Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Теория управления особыми линейными и нелинейными непрерывными системами. Учебное пособие
.pdf
**
p
pj
x
x
,
В зависимости от конкретного вида
p
получаются различные
12
законы движения фазовых траекторий линейной САУ второго порядка
и, как следствие, отличающиеся друг от друга особые точки, которые
проанализируем более подробно.
*
1. Пара чисто мнимых корней
12
udu
22
u
ln
C
.
1
Для нахождения интегральной кривой воспользуемся промежуточной переменной
22
qu , откуда с учетом 2dq udu
становится
справедливым равенство
1
udu dq
22
u
22
ln ln
uxC
2
1
,
2
q
,
1
где постоянная интегрирования выбирается в следующем виде:
ln ( )CC
.
1
Выполнив дальнейшие преобразования с учетом последнего равенства,
22
ln ln
,
u
2
xC
2
21
2
x
1
C
1
1
2
,
x
1
окончательно получим
22
xx
21
22
()
CC
11
81
1
. (4.9)
*
pj
x
x
x
x
Таким образом, в случае пары чисто мнимых корней
12
фа-
зовый портрет линейной непрерывной системы второго порядка представляет собой семейство эллипсов (рис. 4.2), а сама особая точка носит название «центр».
x
2
C
1
x
C
1
1
0
Рис. 4.2. Фазовые траектории и переходный процесс по
особой точки типа «центр»
в случае
1
Пример 4.1. Выполнить анализ состояния автономного линейного непрерывного ОУ на фазовой плоскости и во временной области при ненулевых
начальных условиях
0
1y
,
0y
,
0
динамические свойства которого описываются консервативным звеном (коле-
0
бательное звено при
) с однородным дифференциальным уравнением
второго порядка
2
dy
или в форме Коши с использованием координат состояния
2
Ty
2
dt
xx
12
x
2
,
T
,
1
,
2
0
y
и
1
x
12
в результате чего детализированная структурная схема примет вид, изображенный на рис. 4.3.
82
T
x
x
0v
x
2
1
2
)(
x
1
1
p
1
p
xy
1
Рис. 4.3. Структурная схема линейного консервативного
звена
В соответствии с уравнением (4.2) дифференциальное уравнение фазовых
траекторий имеет следующий вид:
dx x
21
dx
1
2
Tx
,
2
или
dx T x dx
11 2 2
2
,
откуда уравнение (4.9) преобразуется к виду
22
xx
2
21
T
22
CC
1
,
где C – постоянная интегрирования, которая с учетом исходных данных
равна
1C .
Для анализа ОУ во временной области рассмотрим исходное дифференциальное уравнение, решением которого является выражение
1
T
– вещественный коэффициент при j
где
() cos sin
tC tC t
11 2
,
пары чисто мнимых кор-
ней характеристического уравнения
*
pj
,
12
83
, CC – постоянные интегрирования, которые с учетом начальных
x
x
12
()yxt
условий по выходу системы
() sin cosxt С t С t
11 2
и его первой производной
1
(0) 1xy
1
,
(0) (0) 0xx
12
принимают следующие численные значения:
1C ,
1
0C ,
2
или окончательно
xt C t
() cos cos
xt x t t
,
11
() () sin sin
12
t
T
1
t
TT
.
Как видно из последних формул, на выходе данного динамического звена
второго порядка будут присутствовать незатухающие гармонические колебания, период которых в дальнейшем примем равным
2
22TT
к
с,
откуда постоянная времени
1
T
,
т. е.
() () cos
tyt t
1
,
() () sin
txt t
12
,
или применительно к фазовой траектории
2
x
2
2
2
x
1
,
1
что показывает рис. 4.4, на котором точками 1–4 обозначены нулевые и экстремальные значения
1
()xt .
84
xx
pj
12
2
1
45
45
x
3
1
)(
tx
2
2
3
1
t
1
4
4
)(1tx
2
1
Рис. 4.4. Фазовая траектория и переходной процесс линейного кон-
сервативного звена при ненулевых начальных условиях
и
2. Пара различных отрицательных вещественных корней
*
и
p .
22
3
4
t
1
(0) 1x
1
(0) 0x
2
*
p
11
Законы движения изображающей точки на фазовой плоскости
(рис. 4.5, а) и во временной области (рис. 4.5, б) для данного типа рас-
пределения корней уравнения (4.5), получившего название особой точки типа «устойчивый узел», изображены на рис. 4.5.
3. Пара комплексно-сопряженных корней с отрицательной веще-
ственной частью
12
.
*
На рис. 4.6 изображены графики изменения координат двумерного
вектора состояния
xxx на фазовой плоскости (рис. 4.6, а)
и временная зависимость
12
T
()xt (рис. 4.6, б) при комплексно-сопря-
1
85
женных корнях с отрицательной вещественной частью, соответствующих особой точке типа «устойчивый фокус».
а б
Рис. 4.5. Фазовая траектория (а) и переходный процесс (б) при особой точке
типа «устойчивый узел»
а б
Рис. 4.6. Фазовая траектория (а) и переходный процесс (б) при особой точке
типа «устойчивый фокус»
4. Пара вещественных корней с различными знаками
*
p .
