Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Теория управления особыми линейными и нелинейными непрерывными системами. Учебное пособие
.pdf
В свою очередь, статические нелинейности подразделяются на
f
x
f
f
f
x
x
f
x
x
f
a
гладкие, у которых в любой точке кривой существует производная
xx, и ломаные, характеризуемые наличием изломов в ()fx , где
()/
производная терпит разрыв, большую группу которых составляют кусочно-линейные характеристики, состоящие из отрезков прямой линии.
Следующим квалификационным признаком является однознач-
ность, в рамках которой, как следует из названия, существует одно-
значная связь между входным и выходным сигналом при произвольных вариациях
ность, в рамках которой одной и той же величине входа соответствует
несколько значений выхода в зависимости от предыдущего состояния.
Если для статической зависимости соблюдается равенство
. В противном случае имеет место неоднознач-
вх
xfx
() ( )
то она называется симметричной относительно оси ординат (четносимметричной), а если
xfx
() ( )
то она носит название симметричной относительно начала координат
(нечетно-симметричная), в противном случае ()
су несимметричных.
)(
,
,
x относится к клас-
)(
c
a
0
а б
Рис. 3.2. Нелинейные статические характеристики, симметричные
относительно оси ординат (а) и начала координат (б)
Если функция ()fx не имеет разрывов, то она называется непре-
рывной, в противном случае – разрывной.
К нелинейным САУ, включающим в себя блоки умножения, возве-
дения в степень, логарифмирования и тому подобные элементы, также
c
61
относятся системы, в которых переменные коэффициенты входного
D
f
x
f
x
()Gp и собственного ()
p линейных дифференциальных операторов
изменяются во времени в функции координат состояния, например,
как у апериодического звена
(1)Tp y kx
1
при
,
0x
(1)Tp y kx
2
при 0x
.
3.3. Типовые статические нелинейные звенья
По аналогии с типовыми линейными динамическими звеньями отдельно выделяют наиболее часто встречающиеся в реальных технических системах нелинейные зависимости, которые в 1947 г. были впервые нормированы Л.С. Гольдфарбом (1910–1960) для приближенного
анализа процессов в САУ такого типа.
)(
с
с
Рис. 3.3. Идеальное
двухпозиционное реле
ных состояния, операционный усилитель в разомкнутом состоянии с
большим коэффициентом передачи и т. д.
2. Нелинейное звено типа «ограничение» (насыщение) (рис. 3.4),
как и в предыдущем случае, является однозначной непрерывной нечетно-симметричной кусочно-линейной статической
описываемой уравнениями вида
1. Идеальное двухпозиционное реле
(рис. 3.3), которое принадлежит к классу
однозначных непрерывных кусочнолинейных
статических характеристик,
симметричных относительно начала координат
() sign
xc x
,
где constc
– амплитуда выхода.
Таким нелинейным уравнением
можно описать переключающие функции триггера, имеющего два разрешен-
характеристикой,
c
при ,
()
fx
xxa
a
sign при .
cx xa
62
x
x
x
f
a
a
x
x
f
k
x
x
f
a
)(
arctg
c
a
Данная функция ()yfx широко при-
меняется в математических моделях различного рода усилителей (электрические,
магнитные, гидравлические и т. д.) в области больших абсолютных значений входно-
c
го сигнала, где величина выхода достигает
максимального уровня и больше не изменяется во времени.
3. Нелинейность типа «зона нечув-
ствительности» (рис. 3.5), удовлетворяю-
Рис. 3.4. Нелинейное звено
типа «ограничение»
c
щая квалификационным признакам однозначности и непрерывности с симметрией относительно начала коор-
)(
динат, а также свойствам кусочно-линейных
статических характеристик
a
Рис. 3.5. Типовая нелинейность типа «зона
нечувствительности»
arctg
a
0 при ,
()
fx
(sign)при .
kx a x x a
Этим звеном можно описать пневматические и гидравлические усилители при малых
абсолютных величинах входных воздействий.
xa
4. Двухпозиционное реле с гистерезисом (рис. 3.6), являющееся
неоднозначной непрерывной кусочно-линейной статической нелинейной характеристикой
при и 0,
()
fx
cxax
cxax
при и 0,
т. е. дискретное состояние выхода c
не только от величины
, но и от ее предыду-
зависит
щего состояния, как, например, у триггера
О. Шмитта (Otto Herbert Schmitt, 1913–1998)
или при перемагничивании материала на основе ферромагнитных сплавов.
