Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Анализ временных рядов и прогнозирование. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

9663

24072

6784

105

2878

23967

()()(

)

−+=+−⋅+−+⋅+=−=∆

εεε

−p

=⋅+⋅+=

=⋅+−=−

;

2522,1431318,2491080,374458,21308 =−+=−

;

2878,23967119178,17211109,1160457,1767

;

6784,1052522,143738,010*322,5

5. Точечный прогноз фактического значения:

д.е.

7.1.2. Метод последовательных разностей

В ряде случаев вместо аналитического выравнивания временного ряда с целью устранения тенденции можно применить более простой метод – метод последовательных разностей.

Если временной ряд содержит ярко выраженную линейную тенденцию, ее можно устранить путем замены исходных уровней ряда цепными абсолютными приростами (первыми разностями). Пусть:

(7.3)

(7.4)

tbay

⋅+=

где

– случайная ошибка;

Тогда

btbatbayy

−−−

ttttttt

(7.5)

111

Коэффициент b – константа, которая не зависит от времени. При наличии сильной линейной тенденции остатки

доста-

точно малы и в соответствии с предпосылками МНК носят случайный характер. Поэтому первые разности уровней ряда ∆

не

зависят от переменной времени, их можно использовать для дальнейшего анализа.

Если временной ряд содержит тенденцию в форме параболы второго порядка, то для ее устранения можно заменить исходные уровня ряда на вторые разности.

Пусть имеет место соотношение (7.4), однако

. (7.6)

tbtbay

⋅+⋅+=

– – 111

Тогда

()(

)

(

)

(

)

−−+⋅⋅+−=∆−∆=∆

211

( )

tbbb

−+⋅⋅+−=

εε

1221

−

Как показывает это соотношение, первые разности ∆

+−⋅+−⋅+−+⋅+⋅+=−=∆

tbtbatbtbayy

εε

−−

ttttt

(7.7)

не-

посредственно зависят от фактора времени t и, следовательно, содержат тенденцию.

Определим вторые разности:

tbbb

( ) ( )( ) ( )

12211

−−

ttttt

2212

btbbb

+⋅−+⋅=−+−⋅⋅+−−

(7.8)

εεεεε

21221221

−−−−

ttttt

Очевидно, что вторые разности ∆

2 не содержат тенденции,

поэтому при наличии в исходных уровнях тренда в форме параболы второго порядка их можно использовать для дальнейшего анализа. Если тенденции временного ряда соответствует экспоненциальный или степенной тренд, метод последовательных разностей следует применять не к исходным уровням ряда, а к их логарифмам.

Пример 7.2. Изучение зависимости расходов на конечное потребление от совокупного дохода с помощью метода последовательных разностей.

Обратимся вновь к данным о расходах на конечное потребление y

и совокупном доходе xt (табл.7.1).Проанализируем

зависимость между этими рядами, используя вторые разности, такой выбор объясняется наличием в исходных уровнях тренда в форме параболы второго порядка (табл.7.4).

Проверка временных рядов вторых разностей на автокорреляцию дает следующие результаты: r

= –0,333; r

∆ty

= –0,006.

∆tx

Поскольку полученные ряды не содержат автокорреляции, мы можем использовать их вместо исходных данных для измерения зависимости между расходами на конечное потребление и совокупным доходом. Коэффициент корреляции рядов вторых разностей составляет r

= 0,827. В данном случае можно под-

∆ty∆tx

твердить вывод о наличии тесной прямой связи между расходами на конечное потребление и совокупным доходом, приведен-

– – 112

ный в примере 7.1.

Таблица 7.4. Вторые разности временных рядов

t yt хt

1 1746,66 1776,02 – – 2 2853,53 2908,00 – – 3 3870,68 3983,76 –89,72 –56,23 4 5214,38 5324,52 326,56 265,01 5 6710,06 6829,30 151,97 164,02 6 8644,39 8885,61 438,65 551,53 7 10780,18 10976,29 201,46 34,37 8 13614,23 13818,98 698,26 752,00 9 16706,07 17289,94 257,79 628,28

10 20489,59 21308,58 691,68 547,68

∆′′ty ∆′′tx

Построение уравнения регрессии зависимости расходов на конечное потребление от совокупных доходов по вторым разностям привело к следующим результатам:

Показатель Значение

1 2

∆ty∆tx

65,5594

0,7456 0,6835 0,8267

Уравнение регрессии приняло вид:

∆⋅+=∆ 746,05594,65)(

В отличие от уравнения регрессии по отклонениям от тренда, параметрам данного уравнения легко дать интерпретацию. При изменении прироста дохода на 1 д.е. прирост потребления изменится в среднем на 0,746 д.е. в том же направлении.

