
разомкнутый шлейф
4. Четвертьволновый
трансформатор
и параллельный разомкнутый шлейф
GGY
т
сс
Re
н
lk
k
2
5. Четвертьволновый
трансформатор
lk
и параллельный
короткозамкнутый
GGY
т
сс
Re
н
2
k
β Im
шлейф
6. Последовательный
короткозамкнутый
шлейф
7. Последовательный
разомкнутый шлейф
8. Параллельный
разомкнутый шлейф
9. Параллельный
короткозамкнутый
шлейф
1
lk
1
k
lk
1
k
lk
1
k
2β
lk
1
k
2β
arccos(ρ)2π
2β
1
ν arccos(ρ)2π
2β
1
arccos( ρ)2π
1
arccos( ρ)2π
12ρ
ln
2
n
β
1
ln
n
2
β 2ρ
12ρ
ln
2
n
β
1
ln
n
2
β 2ρ
1
π arctg
Im
н
R
c
1
π arctg
β Im
1
π arctg
β
1
π arctg
Im
R
c
н
Y
н
G
c
G
c
Y
н
π arctg
1 ρ
π arctg
1 ρ
2
2
π arctg
π arctg
1 ρ
1 ρ
2
2
24
1.6. Примеры решения задач
Задача 1. Погонные (первичные) параметры двухпроводной линии
R 41 Ом /км; 0G = 0,06 10
0
= 5,5 10
действующим значением U
–9
Ф/км. На вход линии подано гармоническое напряжение с
= 10 В и частотой f = 800 Гц.
1
–6
См/км;
L = 79 10
0
–4
Гн/км;
C =
0
Определить ток в начале линии, напряжение и ток в нагрузке,
входное сопротивление нагруженной линии, мощность, подводимую к
линии и расходуемую в нагрузке, КПД, если линия нагружена на со-
30
j
противление
= 1229
Ze
н
Ом, длина линии l = 42 км.
Решение
1. Найдем вторичные параметры линии.
Волновое (характеристическое) сопротивление линии
22,9
j
Ом,
где
Ze
2 5,027 10f
RjL
00
c
GjC
00
3
с–1.
1437
Коэффициент распространения линии
( )( ) 0, 016 0, 037jRjLGjC j км–1,
000 0
соответственно коэффициент затухания на единицу длины линии
–3
= 16 10
Нп/км,
коэффициент фазы на единицу длины
–3
= 37 10
рад/км.
Длина электромагнитной волны
2 169,816
км.
Фазовая скорость волны
ф
25
1, 359 10v км/с.
8
2. Ток в начале линии и напряжение на нагрузке целесообразно
определять по уравнениям, связывающим входные напряжение и ток
длинной линии
, UI
с выходными
11
, UI
(отсчет координат от конца
22
линии):
В уравнениях (26) и (27) учтено, что ток
UUlU lZI lU l l
IIlI l lU l l
( ) ch sh ch sh ;
1222
( ) ch sh ch sh .
12 2
c
U
2
ZZZ
cc
IUZ
22
Из уравнения (26) получим
U
1
Z
ll
Z
=5,133e
c
н
0
где
Ue
1
j
10 10
U
2
В.
ch sh
Из уравнения (27) следует
11
IU l l e
12
( ) (16 37) 10 42 0,672 1,554ljl j j
;
здесь
sh sh ( ) sh cos ch sin 1,234
lljllljll e
ch sh 6 10
ZZ
н
c
3
11
н
j
Z
Z
.
н
52,064
В,
337,92
j
c
н
(26)
(27)
А,
89,43
j
;
88,36
j
ch ch ( ) ch cos sh sin 0,724
lljllljll e
3. Входное сопротивление линии
37,92
j
ZUI e
вх 11
1541
Ом.
Входное сопротивление линии можно было найти иначе, без опре-
, UI
деления
26
:
11
th
Z
Z
–
–
R
Zl
н
вх 11
c
() () () .
ZZlUIUlIlZ
c
th
Zl
н
c
4. Определение активной мощности на входе и выходе линии:
активная мощность на входе линии
*
Re Re [10 6 10 ] 51
PUI e
11
1
3 37,92
j
мощность, расходуемая в нагрузке,
*
PUI e e мВт,
2
I– ток в нагрузке,
где
2
IUZ e
22
Re Re [5,133 4 10 ] 19
52,06 3 82,06
jj
82,06
j
4
н
мА.
5. КПД линии
P
2
.
