Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ гармонических процессов в линиях без потерь. Учебное пособие
.pdf
В результате получим:
B
()
Rx R
2
1 ρ
c
1 ρ 2ρcos(2β )
2
x
, (12)
()
Xx R
2ρsin(2βν)
c
2
1 ρ 2ρcos(2β )
x
. (13)
x
Если заменить здесь идентификаторы R на G, X на B, а на –, то
получим выражения зависимостей вещественной
мнимой
() Im ()
xYx частей проводимости участка Y(x) от коорди-
() Re ()Gx Y x и
наты x:
2
1 ρ
()
Gx G
()
Bx G
c
1 ρ 2ρcos(2β )
c
1 ρ 2ρcos(2β )
2
2ρsin(2βν)
2
x
, (14)
x
. (15)
x
Проанализируем последние выражения. Так как значения их знаменателей неотрицательны при любых значениях x, то знаки этих выражений определяются знаками их числителей. Следовательно,
() 0Rx , ( ) 0Gx , а X(x) и B(x) – знакопеременные функции x. Период
их изменения равен /2 = /. Можно убедиться, что на тех участках
отрезка линии, где амплитуда напряжения при перемещении к началу
отрезка возрастает, сопротивление и проводимость носят индуктивный
характер (()0Xx , ( ) 0Bx
), а там, где убывает – емкостный
(()0Xx , ( ) 0Bx ). В тех сечениях отрезка линии, в которых ампли-
туда напряжения максимальна
на
(1 ρ)I , значения входных параметров участка вещественны и
п2
(1 ρ)U , а тока – минималь-
п2
равны:
1
()
Rx R
kc
11
1
, ( ) 0
Xx
k
()
,
Gx G
kc
1
1
, ( ) 0
Bx
k
.
Для сечений отрезка линии, в которых значение амплитуды напря-
xl
X
xl
B
xl
R
X
B
жения минимально
п2
, а тока – максимально п2(1 ρ)I
, в этих
(1 ρ)U
формулах нужно заменить на –. В сечениях отрезка линии с коор-
динатами
12
2 arccos
xk
k
2
, 0kN,
0
k
мнимая часть сопротивления участка ()
1
x принимает экстремальные
k
,
2
значения, равные
2
1
.
2
()
Xx R
kc
В сечениях отрезка линии с координатами
12ρ
xk
k
2 πνarccos
2β
0
, 0kN
k
мнимая часть проводимости участка
1 ρ
()
x принимает экстремальные
k
,
2
значения, равные
2
()
Bx G
.
kc
2
1
Графики распределений нормированных значений вещественных и
мнимых составляющих сопротивления и проводимости участка отрез-
ка однородной линии при ρ 0
и 0
показаны на рис. 2 и 3 со-
k
ответственно, где приняты следующие обозначения исследуемых параметров однородного участка:
() Re ()/
xZxR , () Im ()/
xZxR
c
c
и
() Re ()/
Gx Yx G , () Im ()/
12
xYxG .
c
c
/2
/2
Рис. 2
Рис. 3
Для согласованной нагрузки 0
и графики составляющих вход-
ных параметров участка превращаются в семейство двух отрезков, параллельных оси абсцисс:
() 1Rx, () 0Xx и () 1Gx, () 0Bx.
В другом предельном случае, когда 1 , функции распределения
мнимых составляющих параметров участка вырождаются в тангенсои-
ды, а вещественных – в прямые, совпадающие с осью x, за исключением точек разрыва тангенсоид, в которых они также неограниченны.
13
Если обратиться к выражениям комплексных характеристик участ-
Z
ка конечного отрезка линии в тригонометрических функциях (7) и (8),
то для линии без потерь для конца отрезка получаем другие, эквивалентные формулы входных параметров участка конечного отрезка однородной линии:
cosβ sin β
xjR x
() .
Zx R
н
c
sin β cosβ
jZ x R x
н
c
c
(16)
В соответствии с принципом дуальности
cos sin
YxjGx
() .
Yx G
н
c
jY x G x
sin cos
н
c
c
(17)
Эти формулы предпочтительнее использовать при анализе процессов в отрезках линии без потерь в режимах стоячих волн.
1.4. Характеристики линии без потерь
в предельных режимах работы
В режиме холостого хода, когда
Z , падающая волна встреча-
н
ет бесконечно большое сопротивление и ток в конце линии становится
равным нулю. Вся магнитная энергия переходит в электрическую,
напряжение падающей волны на разомкнутом конце линии удваивается, возникает отраженная волна того же знака, что и падающая.
Из общих уравнений линии без потерь (7) и (8) при I
UU мгновенные значения напряжения и тока
При
22
() cosβUx U x
uU x t i I x t
2
cosβ sin ω ,sinβ cos ω
22
mm
,
() sinβ
Ix jGU x
2
c
= 0 получаем
2
. (18)
представляют собой уравнения стоячих волн, поскольку являются
произведением двух синусоидальных функций, аргумент одной из которых зависит только от координаты, а другой – только от времени.
