Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ временных рядов и прогнозирование. Учебное пособие
.pdf
В данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок составляет 207,73. Общая сумма квадратов отклонений фактических уровней этого ряда от среднего значения равна 5023. Таким
образом, доля объясненной дисперсии уровней ряда равна:
73,207
1 =⋅
−
5023
или 95,9%.
959,0100
3.3. Использование сезонных моделей для прогноза
Выявление и устранение сезонного эффекта (или «десезонализация уровней ряда) используются в двух направлениях.
Во-первых, воздействие сезонных колебаний следует устранять
на этапе предварительной обработки исходных данных при изучении взаимосвязи нескольких временных рядов. Поэтому в
российских и международных статистических сборниках часто
публикуются данные, в которых устранено влияние сезонной
компоненты (если это помесячная или поквартальная статистика), например показатели объемов производства в отдельных
отраслях промышленности, уровня безработицы и т.д. Вовторых, выявление сезонного эффекта производится в анализе
структуры одномерных временных рядов с целью прогнозирования уровня ряда в будущие моменты времени.
Пример 3.3. Предположим, требуется дать прогноз по-
требления электроэнергии жителями региона в течение первого
полугодия ближайшего следующего года, используя данные
примера 3.1.
Прогнозное значение F
уровня временного ряда в адди-
t
тивной модели в соответствии с соотношением (3.1) – это сумма
трендовой и сезонной компонент.
Объем электроэнергии, потребленной в течение первого
полугодия ближайшего следующего, т.е. 5-го года, рассчитывается как сумма объемов потребление электроэнергии в I и во II
кварталах 5-го года, соответственно F
и F18 . Для определения
17
трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда
T = 5,715 + 0,186 ⋅ t.
– – 41
Получим:
T17 = 5,715 + 0,186 ⋅ 17 = 8,885;
T18 = 5,715 + 0,186 ⋅ 18 = 9,071.
Значения сезонной компоненты равны: SI = 0,581 (I квартал); SII = –1,977 (II квартал).
Таким образом,
F17 = T17 + SI = 8,885 + 0,581 = 9,466;
F18 = T18 + SII = 9,071 – 1,977 = 7,094.
Прогноз объема потребления электроэнергии на первое
полугодие ближайшего следующего года составит:
9,466 + 7,094 = 16,560 кВт⋅ч.
Пример 3.4. Предположим, необходимо сделать прогноз
ожидаемой прибыли по данным примера 3.2 компании за первое
полугодие ближайшего следующего года.
Прогнозное значение F
уровня временного ряда в мульти-
t
пликативной модели в соответствии с соотношением (3.2) – это
произведение трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты за каждый квартал воспользуемся
уравнением тренда
T = 90,57 – 2,273 ⋅ t.
Получим:
T17 = 90,57 – 2,273 ⋅ 17 = 43,420;
T18 = 90,57 – 2,273 ⋅ 18 = 40,647.
Значения сезонной компоненты равны: SI = 0,914 (I квартал); SII = 1,202 (II квартал).
Таким образом,
F
= T17 ⋅ SI = 43,420 ⋅ 0,914 = 39,671;
17
F18 = T18 ⋅ SII = 40,647 ⋅ 1,202 = 48,865.
– – 42
Прогноз ожидаемой прибыли компании на первое полугодие ближайшего следующего года составит:
(39,671 + 48,865) = 88,536 кВт⋅ч.
3.4. Практические примеры
Практический пример 3.1
Обратимся к данным об объеме продаж мороженого одной
из фирм г. Нижнего Новгорода за последние четыре года:
Номер квартала, t Объем сбыта мороженого, у, тыс. руб
1 5763,65
2 15397,189
3 17759,93
4 8626,59
5 6340,02
6 16936,9064
7 19535,92
8 9489,25
9 7430,85
10 17830,568
11 20455,67
12 9550,23
13 8457,67
14 18534,456
15 20550,67
16 10345,23
Данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4. Объемы сбыта мороженого в осенне-зимний
период времени (I и IV кварталы) меньше, чем весной и летом
(II и III кварталы). По графику этого ряда можно установить наличие приблизительно равной амплитуды колебаний. Это свидетельствует о соответствии этого ряда аддитивной модели. Рассчитаем ее компоненты.
