Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ временных рядов и прогнозирование. Учебное пособие
.pdf
Следует отметить, что выбор значения параметра α должен
(
)
τ
+
=
зависеть от периода упреждения прогноза. Для оперативных,
конъюнктурных прогнозов в большей степени должна учитываться свежая информация, поэтому значение α следует брать
большим. При увеличении срока прогнозирования более поздняя информация, последние данные должны иметь несколько
меньший вес, конъюнктурные колебания должны быть сглажены, но прошлые уровни – учтены. Для этих целей значение α
следует уменьшить.
Таким образом, экспоненциальное сглаживание является
примером самообучающейся модели. К ее безусловным достоинствам относится чрезвычайная простота вычислений, выполняемых итеративно, причем массив прошлой информации
уменьшен до единственного значения S
t–1
.
Если для прогнозирования временного ряда, имеющего ярко выраженную линейную тенденцию, использовать подход
(8.6), опирающийся на модель экспоненциального сглаживания,
то модель, как правило, будет давать смещенные прогнозы, т. е.
систематическую ошибку. Для таких временных рядов целесообразно использовать модели линейного роста, также применяющие процедуру экспоненциального сглаживания.
В этих моделях прогноз может быть получен с помощью
следующего выражения:
(8.8)
ˆˆˆ
aaty
tt
,2,1
где
τ
ˆ
ˆ
aa
и
– текущие оценки коэффициентов; t - время упре-
tt
,2,1
ждения прогноза.
Наиболее известны три модели данного типа: двухпараметрическая Ч.Хольта, однопараметрическая Р.Брауна и трехпараметрическая Дж.Бокса и Г.Дженкинса, отличающиеся рекуррентными выражениями для пересчета текущих оценок коэффициентов.
В эконометрических пакетах чаще представлена модель
Ч.Хольта с возможностью выбора оптимальных параметров
адаптации по критерию минимума среднеквадратической ошиб-
– – 151
ки путем перебора на сетке возможных значений. Оценки коэф-
(
)
(
)
+⋅−+=
α
α
(
)
(
)
⋅−+−⋅
=
α
α
()()(
)
n
!
2
(
)
фициентов в этой модели определяются с помощью выражений:
;
ˆ
1
ˆˆˆ
ˆˆ
aaya
1,21,111,1
−−
tttt
;
1
ˆ
aaaa
1,221,1,12,2
−−
tttt
где 0 <
α
,
α
<1.
1
2
Понятие экспоненциальной средней можно обобщить в
случае экспоненциальных средних более высоких порядков.
Выравнивание p-го порядка:
p
t
p
1
−
t
p
(8.9)
SSS
+=
βα
t
1
−
является простым экспоненциальным сглаживанием, примененным к результатам сглаживания (p-
1)-го порядка.
Если предполагается, что тренд некоторого процесса может быть описан полиномом степени n, то коэффициенты предсказывающего полинома могут быть вычислены через экспоненциальные средние соответствующих порядков.
В случае, когда исследуемый процесс, состоящий из детерминированной и случайной компоненты, описывается полиномом n-го порядка, прогноз на τ шагов вперед осуществляется
по формуле:
1
++++= K
n
(8.10)
ˆ
a
τττ
n
1
+
где
1
2
( )
τ
– оценки параметров.
ˆ
ˆ
,
ˆ
,,
aaa K
121
+
n
ˆˆˆ
ˆ
aaaty
321
Фундаментальная теорема метода экспоненциального
сглаживания и прогнозирования, впервые доказанная Р.Брауном
и Р.Майером, говорит о том, что (n + 1) неизвестных коэффициентов полинома n-го порядка
ˆ
ˆ
,
могут быть оценены
ˆ
,,
aaa K
121
+
n
с помощью линейных комбинаций экспоненциальных средних
i
где i = 1 ÷ (n + 1). Следовательно, задача сводится к вычис-
S
t
лению экспоненциальных средних, порядок которых изменяется
от 1 до n
+ 1, а затем к переходу через их линейные комбинации
– к определению коэффициентов полинома. На практике обычно
– – 152
используются полиномы не выше второго порядка. В приложе-
(
)
ˆ
ˆ,,ˆ,ˆ
ˆ
нии приведены формулы, необходимые для расчета по моделям
нулевого, первого и второго порядков.