При всей своей простоте метод последовательных разностей имеет два существенных недостатка. Во-первых, его применение сильно связано с сокращением числа пар наблюдений, по которым строится уравнение регрессии, а, следовательно, с потерей числа степеней свободы. Во-вторых, использование

– – 113

вместо исходных уровней временных рядов их приростов, или ускорений, приводит к потере информации, содержащейся в исходных данных. Следовательно, данное расчетное уравнение не позволяет нам сделать прогноз на дальнейшие периоды.

7.2. Методы исключения фактора времени

7.2.1.Представление исходного ряда в виде тренда

Рассмотрим два временных ряда y(t), x(t) и будем изучать зависимость между ними. Особенность этой задачи состоит в том, что обе переменные являются случайными функциями времени t. Как функции от t они могут изменяться в очень согласованной форме. Поэтому их совместное рассмотрение и попытка построить зависимость вида

= b0 + b1 x(t) + ε(t) (7.9)

y(t)

могут привести к неверным результатам и выводам.

Отсюда следует, что зависимость (7.9) или ее аналоги напрямую применять нельзя. Один из способов проверки зависимости между y(t) и x(t) состоит в том, чтобы устранить влияние основной переменной t. Для этого поступают следующим образом.

Будем считать, что y(t) и x(t) описываются трендовыми моделями, а именно:

y(t) = g1(t) + x(t) = g2(t) +

(t); (7.10)

(t). (7.11)

Найдем тренды g1(t) и g2(t) и введем новые переменные (устранение трендов):

x1(t) = x(t) – g2(t); y1 = y(t) – g1(t). (7.12)

Теперь влияние переменной t в значительной степени устранено, и можно изучать линейную зависимость

(t) = b0 + b1 x1 + ε (7.13)

Для анализа зависимости (7.13), ее значимости или незначимости применяются стандартные методики, рассмотренные

– – 114

ранее.

В приложениях используются и другие подходы, позволяющие изучать зависимость между временными рядами y(t) и x(t). Например, в зависимости (7.9) явным образом учитывают время. При таком подходе вместо формулы (7.1) рассматривают ее обобщение:

y(t) = b0 + b1 x(t) + b2 t + ε(t), (7.14)

где время t выступает как еще одна объясняющая переменная.

Пример 7.3. Имеется набор данных, отражающих измене- ние во времени следующих переменных: y = y(t) – объем реализации предприятия оптовой торговли (у.е.); x = x(t) – размер торговой площади (м2); t – время (квартал). Требуется найти линейные тренды в динамике x(t)

и y(t), установить или опровергнуть

зависимость изменения объема реализации от размера торговой площади. Исходные данные представлены в табл.7.5.

Таблица 7.5. Зависимость объема реализации и торговой площа-

ди от времени

t xt yt

1 127,2 15,12 2 129 16,62 3 131,2 17,16 4 134,8 17,63 5 136,6 18,14 6 138,6 16,92 7 143,2 17,66 8 144,3 18,4

9 145,6 19,97 10 148,7 21,35 11 150,4 20,16 12 154,7 21,04 13 158,2 20,27 14 159,3 23,33 15 159,6 21,67 16 163,6 23,05 17 164,9 23,9 18 169,4 23,85

– – 115

Будем считать, что выполнены все предположения МНК

относительно случайных составляющих

(t),

(t) и ε, входящих

в отношения (7.10)-(7.11). Уровень значимости выберем 0,05.

Решение.

1) Предположим, что уравнения (7.10) и (7.11) содержат

линейные тренды:

g1(t) = a0 + a1t, g2(t) = c0 + c1t.

Вычисляя оценки параметров этих трендов, получаем, что

a0 = 15,16; a1 = 0,49; c0 = 124,5; c1 = 2,45.

Сформируем новые переменные x1 и y1 по формуле (7.12) и

сведем все результаты в табл.7.6.