Стоячей волной называют процесс, получающийся от наложения
прямой и обратной волн с одинаковой амплитудой. Действительно,
если обратиться к комплексным уравнениям линии без потерь в экспо
14
-
ненциальных функцияx (5) и (6), то, учитывая, что
j
х
ρ 1 , получим
UU , а
п22
/2
m
UGU
() [ ], () [ ]
Ux e e Ix e e
ββ ββ
22
xjx jxjx
mcm
.
22
На основании последних выражений мгновенные значения напряжения и тока
UU
22
mm
utx tx
sin(ωβ)sin(ωβ),
22
GU GU
22
cm cm
itx tx
sin(ωβ)sin(ωβ)
22
явно представлены как наложение прямых и обратных волн с одинаковыми амплитудами.
При холостом ходе в сечениях линии с координатами x = k
пучности напряжения и узлы тока, в точках x = (2k + 1)
/4 – наоборот,
/2 –
узлы напряжения и пучности тока. Узлы и пучности напряжения и тока неподвижны.
Входное сопротивление разомкнутой линии без потерь легко находится из соотношений (18):
ZUxIx jR x jR x.
()/ () ctgβ ctg(2π / λ)
x
cc
Оно получается чисто реактивным, а его характер определяется
длиной линии и частотой (или длиной волны). Изменение абсолютного
значения и характера
При коротком замыкании линии, когда
()Z
показано на рис. 4.
х
, падающая волна
0Z
н
встречает бесконечно малое сопротивление и напряжение в конце линии становится равным нулю. Вся электрическая энергия переходит в
магнитную, ток падающей волны на короткозамкнутом конце линии
удваивается и возникает отраженная волна тока того же знака, что и
падающая. Из общих уравнений линии без потерь (7) и (8) при
U = 0
2
и ρ 1 получаем
15
() sinβ
Ux jRI x
2
c
, 2() cosβIx I x
. (19)
x
x =
x
x
x
х
x = /2x = 3/4
x = /4
=0
x =
x = 3/4
x = /2
x = /4
= 0
Z
х
Z
х
Z
к
Z
к
Рис. 4 Рис. 5
Мгновенные значения напряжения и тока
uRI x tiI x t
sin β cos ω ,cosβ sin ω
22
cm m
также представляют собой уравнения стоячих волн.
Входное сопротивление короткозамкнутой линии без потерь легко
находится из соотношений (19):
ZUxIxjR xjR x .
()/ () tgβ tg (2π / λ)
к
cc
Оно также чисто реактивное и в зависимости от длины линии и частоты может быть индуктивным или емкостным. Изменение абсолют-
()Z
ного значения и характера
показано на рис. 5.
к
1.5. Применение отрезков линии
в качестве элементов согласующих устройств
По определению согласованным называют режим работы линии,
при котором сопротивление (проводимость) нагрузки равно характеристическому (волновому) сопротивлению (проводимости) линии.
16
Для согласования линии с нагрузкой применяют пассивный двухпо-
Z
Z
R
R
R
R
люсник, включаемый в конце отрезка линии, значения параметров
и
Y которого совпадают со значениями характеристических парамет-
н
ров линии
RR и
ннc
YGG
. Такой четырехполюсник
ннc
н
называют согласованной нагрузкой отрезка. Напомним, что при согласованной нагрузке ρ 0
, т. е. обратных (отраженных) волн напряже-
ния и тока нет и вся мощность, доставленная ими к концу отрезка линии, поглощается нагрузкой.
На практике редко удается обеспечить режим согласованной
нагрузки без применения специальных устройств. В диапазонах УВЧ и
СВЧ (0,01 м <
< 1 м) в качестве согласующих устройств использу-
0
ют отрезки радиотехнических кабелей и полосковых линий с допустимо малыми собственными потерями.
Ознакомимся с методикой определения значений параметров компонентов некоторых устройств согласования.
Одно из возможных устройств образовано отрезком линии без потерь, длина которого равна четверти длины волн /4 или их нечетному
числу, с характеристическим сопротивлением
в рассечку отрезка линии передачи на расстоянии
ттc с
l от его конца (рис. 6).
1
1
G
, включенным
Этот отрезок линии называют четвертьволновым трансформатором. При расчете такого согласующего устройства определению под-
лежат значение характеристического сопротивления
мости
G четвертьволнового отрезка и место его включения 1l . Для
т)с
(проводи-
тс
удобства решения поставленной задачи на схеме рис. 6 для каждого
однородного отрезка линии выбрана своя (локальная) система координат, отсчитываемых от его конца.