5. Нелинейность типа «люфт» (рис. 3.7),
Рис. 3.6. Типовая нели-
нейность типа «двухпозиционное реле с гис-
терезисом»
)(
c
a
c
принадлежащая к классу статических непрерывных неоднозначных кусочно-линейных зависимостей, которая
63
f
x
x
)(
x
f
k
x)(x
f
x)(x
f
a
Рис. 3.7. Статическая
нелинейность типа «люфт»
arctg
a
и
имеет место при наличии зазора в механических передачах и точках сочленения рычагов. Как видно из рис. 3.7, до тех пор, пока вход находится внутри отрезка между
параллельными прямыми, величина выхода
()
x будет постоянной, а затем происходит
движение по одной из наклонных линий в
зависимости от направления перемещения,
т. е.
() constfx
при ()fxkxka
xkxa x
() ( sign )
.
6. Идеальное двухпозиционное реле без гистерезиса (рис. 3.8), от-
носящееся к однозначным разрывным нечетно-симметричным статическим характеристикам с функциональной зависимостью вида
()
fx
не существует при ,
sign при .
cx xa
a
Данным звеном можно описать состоя-
ния трехпозиционного командоконтроллера,
c
у которого в начальном положении контакты разомкнуты (выход отсутствует), а при
его переключении влево или вправо происходит электрическое соединение контактов с
соответствующим потенциалом электрической цепи.
Помимо рассмотренных типовых нелинейных звеньев существуют их комбинации
и модификации
, например, в виде совмеще-
c
a
a
Рис. 3.8. Идеальное двухпозиционное реле без гис-
терезиса
a
a
c
c
ния «зоны нечувствительности» и «ограничения» (рис. 3.9), «идеального двухпозиционного реле» с различными
уровнями выхода и т. д.
64
x
)(
x
f
x
x
f
t
x
f
x
x
c
Рис. 3.9. Статическая зависимость
«вход–выход» нелинейности типа
«ограничение с зоной нечувстви тельности и линейным участком»
a
a
1
2
a
a
1
2
karctg
c
Пример 3.2. Рассмотрим преобразование входного гармонического воздействия «идеальным двухпозиционным реле с зоной нечувствительности»
(рис. 3.10). До тех пор, пока величина
сохраняется нулевое значение (временной интервал
устанавливается
c (момент времени
не достигнет уровня a , на выходе
0 t ), а далее скачком
1
tt ) и т. д.
12
)(
c
a
a
c
0
t
1
)(
t
0
t
1
t
t
2
3
t
4
t
2
t
3
t
4
Рис. 3.10. Преобразование входного гармонического сигнала
«идеальным двухпозиционным реле с зоной нечувствительности»
65
На основании вышеизложенного можно сформулировать следую-
f
f
j
x
F
F
F
щие особенности преобразования входного сигнала статическим нелинейным элементом в составе САУ:
– величина выхода ()
x зависит как от вида самой кривой, так и от
амплитуды входа;
– выходной сигнал, как правило, периодический, но негармонический, и после разложения в ряд Ж. Фурье (Jean Baptiste Joseph Fourier,
1768–1830) имеет различный частотный спектр, вследствие чего линейная часть САУ будет вести себя по-разному;
– в случае неоднозначной зависимости ()
x между входным и вы-
ходным сигналом имеется угловое (фазовое) смещение;
– в зависимости от уровня и знака отклонения от рабочей точки нелинейной функции на выходе могут возникать сходящиеся или расходящиеся процессы, а также устойчивые (неустойчивые) автоколебания,
сопровождаемые дискретным изменением амплитуды и вариациями
частоты.
3.4. Структурные преобразования
нелинейных САУ
Если нелинейная САУ детерминирована, т. е. все внешние воздей-
ствия
стью
u порядка m и координаты вектора состояния
изменяются во времени по заранее известному закону, то ее
n
математическую модель можно описать следующими обыкновенными
дифференциальными уравнениями в форме Коши:
размерно-
i
dx
1
(, , , ; , , , ; ),
xx x uu u t
nm
(, , , ; , , , ; ),
xx x uu u t
12 12
(3.1)
здесь ()
– произвольная функция.
i
dx
112 1 2
dt
n
dt
nn m
Воспользовавшись промежуточной переменной
(,,,,; ,,,, ; )
lFx x xu u ut
ii i n j m
,
11
66
получаем формулу для определения соответствующей координаты
p
t
l
i
x
,
i
как изображено на рис. 3.11, или в векторно-матричной форме записи
на основании метода, рассмотренного ранее в разделе 1:
xFxu
,,t
,
yGxu , (3.2)
,,t
где
G
colon
colon
F
G
i
n
F
k
1
i
x
x
n
– n-мерная вектор-функция состояния;
i
1
i
– k-мерная вектор-функция выхода.
u
1
u
u
1
...
