Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ временных рядов и прогнозирование. Учебное пособие
.pdf
2. Моделирование тенденции временного ряда
Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от
времени, или тренд. Этот способ называют аналитическим вы-
равниванием временного ряда.
Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Чаще всего применяются следующие функции:
– линейный тренд;
– гипербола;
– экспоненциальный тренд;
тренд в форме степенной функции;
–
– парабола второго и более высоких порядков.
Параметры каждого тренда можно определить обычным
МНК, используя в качестве независимой переменной время, а в
качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда. Для нелинейных трендов предварительно проводят
стандартную процедуру их линеаризации.
Известно несколько способов определения типа тенденции; к наиболее распространенным относятся качественный
анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ
графика зависимости уровня ряда от времени, расчет некоторых
основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип
тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов
автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и
преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни yt и y
тесно корре-
t–1
лируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого
порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если
временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в
форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого
порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше,
– – 21
чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням
R
ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом
временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.
Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит
нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора
основных форм тренда, расчету по каждому уравнению скор-
ректированного коэффициента детерминации
2
и выбора
уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации. Реализация этого метода относительно проста при компьютерной обработке данных.
Пример 2.1. Имеются помесячные данные о темпах роста
номинальной заработной платы в РФ за 10 месяцев 1999 г. к декабрю 1998 г. (табл.2.1). Требуется выбрать наилучший тип
тренда и определить его параметры.
Таблица 2.1. Темпы роста номинальной заработной платы в РФ
за 10 месяцев 1999 г., % к декабрю 1998 г.
Месяц Темпы роста номинальной месячной заработной платы
Январь 82,9
Февраль 87,3
Март 99,4
Апрель 104,8
Май 107,2
Июнь 121,6
Июль 118,6
Август 114,1
Сентябрь
Октябрь 127,3
123,0
График данного временного ряда представлен на рис.2.1.
Из рис.2.1 видно наличие возрастающей тенденции, возможно существование линейного тренда.
– – 22
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
130
120
110
100
90
t
t
80
0
Рис.2.1. Динамика темпов роста номинальной заработной платы
в РФ за 10 месяцев 1999 г.
Для дальнейшего анализа определим коэффициенты автокорреляции по уровням этого ряда и их логарифмам (табл.2.2).
Таблица 2.2. Автокорреляционная функция временного ряда
Лаг
1 0,901 0,914
2 0,805 0,832
3 0,885 0,896
по уровням ряда по логарифмам уровней ряда
Автокорреляционная функция
Высокие значения коэффициентов автокорреляции первого, второго и третьего порядков свидетельствуют о том, что ряд
содержит тенденцию. Приблизительно равные значения коэффициентов автокорреляции по уровням ряда и по логарифмам
уровней позволяют сделать следующий вывод: если ряд содержит нелинейную тенденцию, то она выражена в неявной форме.
Поэтому для моделирования его тенденции в равной мере целе-
– – 23
сообразно использовать и линейную, и нелинейную функцию,
например, степенной или экспоненциальный ряд.
Для выявления наилучшего уравнения тренда определим
параметры основных видов трендов. Результаты этих расчетов
представлены в табл.2.3, согласно данным которой, наилучшей
является степенная форма тренда, для которой значение скорректированного коэффициента детерминации наиболее высокое.
Это уравнение выглядит следующим образом:
1935,0
ˆ
t
344,80
⋅=
ty
Таблица 2.3. Уравнения трендов для временного ряда
Тип тренда Уравнение R
Линейный
Парабола
Степенной
Экспоненциальный
Гиперболический yt = 4,43 – 47,63/t 0,758
Логарифмический
yt = 82,66 + 4,72 ⋅ t
yt = 72,9 + 9,6 ⋅ t – 0,444 ⋅ t
yt = 80,344 ⋅ x
yt = 83,956 ⋅ e
yt = 78,575 + 19,891 ⋅ ln(x)
0,1935
0,0451x
2
2
0,887
0,937
0,939
0,872
0,924
Наиболее простую экономическую интерпретацию имеют
параметры линейного и экспоненциального трендов.
Параметры линейного тренда можно интерпретировать
так: a – начальный уровень временного ряда в момент времени t
= 0; b – средний за период абсолютный прирост уровней ряда.