. Проведем выравнивание исходных уровней ряда мето-
1
дом скользящей средней. Для этого:
–
просуммируем уровни ряда последовательно за каждые
четыре квартала со сдвигом на один момент времени и опреде-
– – 43
лим условные годовые объемы сбыта мороженого;
– разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие
средние. Отметим, что полученные таким образом выровненные
значения уже не содержат сезонной компоненты;
– приведем эти значения в соответствие с фактическими
моментами времени, для чего найдем средние значения из двух
последовательных скользящих средних – сглаженные скользящие средние.
t у
1 5763,65 – – –
2 15397,189 11886,84 – –
3 17759,93 12030,93 11958,886 5801,044
4 8626,59 12415,86 12223,397 -3596,81
5 6340,02 12859,86 12637,86 -6297,84
6 16936,9064
7 19535,92 13348,23 13211,878 6324,042
8 9489,25 13571,65 13459,939 -3970,69
9 7430,85 13801,58 13686,616 -6255,77
10 17830,568 13816,83 13809,207 4021,361
11 20455,67 14073,53 13945,182 6510,488
12 9550,23 14249,51 14161,521 -4611,29
13 8457,67 14273,26 14261,382 -5803,71
14 18534,456 14472,01 14372,632 4161,825
15 20550,67 – – –
16 10345,23 – – –
Скользящая средняя
за четыре квартала
13075,52 12967,692 3969,215
Сглаженная сколь-
зящая средняя
Оценка сезонной
компоненты
1. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и сглаженными скользящими
средними (гр.6 таблицы). Используем эти оценки для расчета
значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за
каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты.
Все промежуточные расчеты в следующей таблице.
В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В
аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений
сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна ну-
– – 44
лю. Для этого применяется корректирующий коэффициент.
−
=
Год
Итого –18357,32 12152,40 18635,57 –12178,79
Средняя –6119,11 4050,80 6211,86 –4059,60 83,9567
Скорректированная –6140,095 4029,8109 6190,8689 –4080,5848
1 0 0 5801,044 –3596,81
2 –6297,84 3969,2148 6324,042 –3970,69
3 –6255,77 4021,361 6510,488 –4611,29
4 –5803,71 4161,82 0 0
I II III IV
Квартал
Для данной модели имеем:
–6119,1 + 405,8 + 6211,86 – 4059,6 = 83,9567
Определим корректирующий коэффициент:
k = 83,9567 / 4 = 20,9.
Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:
kSS
.
ii
Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:
–6140,095 + 4029,8109 + 6190,8689 – 4080,5848 = 0.
Таким образом, получены следующие значения сезонной
компоненты:
I квартал: SI = –6140,095;
II квартал: SII = 4029,8109;
III квартал: S
= 6190,8689;
III
IV квартал: SIV = –4080,5848.
3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая
ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим: T + E = y – S. Эти значения рассчитываются для каждого
момента времени и содержат только тенденцию и случайную
компоненту. Все промежуточные расчеты в следующей таблице.
4
. Определим компоненту T данной модели. Для этого
проведем аналитическое выравнивание ряда (T + Е) с помощью
– – 45
линейного тренда. Результаты следующие:
Константа 11534,66
Коэффициент регрессии 209,193
Таким образом, имеем линейный тренд:
T = 11534,66 + 209,193 ⋅ t.