22
*
p и
11
Наличие «правого» корня приводит к неустойчивым процессам, а
фазовый портрет, относящийся к данной особой точке, носящей название «седло», приведен на рис. 4.7, из которого видно, что траектории
движения изображающей точки представляют собой семейство гипербол, разделенных между собой двумя прямыми, называемыми сепара-
трисами.
86
2
x
x
x
Рис. 4.7. Фазовый портрет при особой
точке типа «седло»
Рис. 4.8. Фазовая траектория и переходный процесс по
типа «неустойчивый узел»
0
()
t при особой точке
1
x
1
Рис. 4.9. Фазовая траектория и переходный процесс по
типа «неустойчивый фокус»
87
()
t при особой точке
1
Помимо «устойчивого узла» и «устойчивого фокуса» также суще-
ствуют их неустойчивые модификации, которые возникают при «правых» чисто вещественных и комплексно-сопряженных корнях соответственно (рис. 4.8 и 4.9).
4.4. Линии переключения и предельные циклы
нелинейных САУ
В нелинейных САУ довольно часто используются релейные элементы, выход которых скачкообразно изменяется при достижении амплитуды входного сигнала порогового значения. В этой связи в двумерном
пространстве выделяют ограниченные области, или иначе листы, разделяемые линиями переключения, внутри которых закон движения изображающей точки является неизменным. Благодаря данному подходу к
анализу
уравнение фазовых траекторий (4.2) заменяется на несколько более простых линейных, которые справедливы только в конкретных участках
плоскости, причем граница между ними однозначно определяется точкой излома в характеристике ()yfx
щью отрезков прямой. В качестве примера на рис. 4.10 изображены линии переключения следующих типовых статических нелинейностей:
позиционное реле с зоной нечувствительности»;
ком».
состояния системы исходное нелинейное дифференциальное
, аппроксимированной с помо-
а – «идеальное двухпозиционное реле»;
б – «ограничение», «зона нечувствительности», «идеальное двух-
в – «двухпозиционное реле с гистерезисом»;
г – «ограничение с зоной нечувствительности и линейным участ-
x
2
x
2
x
2
x
2
a
x
1
0
a
x
a
1
0
a
0
a
x
2
1
a
a
1
1
x
a
1
2
а б в г
Рис. 4.10. Линии переключения при наличии в системе типовых статических
нелинейностей
88
В многолистном фазовом пространстве траектории непрерывно
x
переходят из одной области в другую за исключением особых случаев,
в которых они направлены навстречу друг другу (см. главу 6). При
этом в качестве одного из возможных состояний равновесия выделяют
устойчивые колебания, которые подразделяются на вынужденные и
автоколебания. Вынужденные колебания появляются на выходе
вследствие наличия внешних
гармонических воздействий, причем если
они затухают, то может варьироваться их частота, а автоколебания вызваны внутренними свойствами САУ.
Законы изменения координат состояния нелинейных систем на
плоскости, в отличие от линейного случая, гораздо более многообразны и далеко не всегда поддаются
математическому описанию. Так,
например, среди них встречаются
изолированные замкнутые траектории, названные французским математиком Жюль Анри Пуанкаре
(Jules Henri Poincare, 1854–1912)
предельными циклами, к которым
стремится или, наоборот, удаляется
изображающая точка, находящаяся
в их малой окрестности, т. е. данный тип периодических движений
бывает устойчивым и неустойчи-
вым (рис. 4.11).
Пример 4.2. Рассмотрим одномерную САУ углом поворота вала
ДПТ НВ
мента инерции маховых масс
механическую характеристику, с чисто пропорциональным законом управления (рис. 4.12). В случае пренебрежения электромагнитными процессами в
обмотке якоря система дифференциальных уравнений ОУ в форме Коши имеет следующий вид:
при постоянстве магнитного потока Ф const
constJ
xx
12
2 дв 2
T
Рис. 4.11. Фазовые траектории при
устойчивом предельном цикле
и суммарного мо-
(см. пример 1.2), имеющего линейную
,
1
kux
(),
м
где
положение и скорость вала соответственно;
,xx
12
– координаты состояния, представляющие собой угловые
89
– управляющее воздействие
u
(напряжение якоря
я
деляется как
u ), которое в соответствии с исходными данными опре-
,
где
k
p
()uk
p з
– коэффициент передачи последовательного корректирующего
устройства КУ (регулятора), выход которого ограничен по амплитуде
constuu ,
max
или в зависимости от знака ошибки
uu
.
max
з
k
p
)(
u
k
x
2
дв
1
pT
м
1
x
p
КУ ОУ
Рис. 4.12. Структурная схема позиционного электропривода постоянного тока
С учетом того, что в методе фазовой плоскости исследуется свободное
движение, т. е.
примет следующий вид:
откуда
0 , дифференциальное уравнение (4.2) в данном случае
з
kux ku
dx
dx T x T
дв 2 дв
2
1 м 2 м
x
Tdxdx
м 21
2
kux
дв 2
,
,
1
xkuku
2 дв дв
Tdxdx
м 21
xku
2 дв
dx
Tdx Tku dx
м 2 мдв 1
2
xku
2 дв
,
,
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]