0,363
P
1
мВт;
Ответ:
82,06
j
4
Ie
2
337,92
Ie
1
610
мА,
Ze
вх
j
1541
А,
37,92
j
2
5,133e
Ом,
1
Задача 2. Первичные параметры линии без потерь:
40 10 Ф/км;
9
ние в начале линии
3, 5 10L
0
( ) 100 2 sin ( 14 )ut t
1
3
Гн/км; длина линии 63l
f = 1500 Гц. Линия нагружена на сопротивление
Определить ток в начале линии
()it.
1
52,064
jU
51P
В,
мВт,
19 P
2
мВт.
C
0
км; напряже-
В; частота напряжения
= 540 Ом.
н
Решение
Для расчета тока в начале линии воспользуeмся уравнениями
длинной линии без потерь при отсчете координат от ее конца (в линии
без потерь гиперболические функции sh
l и ch l вырождаются в кру-
говые функции jsin βl и cos l):
27
UUlU ljRI l; (28)
() cosβ sin β
12 2
c
R
j
U
IIl j lI l
() sin cos
12
2
R
c
. (29)
В уравнениях (28) и (29)
– характеристическое (волновое) со-
c
противление линии:
L
0
RC Ом;
c
295,8
0
– коэффициент фазы на единицу длины линии:
0,112LC
рад/км.
Учитывая, что
IUR
22н
00
, уравнения (28) и (29) могут быть при-
ведены к виду
UU lj l
cos sin
12
IUj l l
12
11
RR
c
R
sin cos
c
R
н
н
; (30)
. (31)
Из (30) и (31) комплекс действующего значения тока в начале
линии
11
jl l
IU e
11
sin cos
RR
c
lj l
cos sin
н
R
c
R
н
0,323
46,48
j
А, (32)
где
Ue
1
100
14
В.
Мгновенное значение тока на входе линии
() 0,323 2 sin( 46,48)it t
1
Ответ:
28
( ) 0,323 2 sin( 46,48 )it t А.
1
А.
Задача 3. На входе разомкнутой линии без потерь действует сину-
соидальное напряжение, длина волны которого
плитуды напряжения в конце линии
200
стическое) сопротивление
R
c
U
100
2
m
Ом. Найти величины амплитуд
2 м. Комплекс ам-
В, волновое (характери-
напряжения и тока на расстоянии a = 0,3 м от конца линии, записать их
мгновенные выражения.
Уравнения длинной линии без потерь при отсчете координат от ее
конца в комплексах амплитуд:
UxU xjRI x
Ix j xI x
Для разомкнутой линии без потерь
() cosβ sin β ,
mm cm
() sin cos .
mm
22
U
2
m
R
c
2
(0, Z=)
I
22
m
уравнения
приобретают вид
UxU x
Ix j x
() cosβ ,
mm
() sin .
m
2
U
2
m
R
c
Комплексы амплитуд напряжения и тока в сечении линии на расстоянии a = 0,3 м от конца линии:
UaU a
Ia j a j
() cosβ 58,78 В,
mm
() sin 0,405 A.
m
2
U
2
m
R
c
Мгновенные выражения напряжения и тока в сечении a = 0,3 м от
конца линии:
() 0,405sin( 90) A,
it t
()
a
() 58,78sin В.
ut t
() 0,405sin( 90) A,
Ответ:
it t
()
a
29
()
a
() 58,78sin В.
ut t
()
a
Задача 4. Нагрузкой воздушной линии без потерь является ин-
L
дуктивность
тивление
ф
ZR Ом, длина волны λ =3 м, фазовая скорость
8
310v м/с. Определить, на каком расстоянии a от конца линии
=0,5L мкГн. Характеристическое (волновое) сопро-
н
100
cc
находится ближайший узел напряжения.
Первый вариант решения
1.
Частоту внешнего воздействия найдем из выражения для фазо-
2π
вой скорости волны
ωβ λ
vf
ф
f
, откуда
2πλ
λ 310 3 10fv Гц.
ф
2.
Коэффициент фазы на единицу длины
β 2πλ 2π 32,1
Сопротивление индуктивной нагрузки
3.
ZjX jLj j
н
Напряжение в произвольном сечении линии без потерь при от-
4.
ω 2π10 0,5 10 314,16
L
88
рад/м.
86
Ом.
счете координат от конца линии:
() cosβ sinβ
Ux U x jRI x
cosβ sinβ (cosβ sin β ).
Uxj xUxmx
22
22
R
c
jX
L
Выражение получено с учетом того, что
mRX
а
.
cL
c
IUZUjX,
22н 2
При реактивной нагрузке в линии имеет место режим стоячих волн.
Для этого режима характерно наличие в линии сечений, в которых амплитуда колебания напряжения (тока) равна нулю. Такие сечения
называют узлами напряжения (тока).
5.
Координата ближайшего к нагрузке узла напряжения определя-
ется из равенства нулю выражения напряжения
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]