Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ временных рядов и прогнозирование. Учебное пособие
.pdf
(Т ⋅ Е).
Шаг 6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.
Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Е для анализа
взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.
3.1. Аддитивная модель временного ряда
Рассмотрим методику построения аддитивной модели временного ряда на примере.
Пример 3.1. Обратимся к данным об объеме потребления
электроэнергии жителями региона за последние четыре года.
Таблица 3.1. Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной
модели
Номер
кварта-
ла, t
10 5,6 31,0 7,75 7,625 –2,025
11 6,4 32,0 8,00 7,875 –1,475
12 11,0 33,0 8,25 8,125 2,875
13 9,0 33,6 8,40 8,325 0,675
14 6,6 33,4 8,35 8,375 –1,775
15 7,0 – – – –
16 10,8 – –
Потребле-
ние электро-
энергии, у
1 6,0 – – – –
2 4,4 24,4 6,10 – –
3 5,0 25,6 6,40 6,250 –1,250
4 9,0 26,0 6,50 6,450 2,550
5 7,2 27,0 6,75 6,625 0,575
6 4,8 28,0 7,00 6,875 –2,075
7 6,0 28,8 7,20 7,100 –1,100
8 10,0 29,6 7,40 7,300 2,700
9 8,0 30,0 7,50 7,450 0,550
Итого за
четыре
квартала
Скользящая
средняя за четыре квартала
Сглаженная
скользящая
средняя
Оценка се-
зонной ком-
поненты
В примере 1.2 было показано, что данный временной ряд
содержит сезонные колебания периодичностью 4. Объемы по-
– – 31
требления электроэнергии в осенне-зимний период времени (I и
IV кварталы) выше, чем весной и летом (II и III кварталы). По
графику этого ряда (см. рис.3.1) можно установить наличие
приблизительно равной амплитуды колебаний. Это свидетельствует о соответствии этого ряда аддитивной модели. Рассчитаем
ее компоненты.
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда
методом скользящей средней. Для этого:
– просуммируем уровни ряда последовательно за каждые
четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии
(гр.3 табл.3.1);
– разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие
средние (гр.4 табл.3.1). Отметим, что полученные таким образом
выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты;
приведем эти значения в соответствие с фактическими
–
моментами времени, для чего найдем средние значения из двух
последовательных скользящих средних – сглаженные скользящие средние (гр.5 табл.3.1).
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность
между фактическими уровнями ряда и сглаженными скользящими средними (гр.6 табл.3.1). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (табл.3.2).
Таблица 3.2. Расчет значений сезонной компоненты в аддитив-
ной модели
Год
Итого за квартал 1,8 –5,875 –3,825 8,125
Средняя 0,6 –1,95833 –1,275 2,708333
Скорректированная 0,58125 –1,97708 –1,29375 2,689583
1 –1,25 2,55
2 0,575 –2,075 –1,1 2,7
3 0,55 –2,025 –1,475 2,875
4 0,675 –1,775
I II III IV
Квартал
Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем го-
– – 32
дам) оценки сезонной компоненты Si. В моделях с сезонной
компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия
за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем
кварталам должна быть равна нулю. Для данной модели имеем:
0,6 – 1,958 – 1,275 + 2,708 = 0,075.
Определим корректирующий коэффициент:
k = 0,075 / 4 = 0,01875.
Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:
(3.3)
kSS
−=
ii
Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:
0,581 – 1,977 – 1,294 + 2,690 = 0.
Таким образом, получены следующие значения сезонной
компоненты:
I квартал: SI = 0,581;
II квартал: SII = –1,977;
III квартал: S
= –1,294;
III
IV квартал: SIV = 2,690.
Занесем полученные значения в табл.3.3 для соответствующих кварталов каждого года.