Применительно к данному временному ряду можно сказать, что
темпы роста номинальной месячной заработной платы за 10 месяцев изменялись от уровня 82,66% со средним за месяц абсолютным приростом, равным 4,72%.
Расчетные значения уровней временного ряда по линейному тренду определяются двумя способами. Во-первых, можно
последовательно подставлять в найденное уравнение тренда
значения t
= 1, 2, …, т.е.
лин
ˆ
1
лин
ˆ
2
;
38,87172,466,82
=⋅+=y
и т.д.
10,92272,466,82
=⋅+=y
– – 24
Во-вторых, в соответствии с интерпретацией параметров
линейного тренда каждый последующий уровень ряда – это
сумма предыдущего уровня и среднего цепного абсолютного
прироста, т.е.
лин
2
лин
3
лин
ˆˆ
1
лин
ˆˆ
2
=+=+= byy
=+=+= byy
81,9672,410,92
.
10,9272,438,87
и т.д.
График линейного тренда приведен на рис.2.1.
Параметры экспоненциального тренда имеют следующую
интерпретацию. Параметр a – это начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0. Величина eb – это средний за
единицу времени коэффициент роста уровней ряда.
Для нашего примера уравнение экспоненциального тренда
имеет вид:
ˆ
t
451,0
ey 046,196,8396,83
⋅=⋅=
tt
Таким образом, начальный уровень ряда в соответствии с
уравнением экспоненциального тренда составляет 83,96% (сравните с начальным уровнем 82,66% в линейном тренде), а средний цепной коэффициент роста – 1,046. Следовательно, можно
сказать, что темпы роста номинальной месячной заработной изменялись от уровня 83,96% со средним за месяц цепным темпом
роста, равным104,6%. Иными словами, средний за месяц цепной
темп прироста временного ряда составил 4,6%.
По аналогии с линейной моделью расчетные значения
уровней ряда по экспоненциальному тренду можно получить
как путем подстановки в уравнение тренда значений t = 1, 2, …,
n, так и в соответствии с интерпретацией параметров экспоненциального тренда: каждый последующий его уровень – это произведение предыдущего уровня на соответствующий коэффициент роста:
ˆˆ
эксп
1
эксп
ˆˆ
0
=⋅=⋅= yy
=⋅=⋅= yy
87,91046,182,87046,1
.
82,87046,196,83046,1
и т.д.
эксп
1
эксп
2
При наличии неявной нелинейной тенденции следует до-
– – 25
полнять описанные выше методы выбора наилучшего уравнения
t*
тренда качественным анализом динамики изучаемого показателя, с тем чтобы избежать ошибок спецификации при выборе вида тренда. Качественный анализ предполагает изучение проблемы возможного наличия в исследуемом временном ряде поворотных точек и изменения темпов прироста, или ускорения темпов прироста, начиная с определенного момента (периода) времени под влиянием ряда факторов и т.д. В случае, если уравнение тренда выбрано неверно при больших значениях t, результаты анализа и прогнозирования динамики временного ряда с использованием выбранного уравнения будут недостоверными
вследствие ошибки спецификации.
Если наилучшей формой тренда является парабола второго
порядка, в то время как на самом деле имеет место линейная
тенденция, то при больших значениях t парабола и линейная
функция будут по разному описывать тенденцию в уровнях ряда. При t
> t* парабола второго порядка характеризует убываю-
щую тенденцию в уровнях ряда yt, а линейная функция – возрастающую (рис.2.2).
y
t
t
Рис.2.2. Ошибка специализации при выборе уравнения тренда
– – 26
2.1. Практические примеры
Практический пример 2.1
Рассмотрим на примере официальных данных статистики
РФ выбор вида тенденции временного ряда для изменения численности экономически активного населения РТ.
Получены исходные данные:
Год № п/п y
1995 1 1829
1996 2 1807
1997 3 1739
1998 4 1748
1999 5 1813
2000 6 1845
2001 7 1823
2002 8 1877
2003 9 1887
2004 10 1871
Наличие тенденции временного ряда можно определить
при помощи коэффициентов автокорреляции. Для того чтобы
выявить характер тенденции необходимо знать коэффициенты
автокорреляции первого, второго и третьего порядков исходного
ряда и его логарифмов.