Подставив в это уравнение значения t = 1, …, 16, найдем
уровни T для каждого момента времени (5 гр. в таблице).
t у S T+E=y–S
1 5763,65 -6140,09504 11903,745 11743,86 5603,7608 11903,745
2 15397,189 4029,810923 11367,378 11953,05 15982,859 343009,69
3 17759,93 6190,868873 11569,061 12162,24 18353,11 351862,27
4 8626,59 -4080,58475 12707,175 12371,43 8290,8487 112722,2
5 6340,02 -6140,09504 12480,115 12580,63 6440,531 10102,458
6 16936,9064 4029,810923 12907,095 12789,82 16819,63 13753,87
7 19535,92 6190,868873 13345,051 12999,01 19189,88 119743,68
8 9489,25 -4080,58475 13569,835 13208,2 9127,6189 130777,03
9 7430,85 -6140,09504 13570,945 13417,4 7277,3012 23577,236
10 17830,568 4029,810923 13800,757 13626,59 17656,4 30334,592
11 20455,67 6190,868873 14264,801 13835,78 20026,65 184057,97
12 9550,23 -4080,58475 13630,815 14044,97 9964,3891 171527,8
13 8457,67 -6140,09504 14597,765 14254,17 8114,0714 118059,99
14 18534,456 4029,810923 14504,645 14463,36 18493,17 1704,5401
15 20550,67 6190,868873 14359,801 14672,55 20863,42 97812,829
16 10345,23 -4080,58475 14425,815 14881,74 10801,159 207871,58
T T+S E2=(y–(T+S))
5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной
компоненты для соответствующих кварталов. Графически уравнения тренда и значения T + S представлены на следующем рисунке.
6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки проводится по формуле
2
E = Y – (T + S).
Это абсолютная ошибка. Эту же ошибку можно опреде-
лить как разность между значениями (T
+ E) и T.
– – 46
250 00
200 00
y
150 00
100 00
500 0
0
1 3 5 7 9 11 1 3 15 17 19
T+ S
Y
T
t
Сумма квадратов ошибок по данным таблицы =
4279865,71; общая сумма квадратов отклонений = 450388738,8.
1
(14279865,71)/(450388738,8) ⋅ 100= 3,17.
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель
объясняет 96,83% общей вариации уровней временного ряда
объема сбыта мороженого за последние 16 кварталов, а 3,17%
случайные компоненты.
7. Сделаем прогноз продажи мороженого (тыс. руб.) на
следующий год:
Квартал S T T + S
17 –6140,0950 15090,94 8950,84
18 4029,8109 15300,13 19329,94
19 6190,8689 15509,32 21700,19
20 –4080,5848 15718,51 11637,93
Практический пример 3.2
Решим задачу о продаже мороженого с помощью мультипликативной модели. В этом случае сезонная компонента определяется как отношение исходных данных к сглаженной скользящей средней.
– – 47
Номер
кварта-
ла, t
1 5763,65 – – –
2 15397,189 11886,84 – –
3 17759,93 12030,93 11958,886 1,485082306
4 8626,59 12415,86 12223,397 0,705744079
5 6340,02 12859,86 12637,86 0,501668781
6 16936,9064
7 19535,92 13348,23 13211,878 1,478663383
8 9489,25 13571,65 13459,939 0,704999465
9 7430,85 13801,58 13686,616 0,542928225
10 17830,568 13816,83 13809,207 1,291208684
11 20455,67 14073,53 13945,182 1,466862892
12 9550,23 14249,51 14161,521 0,674378856
13 8457,67 14273,26 14261,382 0,593047034
14 18534,456 14472,01 14372,632 1,289565936
15 20550,67 – – –
16 10345,23 – – –
Прибыль, y
Скользящая
средняя за че-
тыре квартала
13075,52 12967,692 1,306084916
Сглаженная
скользящая сред-
няя
Оценка сезонной компонен-
ты
В таблице приведены и промежуточные расчеты сезонной
компоненты, которая в данном случае определяется как отношение исходного значения к сглаженной скользящей средней,
т.е. T⋅E = Y / S. Скользящие и сглаженные средние вычисляются,
как и в предыдущем примере по 4-м кварталам.
Для расчета значений сезонной компоненты S найдем
средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной
компоненты. Все промежуточные расчеты в следующей таблице.