Шаг 3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим: T + E = y – S (табл.3.3). Эти значения рассчитываются для каждого момента времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
Шаг 4. Определим компоненту T данной модели. Для этого
проведем аналитическое выравнивание ряда (T + Е) с помощью
– – 33
линейного тренда. Результаты следующие:
Константа 5,715416667
Коэффициент регрессии 0,186421569
Стандартная ошибка коэффициента 0,01518843
R2 0,91497068835
Таблица 3.3. Расчет выровненных значений и ошибок в адди-
тивной модели
t у S T+E=y–S
1 6,0 0,58125 5,41875 5,901838 6,483088 –0,483088 0,233374
2 4,4 –1,97708 6,377083 6,08826 4,111176 0,288824 0,083419
3 5,0 –1,29375 6,29375 6,274681 4,980931 0,019069 0,000364
4 9,0 2,689583 6,310417 6,461103 9,150686 –0,150686 0,022706
5 7,2 0,58125 6,61875 6,647525 7,228775 –0,028775 0,000828
6 4,8 –1,97708 6,777083 6,833946 4,856863 –0,056863 0,003233
7 6,0 –1,29375 7,29375 7,020368 5,726618 0,273382 0,074738
8 10,0 2,689583 7,310417 7,206789 9,896373 0,103627 0,010739
9 8,0 0,58125 7,41875 7,393211 7,974461 0,025539 0,000652
10 5,6 –1,97708 7,577083 7,579632 5,602549 –0,002549 6,5E–06
11 6,4 –1,29375 7,69375 7,766054 6,472304 –0,072304 0,005228
12 11,0 2,689583 8,310417 7,952475 10,64206 0,357941 0,128122
13 9,0 0,58125 8,41875 8,138897 8,720147 0,279853 0,078318
14 6,6 –1,97708 8,577083 8,325319 6,348235 0,251765 0,063385
15 7,0 –1,29375 8,29375 8,51174 7,21799 –0,21799 0,04752
16 10,8 2,689583 8,110417 8,698162 11,38775 –0,587745 0,345444
T T+S E=y–(T+S) E2
Σ
1,0981
Таким образом, имеем линейный тренд:
T = 5,715 + 0,186 ⋅ t.
Подставив в это уравнение значения t = 1, …, 16, найдем
уровни T для каждого момента времени (5 гр. в табл.3.3). График уравнения тренда приведен на рис.3.1.
Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения T
+S представлены на рис.3.1.
– – 34
12
10
y
8
у
6
4
2
T+S
тренд
0
0 5 10 15 20
t
Рис.3.1. Потребление электроэнергии жителями региона
Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки проводится по формуле
– (T+S) (3.4)
E = Y
Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных
ошибок приведены в гр. 7 табл.3.3. Эту же ошибку можно определить как разность между значениями (T + E) и T.
По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели, а также для выбора наилучшей модели можно
использовать сумму квадратов абсолютных ошибок. Для данной
аддитивной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна
1,10. По отношению к общей сумме квадратов отклонений
уровней ряда от его среднего уровня, равной 71,59, эта величина
составляет чуть более 1,5%:
10,1
=⋅=∆
59,71
.
534,1100
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель
объясняет 98,5% общей вариации уровней временного ряда потребления электроэнергии за последние 16 кварталов.
– – 35
3.2. Мультипликативная модель временного ряда
Рассмотрим методику построения мультипликативной модели временного ряда на примере.
Пример 3.2. Пусть имеются поквартальные данные о при-
были компании за последние 4 года (табл.3.4).
Таблица 3.4. Прибыль компании, тыс. долл. США
Год
1 72 100 90 64
2 70 92 80 58
3 62 80 68 48
4 52 60 50 30
Квартал
I II III IV
График данного временного ряда (рис.3.2) свидетельствует
о наличии сезонных колебаний (период колебаний равен четырем) и общей убывающей тенденции ряда. Прибыль компании в
весенне-летний период выше, чем в осенне-зимний период. Поскольку амплитуда сезонных колебаний уменьшается можно
предположить наличие мультипликативной модели. Определим
ее компоненты.
y
t
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16
t
Рис.3.2. Прибыль компании
– – 36
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда
методом скользящей средней. Методика, применяемая на этом
шаге, полностью совпадает с методикой построения аддитивной
модели. Результаты расчетов представлены в табл.3.5.
Таблица 3.5. Расчет оценок сезонной компоненты в мультипли-
кативной модели
Номер
квар-
тала, t
Потребление
электроэнер-
гии, у
1 72 – – – –
2 100 326 81,5 – –
3 90 324 81 81,25 1,10769231
4 64 316 79 80 0,8
5 70 306 76,5 77,75 0,90032154
6 92 300 75 75,75 1,21452145
7 80 292 73 74 1,08108108
8 58 280 70 71,5 0,81118881
9 62 268 67 68,5 0,90510949
10 80 258 64,5 65,75 1,21673004
11 68 248 62 63,25 1,07509881
12 48 228 57 59,5 0,80672269
13 52 210 52,5 54,75 0,94977169
14 60 192 48 50,25 1,19402985
15 50 – – – –
16 30 – –
Итого за
четыре
квартала
Скользящая
средняя за че-
тыре квартала
Сглаженная
скользящая
средняя
Оценка се-
зонной
компонен-
ты
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное
от деления фактических уровней ряда на сглаженные скользящие средние (гр.6 табл.3.5). Используем эти оценки для расчета
сезонной компоненты S (табл.3.6). Для этого найдем средние за
каждый квартал оценки сезонной компоненты Si. Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели
выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по
всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле, т.е.
четырем, так как в нашем случае число периодов одного цикла
(год) равно четырем кварталам.