Таблица 7.6. Исходные и расчетные значения переменных

t xt yt g1 g2 x1 y1

1 127,2 15,12 15,64778 126,9468 0,253216 –0,52778 2 129 16,62 16,13523 129,3929 –0,39291 0,484771 3 131,2 17,16 16,62268 131,839 –0,63904 0,53732 4 134,8 17,63 17,11013 134,2852 0,514826 0,519869 5 136,6 18,14 17,59758 136,7313 –0,1313 0,542418 6 138,6 16,92 18,08503 139,1774 –0,57743 –1,16503 7 143,2 17,66 18,57248 141,6236 1,576436 –0,91248 8 144,3 18,4 19,05993 144,0697 0,230306 –0,65993

9 145,6 19,97 19,54739 146,5158 –0,91582 0,422614 10 148,7 21,35 20,03484 148,962 –0,26195 1,315163 11 150,4 20,16 20,52229 151,4081 –1,00808 –0,36229 12 154,7 21,04 21,00974 153,8542 0,845786 0,030261 13 158,2 20,27 21,49719 156,3003 1,899656 –1,22719 14 159,3 23,33 21,98464 158,7465 0,553526 1,345359 15 159,6 21,67 22,47209 161,1926 –1,5926 –0,80209 16 163,6 23,05 22,95954 163,6387 –0,03873 0,090458 17 164,9 23,9 23,44699 166,0849 –1,18486 0,453007 18 169,4 23,85 23,93444 168,531 0,869006 –0,08444

По данным табл.7.6 получим зависимость (7.13): b0 = –

2,8⋅1015; b1 = –0,176. Величина F-критерия равна F

= 0,768.

расч

Табличное значение F-критерия с 1 и 16 степенями свободы и α

0,05 равно F

= 4,49. Так как F

табл

расч

< F

, зависимость (7.13)

табл

является незначимой. Следовательно, между переменными x1 и

– – 116

y1 нет линейной зависимости, и отсутствует линейная связь между объемом реализации и размером торговой площади. Обе переменные растут относительно согласованно, но на y(t) влияют какие-то другие, не учтенные факторы.

2) Для получения модели (7.14), рассматривающей время как дополнительную влияющую переменную, достаточно применить к исходным данным традиционный МНК (или процедуру Регрессия из Анализа данных). Результаты расчетов представлены в табл.7.7.

Таблица 7.7. Результаты расчетов по МНК

t xt yt y

1 127,2 15,12 15,6031 -0,4831 2 129 16,62 16,20456 0,415443 3 131,2 17,16 16,73544 0,424563 4 134,8 17,63 17,01929 0,610709 5 136,6 18,14 17,62075 0,51925 6 138,6 16,92 18,18692 -1,26692 7 143,2 17,66 18,29433 -0,63433 8 144,3 18,4 19,0193 -0,6193

9 145,6 19,97 19,70898 0,26102 10 148,7 21,35 20,08106 1,268942 11 150,4 20,16 20,70016 -0,54016 12 154,7 21,04 20,8605 0,179498 13 158,2 20,27 21,162 -0,892 14 159,3 23,33 21,88697 1,443027 15 159,6 21,67 22,7531 -1,0831 16 163,6 23,05 22,96638 0,083623 17 164,9 23,9 23,65606 0,243941 18 169,4 23,85 23,78111 0,068889

19 170,98 24,4219 20 173,42 24,90935

yt – y

Значения коэффициентов регрессии представлены в сле-

дующей таблице:

Коэффициенты

b1 –0,17645 b2 0,919063

37,12806

– – 117

Статистические параметры полученной модели – в сле-

дующей таблице:

df SS MS F

Регрессия 2 115,5893 57,79464 88,96513 Остаток 15 9,744489 0,649633 Итого 17 125,3338 Коэффициент детерминации R

0,9223

Полученные результаты говорят о том, что модель (7.14) адекватно описывает зависимость объема реализации от торговой площади и времени (высокие коэффициент детерминации и значение F-критерия, явно превышающее F табличное). Следовательно, уравнение

= 37,128 – 0,176 ⋅ x(t) + 0,919 ⋅ t

y(t)

можно использовать для прогнозирования объема реализации.

