Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ гармонических процессов в линиях без потерь. Учебное пособие
.pdf
x
x
() (cosβ sin β )0 cosβ sinβ 0
Ux U x m x x m x ,
2
отсюда получаем уравнение
tg(β )1xm
, решение которого дает
координаты узлов напряжения
111
=arctg π arctg π ,
00
ββ
mR
nnnN
X
L
c
Координата ближайшего узла к нагрузке (при ограничении
1 1 314,16
arctg π arctg π 0, 9
a
β 2,1 100
X
L
R
c
Возможно найти координату a иначе (рис. 9):
1 1 314,16
= arctg arctg 0,6
a
β 2,1 100
X
L
R
c
= λ 2 1,5 0,6 0,9aa
м.
U
1
м,
.
м.
0)x
0
()Ux
Рис. 9
Ответ: a = 0,9 м.
31
Второй вариант решения
Z
2
x
x
Z
Заменим сосредоточенную индуктивную нагрузку короткозамкнутым отрезком основной линии с таким же сопротивлением (рис. 10):
() tgβω .
ljRljLjX
кз кз кз
cL
U
1
jX
н L
l
кз
()Ux
a
2
34
l
кз
()zx
вх
4
0
Рис. 10
Длина короткозамкнутого отрезка
1 arctg(314,16 100)
lXR
arctg( ) 0,6 м.
кз
β 2,1
Lc
Координата ближайшего к нагрузке узла напряжения
= λ 2 1,5 0,6 0,9al
Ответ:
32
a = 0,9 м.
м.
кз
Задача 5. Отрезок однородной линии без потерь с характеристиче-
R
ским сопротивлением 100 Ом нагружен резистором сопротивлением
. Максимальное значение амплитуды напряжения в отрезке линии
2
500 В, минимальное – 300 В. Определить значение сопротивления резистора R
, если амплитуда напряжения в конце отрезка: а) максималь-
2
на; б) минимальна.
Первый вариант решения
1.
Напряжение в произвольном сечении линии без потерь при от-
счете координат от конца линии
() cosβ sinβ
Ux U x jRI x
22
c
cosβ sinβ (cos β sinβ ).
Uxj xUxjmx
22
Выражение получено с учетом того, что
mRR
а
2.
Действующее значение напряжения в произвольном сечении
.
2c
R
c
R
2
IUZUR
22222
линии
() (cosβ )(sinβ )Ux U x m x.
2
22
В случае, если в конце линии наблюдается максимум напряжения, то
(0) (cos0) ( sin0) 500 UU U m U
max 2 2
22
В.
С учетом того, что соседние максимумы и минимумы напряжения
λ 4a
(тока) находятся на расстоянии
2πλ
π/2
,
и соответственно βa
λ 4
22
ππ
откуда
(λ 4) cos sin 300
UUU m Um
min 2 2
min max
2c
22
3/5 0,6mU U и сопротивление нагрузки
100 / 0,6 166,7RRm Ом.
В,
,
33
3. Если в конце линии наблюдается минимум напряжения, то
Z
R
RR
(0) (cos0) ( sin0) 300 UU U m U В.
min 2 2
Максимум напряжения находится на расстоянии
(λ/4) 500UUUm
откуда
Ответ: а)
max min
2
5/3mU U и сопротивление нагрузки
RRm
2
166,7R
Ом; б)
22
В,
max 2
100
5/3
60R
60
Ом.
c
2
Ом.
λ 4a
и равен
Второй вариант решения
При резистивной нагрузке линии без потерь
R
коэффициент
2 н
отражения в сечении нагрузки – вещественное число:
ZR RR
2 н
cc
ZRRR
cc
2 н
2max
2min
.
)UU коэффициент отраже-
)UU коэффициент от-
При
ния
ρ 0
ражения
ρρ
R (на конце линии
н c
, при
ρ 0
н c
.
(на конце линии
Поскольку действующие значения напряжений падающей и отраженной волн
ны, очевидно, что
U и
U для всех сечений линии без потерь неизмен-
пр
обр
UUU
max пр обр
,
UUU
min пр обр
, откуда мо-
дуль коэффициента отражения
U
ρ 0,25.