Важная составная часть современных эконометрических
пакетов прикладных программ, ориентированных на решение
задач прогнозирования, – адаптивные тренд-сезонные модели.
Очевидно, что можно составить множество адаптивных сезонных моделей, перебирая различные комбинации типов тенденций в сочетании с сезонными эффектами аддитивного и мультипликативного вида. Выбор той или иной модели будет продиктован характером динамики исследуемого процесса.
В табл.8.2 представлены две наиболее часто используемые
на практике тренд-сезонные модели: модель Хольта-Уинтерса и
модель Тейла-Вейджа. Первая из этих моделей представляет собой объединение двухпараметрической модели линейного роста
Хольта и сезонной модели Уинтерса. Прогноз по модели Холь-
τ
та-Уинтерса на
шагов вперед определяется выражением:
(8.11)
⋅+=
faaty
ττ
+−
lttt
где
ˆ
ˆ
aa
и
– текущие оценки коэффициентов в модели ли-
tt
,2,1
нейного роста;
– мультипликативный сезонный фактор; l – ко-
fff
K
1
τ
+−− lttt
ˆ
(
τ
– время упреждения прогноза;
ˆˆ
τ
)
,2,1
личество фаз в полном сезонном цикле (для ежемесячных наблюдений l = 12, для квартальных – l = 4).
В качестве коэффициента сезонности в выражении (8.11)
берется его наиболее поздняя оценка, сделанная для аналогич-
ной фазы цикла
.
f
τ
+−lt
Как видно из табл.8.2 оценки коэффициентов модифицируются по процедуре, аналогичной экспоненциальному сглажи-
α
,
ванию. Оптимальные значения для параметров адаптации
α
(0 <
α
,
α
,
α
3
1
<1) П.Уинтерс предлагал находить эксперимен-
2
3
α
1
тальным путем, перебирая возможные комбинации этих параметров на сетке значений. Критерием сравнения при этом выступает величина среднеквадратической ошибки.
– – 153
,
2
Таблица 8.2. Тренд-сезонные адаптивные модели
(
)
(
)
−+−
=
α
α
()(
)
(
)
+−+−=
α
α
(
)
(
)
−+−
=
α
α
(
)
(
)
−+−
=
α
α
(
)
(
)
ˆ
(
)
τ
++=
1
αα
2
faaty
Вид модели
ˆˆ
+−+=
aa
1,21,111,1
−−
tt
ˆ
aaaa
1,231,1,13,2
−−
tttt
ˆ
f
lt
−
ττ
+−+=ittt
Модель линейного роста с адди-
тивной сезонностью
(модель Тейла-Вейджа)
ˆˆ
1
;
ˆˆˆ
ˆˆ
1
ˆ
gayg
1
2,12
ˆˆˆˆ
gaaty
ττ
+−
,2,1
ittt
ˆˆ
aagya
1,21,111,1
−−−
ttlttt
ˆ
aaaa
1,231,1,13,2
−−
tttt
ltttt
−
Основные
формулы
Оценка
текущих
коэффициентов
ˆ
ˆ
;
Оценка
сезонности
Модель
прогноза
Модель линейного роста с
мультипликативной сезонно-
стью
(модель Хольта-Уинтерса)
y
ˆ
a
t
;
ttaa,2,1
t
( )
( )
1
ˆ
f
−
ˆ
f
t
αα
lt
ˆˆˆ
y
t
( )
−+=
2
1
ˆ
a
t
,1
ˆˆˆ
τ
,2,1
Примером другого подхода – с аддитивной сезонностью –
может служить модель сезонных явлений с линейным ростом,
предложенная Г.Тейлом и С.Вейджем. Практическая значимость
этой модели объясняется не только тем, что в экономических
временных рядах довольно часто можно встретить этот тип динамики развития. Опыт проведения экспериментальных расчетов свидетельствует о том, что динамика многих экономических
показателей может быть описана с помощью модели, сочетающей в себе экспоненциальную тенденцию с мультипликативным
сезонным эффектом. Прологарифмировав исходный временной
ряд, на практике часто преобразуют экспоненциальную тенденцию в линейную и одновременно мультипликативный сезонный
эффект в аддитивный. Таким образом, динамику преобразованного показателя можно моделировать и прогнозировать с помощью модели Г.Тейла и С.Вейджа.