Прогноз на предстоящие два периода представлен в табл.7.7. При этом значения x(t) получены по уравнению (7.11).

7.2.2. Включение в модель регрессии фактора времени

В корреляционно-регрессионном анализе можно устранить воздействие какого-либо фактора, если зафиксировать воздействие этого фактора на результат и другие включенные в модель факторы. Данный прием широко применяется в анализе временных рядов, когда тенденция фиксируется через включение фактора времени в модель в качестве независимой переменной.

Модель вида

yt = a + b1 xt + b2 t +

(7.15)

относится к группе моделей, включающих фактор времени. Очевидно, что число независимых переменных в такой модели может быть больше единицы. Кроме того, это могут быть не только текущие, но и лаговые значения независимой и результативной переменных.

Преимущество данной модели перед методами отклонений от трендов и последовательных разностей состоит в том, что она позволяет учесть всю информацию, содержащуюся в исходных

– – 118

данных, поскольку значения yt и xt – это уровни исходных вре-

∑∑∑

менных рядов. Кроме того, модель строится по всей совокупности данных за рассматриваемый период в отличие от метода последовательных разностей, который приводит к потере числа наблюдений. Параметры модели с включением фактора времени определяются обычным МНК. Покажем это на примере 7.4.

Пример 7.4. Построение модели регрессии с включением фактора времени.

Вернемся к данным табл.7.1. Построим уравнение регрессии, описывающее зависимость расходов на конечное потребление yt от совокупного дохода xt и фактора времени t. Для расчета параметров уравнения регрессии (7.15) воспользуемся обычным МНК. Система нормальных уравнений имеет вид:

ytbxban

 

∑ ∑∑ ∑





∑ ∑∑ ∑



=⋅+⋅+⋅

(7.16)

yxxtbxbxa

⋅=⋅⋅+⋅+⋅

ttttt

ytxbxtbta

⋅=⋅+⋅⋅+⋅

ttt

Решив эту систему относительно а, b1 и b2, находим:

а = –36,242; b1 = 0,919; b2 = 99,571.

Следовательно, уравнение регрессии имеет вид:

txy

+⋅+⋅+−= 571,99919,0242,36

Упростить расчет коэффициентов а, b1 и b2 можно с помощью процедуры Регрессия (в надстройке Анализ данных). Расчетные значения и их отклонения от исходных приведены в следующей таблице.

Интерпретация параметров этого уравнения следующая. Параметр b1 = 0,919 характеризует, что при увеличении совокупного дохода на 1 д.е. расходы на конечное потребление возрастут в среднем на 0,919 д.е. в условиях существования неизменной тенденции. Параметр b

= 99,571 означает, что воздейст-

вие всех факторов, кроме совокупного дохода, на расходы на конечное потребление приведет к его среднегодовому абсолют-

– – 119

ному приросту на 99,571 д.е.

хt t yt y

1776,02 1 1746,66 1694,65 52,01 2908,00 2 2853,53 2833,98 19,55 3983,76 3 3870,68 3921,66 –50,99 5324,52 4 5214,38 5252,76 –38,37 6829,30 5 6710,06 6734,51 –24,44

8885,61 6 8644,39 8722,86 –78,47 10976,29 7 10780,18 10742,78 37,40 13818,98 8 13614,23 13453,43 160,80 17289,94 9 16706,07 16741,17 –35,11 21308,58 10 20489,59 20531,98 –42,39

yt – yr

Применение полученного уравнения для прогноза на пред-

стоящие периоды предполагает знание о значениях зависимой переменной x

в эти периоды. Для этого можно воспользоваться

уравнением линейного тренда из табл.7.2.

Например, в нашем случае сделаем прогноз расходов на

конечное потребление для t = 11. Сначала определяем трендовое значение факторного признака:

=⋅+⋅+= ttx

1348,249108889,1860364,331755,1933

затем прогнозное значение по уравнению:

23939,674211571,991348,24910919,0242,36 =⋅+⋅+−=

д.е.,

что практически не отличается от прогноза по отклонениям от тренда.

7.3. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона

7.3.1. Определение критерия Дарбина-Уотсона

Рассмотрим уравнение регрессии вида

, (7.17)

+⋅+=

xbay

∑

tjtjt

где k – число независимых переменных модели.

– – 120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]