Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Анализ временных рядов и прогнозирование. Учебное пособие
.pdf
наличии во временном ряде расходов на конечное потребление
2
−
n
2
−
n
6712
8
−
+++
6561
8
−
+++
сильной линейной тенденции.
Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями ряда yt и y
r
2
и определяется по формуле
t–2
n
( ) ( )
∑
=
t
=
3
n
( ) ( )
∑ ∑
= =
t
3 3
2
3
−⋅−
yyyy
−
tt
n
−⋅−
−
tt
t
423
, (1.3)
2
yyyy
42
где
n
y
∑
t
3
=
t
=
y
3
;
n
y
∑
1
−
t
3
=
t
=
y
4
. (1.4)
Для данных из примера 1.1 получим:
16108
=
y
3
=
y
4
K
K
1287
==
==
;
83,11
.
33,9
Для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка построим табл.1.2.
Подставив полученные значения в формулу (1.3), получим:
=r
2
3334,27
⋅
=
3334,198334,40
.
973,0
Полученные результаты еще раз подтверждают вывод о
том, что ряд расходов на конечное потребление содержит линейную тенденцию.
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент
автокорреляции, называется лагом. С увеличением лага число
пар значений, по которым рассчитывается коэффициент авто-
– – 11
корреляции, уменьшается. Некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило «максимальный лаг должен быть не больше n/4».
Таблица 1.2. Расчет коэффициента автокорреляции второго по-
рядка
t yt y
1 7
2 8
3 8 7 –3,83333 –2,33333 8,944444444 14,69444 5,444444
4 10 8 –1,83333 –1,33333 2,444444444 3,361111 1,777778
5 11 8 –0,83333 –1,33333 1,111111111 0,694444 1,777778
6 12 10 0,166667 0,666667 0,111111111 0,027778 0,444444
7 14 11 2,166667 1,666667 3,611111111 4,694444 2,777778
8 16 12 4,166667 2,666667 11,11111111 17,36111 7,111111
Итого 86 56 0 0 27,33333333 40,83333 19,33333
yt–y3 y
t–2
–y4 (yt–y3)(y
t–2
–y4) (yt–y3)2 (y
t–2
t–2
–y4)
Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции. Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффи-
циентом корреляции и, таким образом, характеризует тесноту
только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда.
Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту),
коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может
приближаться к нулю.
Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя
делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в
уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических
данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом они могут иметь убывающую тенденцию.
Последовательность коэффициентов автокорреляции
уровней первого, второго и т. д. порядков называют автокорре-
ляционной функцией временного ряда. График зависимости ее
2
– – 12
значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы
позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, следовательно, лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т. е. при
помощи j анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент авто-
корреляции порядка τ, ряд содержит циклические колебания с
τ
периодичностью в
фициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать предположение относительно структуры этого ряда: либо
ряд не содержит тенденции и циклических колебаний и имеет
структуру, сходную со структурой случайного ряда (см. рис.2.1
в), либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во
временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты
Т и циклической (сезонной) компоненты S.
Временной ряд расходов на конечное потребление (см.
пример 1.1) содержит только тенденцию, так как коэффициенты
автокорреляции его уровней высокие.
Пример 1.2. Пусть имеются условные данные об объемах
потребления электроэнергии жителями региона за 16 кварталов
(табл.1.3).
моментов времени. Если ни один из коэф-
– – 13
Таблица 1.3. Потребление электроэнергии жителями региона,
млн. кВт ⋅ ч
t у
1 6,0 – – – –
2 4,4 6,0 – – –
з 5,0 4,4 6,0 – –
4 9,0 5,0 4,4 6,0 –
5 7,2 9,0 5,0 4,4 6,0
6 4,8 7,2 9,0 5,0 4,4
7 6,0 4,8 7,2 9,0 5,0
8 10,0 6,0 4,8 7,2 9,0
9 8,0 10,0 6,0 4,8 7,2
10 5,6 8,0 10,0 6,0 4,8
11 6,4 5,6 8,0 10,0 6,0
12 11,0 6,4 5,6 8,0 10,0
13 9,0 11,0 6,4 5,6 8,0
14 6,6 9,0 11,0 6,4 5,6
15 7,0 6,6 9,0 11,0 6,4
16 10,8 7,0 6,6 9,0 11,0
t
у
у
t–1
у
t–2
у
t–3
t–4
Нанесем значения у, на график (рис.1.1).
Определим коэффициент автокорреляции первого порядка
(добавим у
в табл.1.3 и воспользуемся формулой расчета ли-
t–1
нейного коэффициента корреляции). Он составит: r1 = 0,165. Это
значение свидетельствует о слабой зависимости текущих уровней ряда от непосредственно предшествующих им уровней. Однако, как следует из графика, структура данного ряда такова, что
каждый следующий уровень уt зависит от уровней у
гораздо большей степени, чем от уровня у
. Построим ряд у
t–1
t–4
и у
t–2
в
t–2
(см. табл.1.3). Рассчитав коэффициент автокорреляции второго
порядка r2, получим количественную характеристику корреляционной связи рядов уt, у
: r2 = 0,567. Продолжив расчеты, по-
t–2
лучим автокорреляционную функцию этого ряда (табл.1.4).
Анализ значений автокорреляционной функции позволяет
сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде, вопервых, линейной тенденции, во-вторых, сезонных колебаний
периодичностью в четыре квартала. Данный вывод подтвержда-
– – 14
ется и графическим анализом структуры ряда (рис.1.1).