Прогноз на
τ
шагов вперед по этой тренд-сезонной модели,
– – 154
сочетающей линейный рост с аддитивной сезонностью, опреде-
(
)
τ
++=
ляется выражением:
(8.12)
ˆˆˆˆ
gaaty
ττ
+−
,2,1
lttt
– – 155
Приложения
Приложение 1. Значения статистик Дарбина-Уотсона dL d
5%-ом уровне значимости.
n
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
k′′′′=1 k′′′′=2 k′′′′=3 k′′′′=4 k′′′′=5
dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU
0,61 1,4 – – – – – – – –
0,7 1,36 0,47 – – – – – – –
0,76 1,33 0,56 1,78 0,37 2,29 – – – –
0,82 1,32 0,63 1,7 0,46 2,13 – – – –
0,88 1,32 0,7 1,64 0,53 2,02 – – – –
0,93 1,32 0,66 1,6 0,6 1,93 – – – –
0,97 1,33 0,81 1,58 0,66 1,86 – – – –
1,01 1,34 0,86 1,56 0,72 1,82 – – – –
1,05 1,35 0,91 1,55 0,77 1,78 – – – –
1,08 1,36 0,95 1,54 0,82 1,75 0,69 1,97 0,56 2,21
1,10 1,37 0,98 1,54 0,86 1,73 0,74 1,93 0,62 2,15
1,13 1,38 1,02 1,54 0,90 1,71 0,78 1,90 0,67 2,10
1,16 1,39 1,05 1,53 0,93 1,69 0,82 1,87 0,71 2,06
1,18 1,40 1,08 1,53 0,97 1,68 0,86 1,85 0,75 2,02
1,20 1,41 1,10 1,54 1,00 1,68 0,90 1,83 0,79 1,99
1,22 1,42 1,13 1,54 1,03 1,67 0,93 1,81 0,83 1,96
1,24 1,43 1,15 1,54 1,05 1,66 0,96 1,80 0,86 1,94
1,26 1,44 1,17 1,54 1,08 1,66 0,99 1,79 0,90 1,92
1,27 1,45 1,19 1,55 1,10 1,66 1,01 1,78 0,93 1,90
1,29 1,45 1,21 1,55 1,12 1,66 1,04 1,77 0,95 1,89
1,30 1,46 1,22 1,55 1,14 1,65 1,06 1,76 0,98 1,88
1,32 1,47 1,24 1,56 1,16 1,65 1,08 1,76 1,01 1,86
1,33 1,48 1,26 1,56 1,18 1,65 1,10 1,75 1,03 1,85
1,34 1,48 1,27 1,56 1,20 1,65 1,12 1,74 1,05 1,84
1,35 1,49 1,28 1,57 1,21 1,65 1,14 1,74 1,07 1,83
U
при
– – 156
Библиографический список
1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика.
Основы эконометрики: Учебник.– М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.–
432 с.
2. Аксянова А.В., Валеев Н.Н., Гумеров Ас.М. Теория и
практика статистики.– М.: КолосС, 2008.– 284 с.
3. Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. Анализ временных ря-
дов и прогнозирование.– М.: Финансы и статистика, 2001.– 234
с.
4. Глущенко В.В. Прогнозирование –2-е изд., Испр. и доп.
–СПб: СПГУВК, 1999.–245 с.
5. Гранберг А.Г. Статистическое моделирование и прогно-
зирование, Учебное пoсобие, M. – 1990.– 228 с.
. Гренджер К., Хатанака М. Спектральный анализ вре-
6
менных рядов в экономике.– М.: Статистика, 1972.– 436 с.