UU U
При
ρ 0, 25
сопротивление нагрузки
1 ρ
RR Ом.
н
c
1 ρ 10,25
34
UU
обр
пр max min
max min
10,25
100 166, 7
При ρ 0,25 сопротивление нагрузки
Z
Z
1 ρ
RR Ом.
н
c
1 ρ 1(0,25)
1(0,25)
100 60
Ответ: а)
166,7R
2
Ом; б)
60R
Ом.
2
Задача 6. Отрезок однородной линии без потерь с характеристиче-
ским сопротивлением 50
R
c
Ом нагружен сопротивлением
. Бли-
н
жайший к сопротивлению нагрузки минимум напряжения находится
на расстоянии
0,9l
2
м. Максимальное значение напряжения в отрезке линии 1,5 В,
минимальное – 0,9 В. Определить сопротивление нагрузки
0, 4l
1
м, ближайший максимум – на расстоянии
.
н
Решение
1.
Длина волны линии с учетом того, что соседние максимумы и
минимумы напряжения находятся на расстоянии λ/4a
λ 4( ) 2ll
м.
21
(рис. 11),
Рис. 11
35
2. Коэффициент фазы на единицу длины линии
Z
R
Z
f
f
β 2π/λπ
Коэффициент бегущей волны, оценивающий степень согласова-
3.
рад/м.
ния линии без потерь,
U
k
БВ
UUU
kU
БВ
Входное сопротивление линии в сечении с координатой
()
Zl R
вх 1
UU
min
max пр обр
U
пр обр
0,9
min
max
н c1
c
c
1, 6
jR l
jZ l
н 1
0,5625.
1 ρ
1 ρ
tg (β )
tg (β )
,
l
1
.
С другой стороны, входное сопротивление в сечении с минимальным напряжением и максимальным током
Ul U
()
lRRk
()
вх 1 БВ
1min
Il I I I
() 1 ρ
1maxпр обр
UU
пр обр
1 ρ
cc
.
Приравнивая правые части обоих равенств, находим:
ZR e
н
kjl
c
1tg(β )1tg(0,4π)
Ответ:
tg (β )
БВ 1
jk l j
БВ 1
48,323
Ze
н
0,5625 tg (0,4π)
50 48,323
7,66
j
Ом.
j
7,66
j
Ом.
Задача 7. Найти спектр частот, при которых выполняются условия
резонанса напряжений
ка коаксиального кабеля длиной 10l
0,5L мГн/км,
0
0
и токов
0n
, для короткозамкнутого отрез-
0k
м с погонными параметрами
нФ/км. Найти входное сопротивление линии
50С
на частоте 1,5 МГц.
36
Решение
Z
f
f
f
Входное сопротивление короткозамкнутого отрезка линии без
1.
потерь
() tgβ .
ljR l
кз
2.
Резонанс напряжений имеет место на частотах
мых из условия
l l LC f l LC n
βω 2π 2
() 0Zl
кз
, следовательно,
00 0 00
n
c
, определяе-
0n
π
, где
2
nN.
0
Спектр резонансных частот линии соответственно
π
2
n
0
n
3.
При резонансе токов входное сопротивление линии обращается в
бесконечность
2
2π 2
lLC lLC
00 00
кз
nn
39
2 10 0,5 10 50 10
10
()Zl , следовательно, спектр резонансных частот
в этом случае определяется условием
n
кГц.
llLC flLC k
βω 2π (2 1)
00 0 00
n
π
, где 0kN.
2
Спектр частот при резонансе токов в линии
(2 1)
fk
0
k
2π 4
Входное сопротивление линии на частоте 1, 5f
4.
π
k
lLC lLC
00 00
21 21
kk
2
39
4 10 0,5 10 50 10
5(2 1)
кГц.
МГц будет
иметь емкостный характер
L
() tgβ tg ω 24,35
Zl jR lj lLC jC Ом,
кз c00
L
где
R
c
Ответ:
37
0
βω 2πLC f LC
,
C
0
010n
00 00
n
кГц,
0
0
.