у
t
12
10
8
6
4
2
0
1 2 з 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
t
Рис.1.1. Потребление электроэнергии жителями региона
Таблица 1.4. Коэффициенты автокорреляции
Лаг Коэффициент автокорреляции
1 0,165155
2 0,566873
3 0,113558
4 0,983025
5 0,118711
6 0,722046
7 0,003367
8 0,973848
На рис.1.2 приведена получившаяся по данным примера
коррелограмма.
Аналогично, если, например, при анализе временного ряда
наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции второго порядка, ряд содержит циклические колебания с циклом,
равным двум периодам времени, т.е. имеет пилообразную
структуру.
– – 15
1
1,2
0 2 4 6 8 10
0,8
0,6
0,4
0,2
Коэффициенты автокорреляции
0
Лаг
Рис.1.2. Коррелограмма
.1. Практические примеры
1
Практический пример 1.1
Пусть имеются некоторые условные данные об общем количестве правонарушений на таможне одного из субъектов РФ:
Год Квартал t Количество возбужденных дел, yt
I 1 375
1999
2000
2001
2002
II 2 371
III 3 869
IV 4 1015
I 5 357
II 6 471
III 7 992
IV 8 1020
I 9 390
II 10 355
III 11 992
IV 12 905
I 13 461
II 14 454
III 15 920
IV 16 927
– – 16
Построим исходную зависимость от времени:
0 2 4 6 8 10 12 14 16 t y t
1200
1000
800
600
400
200
0
Уже исходя из графика, видно, что значения y образуют
пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных
коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем вспомогательную таблицу.
t yt y
1 375 – – – – – –
2 371 375 –328,33 –288,13 94601,72 107800,59 83018,90
3 869 371 169,67 –292,13 –49565,70 28787,91 85339,94
4 1015 869 315,67 205,87 64986,98 99647,55 42382,46
5 357 1015 –342,33 351,87 –120455,66 117189,83 123812,50
6 471 357 –228,33 –306,13 69898,66 52134,59 93715,58
7 992 471 292,67 –192,13 –56230,69 85655,73 36913,94
8 1020 992 320,67 328,87 105458,74 102829,25 108155,48
9 390 1020 –309,33 356,87 –110390,60 95685,05 127356,20
10 355 390 –344,33 –273,13 94046,85 118563,15 74600,00
11 992 355 292,67 –308,13 –90180,41 85655,73 94944,10
12 905 992 205,67 328,87 67638,69 42300,15 108155,48
13 461 905 –238,33 241,87 –57644,88 56801,19 58501,10
14 454 461 –245,33 –202,13 49588,55 60186,81 40856,54
15 920 454 220,67 –209,13 –46148,72 48695,25 43735,36
16 927 920 227,67 256,87 58481,59 51833,63 65982,20
10499 9947 9,05 0,05 74085,16 1153766 1187470
∑
yt–y1 y
t–1
–y2 (yt–y1)(y
t–1
–y2) (yt–y1)2 (y
t–1
t–1
–y2)2
Вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка:
– – 17
=r .
-1
0
1
0 2 4 6 8 10 12
1
16,74085
⋅
73,118746939,1153756
063294,0
=
Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более
высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу:
Лаг Коэффициент автокорреляции уровней
1 0,063294
2 –0,961183
3 –0,036290
4 0,964735
5 0,050594
6 –0,976516
7 –0,069444
8 0,964629
9 0,162064
10 –0,972918
11 –0,065323
12 0,985761
По полученным результатам строим коррелограмму:
r
1,5
0,5
л а г
-0,5
-1,5
Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом
временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре
квартала.
– – 18
Практический пример 1.2
0 2 4 6 8 10 12 14 t y
Пусть имеются данные о численности городского населения в Республике Татарстан за 1995-2008 гг.:
Годы t Численность городского населения, yt
1995 1 2747,7
1996 2 2756,9
1997 3 2764,5
1998 4 2772,2
1999 5 2789,7
2000 6 2788,9
2001 7 2787,4
2002 8 2790,7
2003 9 2791
2004 10 2793,7
2005 11 2806,8
2006 12 2803,9
2007 13 2806,2
2008 14 2811
Нанесем значения y, на график:
2820
2810
2800
2790
2780
2770
2760
2750
2740
t
Определим обычным способом коэффициент автокорреляции первого порядка. Он составит: r
= 0,951. Это значение сви-
1
детельствует об очень тесной зависимости между текущей численностью городского населения и значениями предшествующих годов и, следовательно, о наличии во временном ряде чис-
– – 19
ленности населения сильной линейной тенденции. Рассчитав
1
2 4 6 8
Лаг
также коэффициент автокорреляции второго порядка, получим
количественную характеристику корреляционной связи рядов yt,
y
. r2= 0,896. Продолжив расчеты, получим автокорреляцион-
t-2
ную функцию этого ряда:
Коэффициенты автокорреляции
Лаг Коэффициент автокорреляции
1 0,950731
2 0,89638
3 0,852871
4 0,723203
5 0,828665
6 0,253508
7 0,88091
8 0,002344
Анализ значений автокорреляционной функции позволяет
сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряду линейной
тенденции. Данный вывод подтверждается и графическим анализом структуры ряда.
На следующем рисунке приведена получившаяся по данным примера коррелограмма.
r
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
Из рисунка видно, что с увеличением лага автокорреляция
существенно снижается.
– – 20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]