Вычисляем коэффициенты автокорреляции по формулам
типа (1.2) и результаты представим в виде следующей таблицы:
Лаг
по уровням ряда по логарифмам уровней ряда
1 0,677317919 0,673251321
2 0,211664214 0,199650223
3 0,087722022 0,076904039
Автокорреляционная функция
По результатам данной таблицы делаем следующий вывод:
ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, следовательно, ряд не содержит тенденции и циклических
колебаний и имеет структуру, сходную со структурой случайного ряда, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию,
– – 27
для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Приблизительно равные значения коэффициентов автокорреляции по уровням ряда и по логарифмам уровней показывают
что, если ряд содержит нелинейную тенденцию, то она выражена в неявной форме. Поэтому для моделирования его тенденции
в равной мере целесообразно использовать и линейную, и нелинейную функцию.
Коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во
временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты
Т и циклической (сезонной) компоненты S.
Так как ряд содержит нелинейную тенденцию, выбор наилучшего уравнения осуществляем путем перебора основных
форм тренда, при этом рассчитывая по каждому уравнению
скорректированный коэффициент детерминации. Выбор уравнения тренда осуществляем по максимальному значению скорректированного коэффициента детерминации.
Определим параметры основных видов трендов и занесем
их в таблицу:
Тип тренда Уравнение R
Линейный
Парабола
Степенной
Экспоненциальный
Гиперболический
Логарифмический
y = 1761,1 + 11,424 ⋅ x
y = 1813,3 – 14,701 ⋅ x + 2,375 ⋅ x
y = 1772,4 ⋅ x
y = 1761,6 ⋅ e
y = 1/(0,00057 – 0,000034 ⋅ x)
y = 1772,1 + 34,289 ⋅ ln x
0,0187
0,0063x
2
2
0,4709
0,6012
0,2435
0,4638
0,4566
0,2487
Согласно данным этой таблицы наилучшей является параболическая форма тренда, для которой значение скорректированного коэффициента детерминации наиболее высокое (R²=
0,6012). Это уравнение выглядит следующим образом:
2
y = 1813,3 – 14,701 ⋅ x + 2,375 ⋅ x
По данному уравнению рассчитываем расчетные значения
y.
– – 28
год № у yr по параболе
1995 1 1829 1800,974
1996 2 1807 1793,398
1997 3 1739 1790,572
1998 4 1748 1792,496
1999 5 1813 1799,17
2000 6 1845 1810,594
2001 7 1823 1826,768
2002 8 1877 1847,692
2003 9 1887 1873,366
2004 10 1871 1903,79
Строим график по исходным и расчетным значениям:
у
1950
1900
1850
1800
1750
1700
1650
1600
1995 1997 1999 2001 2003
год
Таким образом, для математического представления изменения численности экономически активного населения РТ во
времени лучшим уравнением регрессии выбран полином второго порядка.
3. Моделирование сезонных и циклических колебаний
Известно несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания (моделирование циклических колебаний в целом осуществляется аналогично моделированию сезонных колебаний, поэтому мы рассмотрим только методы моделирования последних).
Простейший подход – расчет значений сезонной компо-
– – 29
ненты методом скользящей средней и построение аддитивной
или мультипликативной модели временного ряда.
Общий вид аддитивной модели следующий:
Y = T + S + E. (3.1)
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного
ряда может быть представлен как сумма трендовой Т, сезонной
S и случайной Е компонент. Общий вид мультипликативной модели выглядит так:
Y = T ⋅ S ⋅ E (3.2)
Данная модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой
Т, сезонной S и случайной Е компонент. Выбор одной из двух
моделей проводится на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна,
строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения
сезонной компоненты предполагаются постоянными для
различныx циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.
Построение аддитивной и мультипликативной моделей
сводится к расчету значений Т, S и Е для каждого уровня ряда.
Процесс построения модели включает в себя следующие
шаги.
Шаг 1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей
средней.
Шаг 2. Расчет значений сезонной компоненты S.
Шаг 3. Устранение сезонной компоненты из исходных
уровней ряда и получение выровненных данных (Т + Е) в аддитивной или (Т ⋅ Е) в мультипликативной модели.
Шаг 4. Аналитическое выравнивание уровней (Т + Е) или
(Т ⋅ Е) и расчет значений Т с использованием полученного урав-
нения тренда.
Шаг 5. Расчет полученных по модели значений (Т + S) или
– – 30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]