5(2 1)
fk
0
k
кГц,
() 24,35Zl j
кз
Ом.
Задача 8. Входное сопротивление кабельной линии в режиме холо-
j
j
B
Z
Z
81
стого хода
61
930
Ze
Ом. Линия работает при частоте f = 800 Гц, длина ли-
кз
460
ZeОм, в режиме короткого замыкания
хх
нии l = 59 км.
Определить постоянные A, B, C, D четырехполюсника, эквивалентного линии, и параметры его Т-образной схемы замещения. Вычислить
погонные и характеристические параметры линии.
Решение
1.
Напряжение и ток
(,)UI
11
в начале линии с потерями при отсче-
те координат от конца определяются уравнениями:
=() ch sh
UUl U lIZ l
122
IIl lI l
12
U
() sh ch .
Z
2
c
c
(33)
Уравнения четырехполюсника в А-параметрах:
UAUBI
122
ICU DI
122
(34)
.
Коэффициенты A, B, C и D по умолчанию комплексные.
Из сопоставления систем уравнений (33) и (34) коэффициенты эквивалентного линии четырехполюсника:
chAD l; sh
Входные сопротивления разомкнутой
замкнутой
(0, 0)UZ
2
2
Zl; sh .
c
ClZ (35)
c
(0, )IZ
2
и коротко-
2
линии, выраженные через характеристиче-
ские параметры
U
Zl
()
хх
1х
I
2
IUlZl
1х 2
Ul
0
ch
2
sh th
c
; (36)
c
U
38
кз
1к
lZl
() th
U
IIl
1к 2
sh
IZ l
2
0
2
c
ch
c
. (37)
Из приведенных выше соотношений следует:
γ
γ
Z2Z1Z
ZZZ j e Ом, (38)
сххкз
1072 218,105 1094
11,5
j
Найдем
sh l и ch l через th l :
th
кз хх
th
sh 1,243 ;
le
1(th)
ch 1,507
le
1
1(th)
0,371 0,714lZZ j . (39)
l
2
l
2
l
27,5
j
16,93
j
. (40)
Из (35)–(37), с учетом (38)–(40), вычислим А-параметры эквивалентного
1
четырехполюсника:
10,57
j
AD e
Be
Ce
0,825 ;
725,81
6,055 10
61,57
j
3 84,57
Ом;
j
См.
Рис. 12
Параметры Т-образной схемы замещения четырехполюсника
(рис. 12), эквивалентного рассматриваемой линии.
1
A
Ze
1
1 1,649 10
ZC e
2
399,432
C
3 84,57
o
56,79
j
Ом;
j
Ом.
Найдем характеристические параметры линии.
Для определения коэффициента распространения линии
αβj
воспользуемся выражением
39
1thγ
γ
l
1, 6 26
рад.
соответственно
2
l
2α 2β 1,328
lj l j
eee N el,
1thγ
2α
l
eN , 2β arg 1,328lN
1, 6 26
Коэффициент затухания линии
3
α ln 2 4,119 10
Nl
Нп/км;
коэффициент фазы линии
β arg( ) 2 0, 011Nl рад/км;
коэффициент распространения линии
км–1.
(4,119 11)10jj
3
Найдем первичные погонные параметры линии, учитывая, что
ZZY RjLGj
00 0 0 0 0
c
γ ( ω )( ωC) ZY R j L G j ;
00 0 0 0 0
( ω )( ωC)
,
продольное комплексное сопротивление единицы длины линии
ZZ RjL j
000
Ом/км,
c
ω 6,87 11,17
откуда погонное продольное сопротивление линии
Re( ) 6,87RZ
00
Ом/км,
погонная продольная индуктивность линии
Jm( ) ω Jm( ) 2π 1,778 10LZ Zf
00 0
3
Гн/км.
Поперечная комплексная проводимость единицы длины линии
65
γωC 1,638 10 1,083 10
YZGj j См/км,
000
c
соответственно погонная поперечная проводимость линии
6
Re( ) 1,638 10GY
00
40
См/км,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]