F
t
m
j
...
l
1
i
)(
i
p
x
i
Рис. 3.11. Детализированная структурная схема i-го
канала детерминированной нелинейной системы
Векторное дифференциальное уравнение первого порядка является
аналогом уравнения (3.1), а второе алгебраическое уравнение отвечает
за многомерный выход
u
y, как показано на рис. 3.12.
x
1
),,(tuxF
E
p
x
y
),,(tuxG
Рис. 3.12. Структурная схема многомерной нелинейной
системы
67
В рамках модели (3.2) отдельным подклассом выделяют многомер-
x
x
x
x
ные нелинейные системы с аддитивным вхождением вектора управлений
(,) (,)tt
xFx Bxu. (3.3)
В структурной схеме нелинейной САУ не допускается переноса
точек съема информации или перемены мест каких-либо блоков с
характеристиками ()yfx
, так как текущая величина их выхода
зависит от амплитуды входного воздействия. Однако если в составе
системы можно выделить участки только с линейными динамическими звеньями, то их можно отдельно преобразовывать на основании соответствующих правил, так же как и в случае нелинейных
элементов, которые должны оставаться на своем месте и
могут соединяться тремя основными способами, а именно последовательно,
параллельно или с охватом отрицательной (положительной) обратной связью.
При последовательном соединении
(рис. 3.13) координатная ось входа
статических нелинейностей
n
первой графической зависимо-
1
сти разбивается на дискретные значения, для которых затем определяют соответствующие величины выхода
, являющегося входным
2
воздействием второго звена и т. д. В итоге в результате прохождения
всей цепочки из n звеньев получается общая нелинейность вида
()
fx
11
n
, что показывает рис. 3.14, б.
x
x
1
1
x
x
2
2
)(1xf
)(1xf
x
x
3
3
)(2xf
)(2xf
x
x
1n
1n
xf
xf
x
x
n
n
)(
)(
1n
1n
Рис. 3.13. Последовательное соединение статических нелинейных элементов
x
x
1n
)(nxf
)(nxf
1n
При 3n можно воспользоваться более простым графоаналити-
ческим методом, основанным на использовании плоскости. На начальном этапе в двух или трех квадрантах изображают соответствующие нелинейные зависимости в порядке очередности их сле-
дования, а затем, разбив на дискретные значения общий вход
,
1
последовательно против часовой стрелки обходят все характеристики и, таким образом, получают набор точек результирующей нелинейности (рис. 3.15).
68
x
x
x
i
n
)(11xfx
1
)(
xfx
1 ii
0
0
а б
Рис. 3.14. Преобразование «вход–выход» i-го звена и всего последова-
тельного соединения
x
2
)(12xfx
)(23xfx
x
3
x
1
0
)(13xfx
Рис. 3.15. Структурное преобразование двух
последовательно соединенных нелинейных звеньев
В случае параллельного соединения n статических звеньев
(рис. 3.16, а) задача построения общей зависимости существенно
упрощается. На первом этапе в одном и том же масштабе изображаются все кривые, и затем входной сигнал
значения
. Далее для каждого из них вычисляется величина выхода
i
разбивается на дискретные
сумматора на основании следующей формулы:
n
j
()
,
1
yfx
iji
69
где j – номер нелинейного звена, т. е. путем сложения проекций на
x
f
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
y
x
поперечную ось с соответствующим знаком (рис. 3.6, б).
)(1xf
)(1xf
)(1xf
x
x
x
)(xf
)(xf
)(xf
j
j
j
n
n
n
)(
)(
)(
y
y
y
)(
)(
)(
)(xf
)(xf
)(xf
а б
Рис. 3.16. Структурная схема при параллельном соединении нелинейных
звеньев (а) и графоаналитический способ их преобразования (б)
y
)(
y
)(xf
n
0
x
i
)(xf
j
)(1xf
При соединении с помощью обратной связи (рис. 3.17), в прямом
канале которого присутствует зависимость вида
()
обратной связи
связаны с входным воздействием x на основании следующего
и
2
fy, промежуточные координаты состояния
2
()yfx, а в цепи
1
равенства:
xx
,
12
1
откуда
xx
,
12
причем в последней формуле знак «минус» соответствует положительной обратной связи, а «плюс» – отрицательной.
1
1
)(
)(
x
x
2
2
)(1xf
)(1xf
Рис. 3.17. Структурная схема нелинейных звеньев, соединенных с помощью положительной (отрица-
)( yf
)( yf
тельной) обратной связи
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]