Год
Итого за квартал
Средняя
Скорректированная
1
2
3
4
I II III IV
– – 1,485082306 0,705744079
0,501668781 1,306084916 1,478663383 0,704999465
0,542928225 1,291208684 1,466862892 0,674378856
0,593047034
1,637644041 3,886859537 4,430608581 2,0851224
0,545881347 1,295619846 1,476869527 0,6950408
0,544057188 1,291290304 1,471934308 0,692718199
1,289565936
Квартал
– –
– – 48
В моделях с сезонной компонентой обычно предполагает-
⋅
=
ся, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В
мультипликативной модели это выражается в том, что сумма
значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть
равна числу периодов, в данном случае – 4. Для этого применяется корректирующий коэффициент.
Для данной модели имеем: 0,5459 + 1,2956 + 1,4769 +
0,6950 = 4,0134
Определим корректирующий коэффициент: k = 4 / 4,0134 =
0,9966.
Рассчитаем скорректированные значения сезонной компо-
ненты как произведение средней оценки и корректирующего коэффициента k:
kSS
ii
Проверим условие равенства 4 суммы значений сезонной
компоненты:
0,5441 + 1,2913 + 1,4719 + 0,6927 = 4.
Таким образом, получены следующие значения сезонной
компоненты:
I квартал: SI = 0,5441;
II квартал: SII = 1,2913;
III квартал: S
= 1,4719;
III
IV квартал: SIV = 0,6927.
Элиминируем влияние сезонной компоненты, находя от-
ношение уровня исходного временного ряда к ней. Получим: T ⋅
E = y / S. Эти значения рассчитываются для каждого момента
времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту. Все промежуточные расчеты в следующей таблице.
Определим компоненту T данной модели. Для этого про-
ведем аналитическое выравнивание ряда (T ⋅ Е) с помощью линейного тренда. Результаты следующие:
Константа 11232,647
Коэффициент регрессии 242,646
Таким образом, имеем линейный тренд:
T
= 11232,647 + 242,646 ⋅ t.
– – 49
t у S
T⋅E=y/S
T
T⋅S
E2=(y–(T+S))
2
1 5763,65 0,5441 10593,83 11475,29 6243,22 229983,0062
2 15397,189 1,2913 11923,88 11717,94 15131,26 70717,9096
3 17759,93 1,4719 12065,71 11960,58 17605,20 23942,9060
4 8626,59 0,6927 12453,25 12203,23 8453,40 29994,7487
5 6340,02 0,5441 11653,22 12445,88 6771,27 185975,5217
6 16936,9064 1,2913 13116,27 12688,52 16384,57 305079,1575
7 19535,92 1,4719 13272,28 12931,17 19033,83 252093,0050
8 9489,25 0,6927 13698,57 13173,82 9125,74 132138,4452
9 7430,85 0,5441 13658,21 13416,46 7299,32 17299,5749
10 17830,568 1,2913 13808,33 13659,11 17637,87 37131,4526
11 20455,67 1,4719 13897,14 13901,75 20462,47
46,2083
12 9550,23 0,6927 13786,60 14144,40 9798,08 61431,0491
13 8457,67 0,5441 15545,55 14387,05 7827,38 397271,1438
14 18534,456 1,2913 14353,44 14629,69 18891,18 127251,1898
15 20550,67 1,4719 13961,68 14872,34 21891,10 1796763,2554
16 10345,23 0,6927 14934,25 15114,98 10470,42 15673,6071
Расчетные значения получаются с учетом сезонной компоненты, а именно как произведения линейного тренда на сезонную компоненту. Результаты расчетов представлены на следующем рисунке:
y
25000
20000
15000
10000
5000
0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Y
T
T*S
t
Расчет ошибки мультипликативной модели выполняется
аналогично аддитивной модели. Сумма квадратов ошибок по
данным таблицы = 3682792,2; общая сумма квадратов отклоне-
– – 50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]