Рассмотрим теоретически этот способ согласования нагрузки с отрезком линии передачи. Сначала отрезок линии разрезают в сечении
l
1
пучности напряжения или тока, в котором значения сопротивления
()Zl и проводимости 1()Yl вещественны. Затем в этом разрезе вклю-
1
чают четвертьволновый трансформатор с таким значением характеристического сопротивления
(проводимости
тс
G
, чтобы его вход-
т)с
ное сопротивление (проводимость) равнялось характеристическому
сопротивлению
(проводимости )
с
G линии. Отсюда следует мате-
c
матическая формулировка условий согласования:
17
1)
Z
R
R
R
Z
х
х
х
R
Im ( ) 0Zl
, 2)
1
либо
(/4)
R
(20)
c
1)
Im ( ) 0Yl
, 2) (λ /4)
1
YG
. (21)
c
ll
1
U
с
1
G
с
Рис. 6
λ /4
G
ттс
с
Первые условия формул (20) и (21) определяют координаты пучностей напряжения и тока. Из условия X(l
sin (2βν)0l . Откуда
чим
На спектр значений l
1
( πν)2β,
lk kN
10
k
. (22)
, поставляемых этой формулой, накладыва-
1k
ется естественное ограничение
1
ll
.
10k
Чтобы получить более широкую полосу частот согласования (при
негармоническом процессе), необходимо стремиться к возможно
меньшим значениям длины несогласованного участка
Вторые условия формул (20) и (21) позволяют определить характеристическое сопротивление
G
мость
трансформатора. Для их определения запишем комплекс-
тс
или характеристическую проводи-
тс
ные характеристики трансформатора как участка линии без потерь в
тригонометрических функциях:
l
1
с
G
с
00
н
Y
н
0
) = 0 на основании (13) полу-
l .
1k
() cosβ sin β
Ux U x jRI x
т 2 тт2т
() sinβ cosβ
Ix jGU xI x
тт2т 2т
18
c
c
,
.
2 λπ
Z
Z
R
Z
R
R
При x = /4 и
β
x
получим
λ 42
откуда
(λ /4)
UjRI
тт2т
2
(λ /4) ( / )
ZRIU
т 2т 2т
c
c
;
(λ /4)
IjGU
тт2т
. Здесь
UI Z Zl
/()
2т 2т 1
,
c
2т
k
скольку в пучностях напряжения и тока значения сопротивления
и проводимости
()Yl вещественны:
1
()Re()
lZl
11
kk
,
()Re()
Yl Yl
11
kk
,
. По-
()Zl
1
получим
(λ /4)
Z
2
R
т
с
и
Re ( )
l
1
k
(λ /4)
Y
2
G
т
с
.
Re ( )
Yl
1
k
Подчинив значения этих величин вторым условиям согласования,
получим пару дуальных искомых формул для характеристических параметров трансформатора:
т 1
сс k
GGYl
т 1
сс k
При соблюдении условий согласования на участке
Re ( )
RZl
Re ( )
, (23)
. (24)
–ll линии пе-
1
редачи (рис. 6) наблюдается режим бегущих волн, а в трансформаторе
и следующем за ним участке – режим смешанных волн.
Если нагрузка недостаточно согласована с отрезком линии, возникают отраженные волны напряжения и тока, которые перемещаются к
началу отрезка. При отсутствии согласования отрезка с генератором,
т. е. если сопротивление генератора
отличается от характеристического сопротивления линии, происходит повторное отражение волн
напряжения и тока от начала отрезка.
Для резистивной нагрузки
R ,
YG аргумент коэффици-
н
н
н
н
ента отражения принимает всего лишь одно из двух значений: = 0,
если
н с
R и соответственно
н,с
R . В обоих случаях трансформатор можно подключить непо-
GG, либо = , когда
н c
GG ,
н c
средственно к нагрузке.
19
Из этого следует, что при комплексной нагрузке можно предло-
х
λ /
х
х
l
х
х
х
)
l
жить согласующее устройство в виде четвертьволнового трансформатора и динамического элемента, включаемого параллельно нагрузке
или последовательно с ней для компенсации реактивного сопротивления нагрузки. Таким динамическим элементом в диапазонах УВЧ и
СВЧ может служить разомкнутый или короткозамкнутый шлейф –
отрезок той же линии
подходящей длины. Реактивный характер выходного сопротивления (или входной проводимости) короткозамкнутого или разомкнутого отрезка линии позволяет использовать шлейф
для компенсации реактивной составляющей проводимости в определенном сечении линии. Подключение подобного динамического
элемента преобразует комплексную нагрузку в эквивалентную резистивную.
4
а
G
)а
λ /4
Y
тс
U
1
G
с
l
2
н
G
c
0
00
l
2
Y
U
1
G
с
б
в
н
G
тс
G
c
0
00
Рис. 7
Для определенности возьмем устройство согласования четвертьволновым трансформатором и шлейфом, включенным параллельно нагрузке (рис. 7). Выведем формулы, определяющие значения
длины шлейфа
l и характеристической проводимости тсG четверть-
2
волнового трансформатора. Из описания принципа действия рассмат-
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]