7. Дуброва Т.А. Прогнозирование социально-
экономических процессов. Статистические методы и модели:
учеб. пособие / Т.А.Дуброва.– М.: Маркет ДС, 2007.– 192 с.
(Университетская серия).
8. Дуброва T.А., Архипова M.Ю. Статистические методы
прогнозирования в экономике, M. – 2004.– 188 с.
9. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного
прогнозирования временных рядов.– М.: Финансы и статистика,
2003.– 316 с.
10. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирова-
ния.– М.: Статистика, 1977.– 199 с.
11. Эконометрика: Учебник / И.И.Елисеева,
С.В.Курышева, Т.В.Костеева и др.;Под ред. И.И.Елисеевой.– М.:
Финансы и статистика, 2005.– 576 с.
– – 157
Содержание
Введение ............................................................................................1
В.1. Типы экономических прогнозов.............................................. 4
В.2. Основные элементы временного ряда ................................ 6
1. Автокорреляция уровней временного ряда и выявление его
структуры ..........................................................................................9
1.1. Практические примеры .......................................................16
Практический пример 1.1 ......................................................16
Практический пример 1.2 ......................................................19
2. Моделирование тенденции временного ряда...........................21
2.1. Практические примеры .......................................................27
Практический пример 2.1 ................................................
3. Моделирование сезонных и циклических колебаний......... 29
3.1. Аддитивная модель временного ряда................................ 31
3.2. Мультипликативная модель временного ряда.................. 36
3.3. Использование сезонных моделей для прогноза.............. 41
3.4. Практические примеры .......................................................43
Практический пример 3.1 ......................................................43
Практический пример 3.2 ......................................................47
4. Применение фиктивных переменных для моделирования
сезонных колебаний ....................................................................... 51
4.1. Практические примеры .......................................................55
Практический пример 4.1 ......................................................55
5. Моделирование тенденции временного ряда.......................59
при наличии структурных изменений ...................................... 59
5.1. Практические примеры .......................................................71
Практический пример 5.1 ......................................................71
Практический пример 5.2 ......................................................76
6. Динамические эконометрические модели................................ 80
6.1. Общая характеристика моделей с распределенным лагом
и моделей авторегрессии ....................................................
6.2. Интерпретация параметров моделей ................................. 83
с распределенным лагом и моделей авторегрессии ................ 83
...... 27
....... 80
– – 158
6.3. Изучение структуры лага и выбор вида модели с
распределенным лагом............................................................... 88
6.3.1. Лаги Алмон ................................................................... 90
6.3.2. Метод Койка.................................................................. 99
7. Изучение взаимосвязей временных рядов ............................. 104
7.1. Методы исключения тенденции........................................... 106
7.1.1. Метод отклонений от тренда..................................... 107
7.1.2. Метод последовательных разностей......................... 111
7.2. Методы исключения фактора времени............................ 114
7.2.1.Представление исходного ряда в виде тренда.......... 114
7.2.2. Включение в модель регрессии фактора времени... 118
7.3. Автокорреляция в остатках. .............................................120
Критерий Дарбина-Уотсона.....................................................120
7.3.1. Определение критерия Дарбина-Уотсона ................120
.3.2. Оценивание параметров уравнения регрессии ........127
7
при наличии автокорреляции в остатках............................ 127
7.4. Коинтеграция временных рядов....................................... 134
7.5. Модель распределенных лагов......................................... 139
8. Адаптивные методы прогнозирования................................... 142
8.1. Применение адаптивных методов.................................... 142
при краткосрочном прогнозировании .................................... 142
Приложения................................................................................... 156
Библиографический список ......................................................... 157
– – 159
Ответственный за выпуск Е.А.Харитонов.
Лицензия № 020404 от 6.03.97 г.
Подписано в печать Формат 60∗8
Бумага писчая. Печать офсетная 10 усл. печ. л.
9,5 уч.-изд. л. Тираж 200 экз. Заказ «С»
Издательство Казанского государственного технологического
университета
Офсетная лаборатория Казанского государственного
технологического университета
420015, Казань, К.Маркса, 68.
4 1/16
– – 160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]