– – 37
Таблица 3.6. Расчет значений сезонной компоненты в мультип-
ликативной модели
Год
Итого за квартал
Средняя
Скорректированная
1
2
3
4
I II III IV
– – 1,107692 0,8
0,900322 1,214521 1,081081 0,811188811
0,905109 1,21673 1,075099 0,806722689
0,949772 1,19403 – –
2,755203 3,625281 3,263872 2,4179115
0,918401 1,208427 1,087957 0,8059705
0,91366 1,202189 1,082341 0,801809924
Квартал
Для данной модели имеем:
0,918 + 1,208 + 1,088 + 0,806 = 4,021.
Рассчитаем корректирующий коэффициент:
=4 / 4,021 = 0,995.
k
Определим скорректированные значения сезонной компо-
ненты, умножив ее средние оценки на корректирующий коэффициент k:
(3.5)
kSS
⋅=
ii
Проверим условие равенства четырем суммы значений се-
зонной компоненты:
0,914 + 1,202 + 1,082 + 0,802 = 4.
Получим следующие значения сезонной компоненты:
I квартал: SI = 0,914;
II квартал: SII = 1,202;
III квартал: S
IV квартал: S
= 1,082;
III
= 0,802.
IV
Занесем полученные значения в табл.3.7 для соответст-
вующих кварталов каждого года.
Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соот-
ветствующее значение сезонной компоненты. Получим: T ⋅ E
= Y
– – 38
/ S (гр.4 табл.3.7), которые содержат только тенденцию и слу-
чайную компоненту.
Таблица 3.7. Расчет выровненных значений T и ошибок E в
мультипликативной модели
t у S
1 72 0,9137 78,8039 87,7919 80,22 0,897622 –8,2112 67,44
2 100 1,2022 83,1816 85,0187 102,21 0,978392 –2,2085 4,88
3 90 1,0823 83,1531 82,2454 89,02 1,011036 0,9824 0,97
4 64 0,8018 79,8194 79,4721 63,72 1,00437 0,2784 0,08
5 70 0,9137 76,6149 76,6989 70,08 0,998905 –0,0767 0,01
6 92 1,2022 76,5271 73,9256 88,87 1,03519 3,1274 9,78
7 80 1,0823 73,9138 71,1524 77,01 1,03881 2,9889 8,93
8 58 0,8018 72,3363 68,3791 54,83 1,057872 3,1729 10,07
9 62 0,9137 67,8589 65,6059 59,94 1,034342 2,0585 4,24
10 80 1,2022 66,5453 62,8326 75,54 1,059088 4,4633 19,92
11 68 1,0823 62,8268 60,0594 65,00 1,046078 2,9953 8,97
12 48 0,8018 59,8646 57,2861 45,93 1,04501 2,0674 4,27
13 52 0,9137 56,9140 54,5129 49,81 1,044046 2,1938 4,81
14 60 1,20229 49,9090 51,7396 62,20 0,964618 –2,2008 4,84
15 50 1,0823 46,1962 48,9664 53,00 0,943426 –2,9983 8,99
16 30 0,8018 37,4154 46,1931 37,04 0,809977 –7,0381 49,53
T⋅E = Y/S
T
T⋅S E=y/(T⋅S) E’=y–(T⋅S)
E2
Шаг 4. Определим компоненту Т в мультипликативной
модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни (T ⋅ E). Результаты аналитического выравнивания этого ряда представлены ниже.
Константа 90,56515364
Коэффициент регрессии –2,773251842
Стандартная ошибка коэффициента 0,2255567479
R2 0,915239087
Уравнение тренда имеет следующий вид
T = 90,59 – 2,773 ⋅ t.
Подставив в это уравнение значения t
= 1, …, 16, найдем
уровни T для каждого момента времени (5 гр. в табл.3.7). График уравнения тренда приведен на рис.3.3.
Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной моде-
– – 39
ли, умножив уровни T на значение сезонной компоненты для
20 30 40 50 60 70 80 90
2 4 6 8 10 12 14 16
y T
T⋅S
соответствующих кварталов (см. рис.3.3).
Шаг 6. Расчет ошибки в мультипликативной модели про-
водится по формуле
E = Y : (T⋅S) (3.6)
Численные значения ошибки приведены в гр.7 табл.3.7.
Если временной ряд ошибок не содержит автокорреляции, его
можно использовать вместо исходного ряда для изучения взаимосвязи с другими рядами. Для того, чтобы сравнить мультипликативную модель с другими моделями временного ряда, можно по аналогии с аддитивной моделью использовать сумму
квадратов абсолютных ошибок.
t
y
100
10
0
0
t
Рис.3.3. Прибыль компании (фактические и выровненные значе-
ния)
Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются как
E = y
– (T⋅S) (3.7)
t
– – 40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]