Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Теория управления особыми линейными и нелинейными непрерывными системами. Учебное пособие
.pdf
В результате этого искомые частота и амплитуда гармонического
x
сигнала на выходе позиционной САУ вычисляются по формулам:
12kT
a
1 фф
2
T
ф
,
A
a
2()
ibtT
m
(1 2 )
ф 1 фф
ф
kT
.
В итоге, задавшись желаемыми численными значениями парамет-
и фT , которые находятся в ведении разработчика и выбирают-
ров
ф
ся в соответствии с неравенством
12kT ,
1 фф
окончательно получаем
2()
a
1
,
T
ф
A
a
ibtT
m
ф
ф
,
т. е. частота переключения релейного регулятора положения как в переходном, так и в установившемся процессе обратно пропорциональна
постоянной времени
T .
ф
В заключение необходимо отметить, что помимо технической регуляризации идеального скользящего режима дифференцирующий
фильтр осуществляет текущую оценку второй координаты состоя-
ния
(угловой скорости якоря) и позволяет упростить структуру
2
электромеханической системы за счет исключения из ее состава датчика частоты вращения.
6.4. Тестовые задания
6.4.1. Дополните
Режим работы релейной САУ, при котором фазовые траектории
направлены навстречу друг другу, а управление имеет бесконечно
большую частоту переключений, называется _______________.
131
6.4.2. Отметьте правильный ответ
s
Динамические свойства управляемой переменной автономной САУ
с линейной частью второго порядка на участке скольжения описываются…
а) однородным дифференциальным уравнением первого порядка;
б) неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка;
в) неоднородным дифференциальным уравнением третьего порядка;
г) алгебраическим нелинейным уравнением.
6.4.3. Отметьте правильный ответ
Необходимое и достаточное условие существования скользящего
режима вдоль малой окрестности поверхности переключения управлений ()
x имеет вид…
а) ()() 0
ss xx
б) ()() 0
ss xx
; в) ()() 0ss
xx
; г) ()() 0ss xx.
;
6.4.4. Отметьте правильный ответ
В нелинейных САУ с разрывным управлением управляющее воздействие формируется в соответствии с законом…
()
ds
m
m
()
x ;
uus x ;
а)
б) ( )
uusdt
uu
в)
uu s
x .
г) sign ( )
x
m
m
;
dt
6.4.5. Отметьте правильный ответ
Параметрическая стабилизация частоты и амплитуды автоколебаний выходной переменной в реальном скользящем режиме осуществляется при помощи выбора релейного регулятора с характеристикой…
а) «двухпозиционного реле с зоной нечувствительности»;
б) «двухпозиционного реле с гистерезисом»;
в) «ограничения с зоной нечувствительности»;
г) «идеального двухпозиционного реле».
132
6.4.6. Отметьте правильный ответ
Для исключения влияния параметров ОУ на частоту переключения
управлений параметры дифференцирующего фильтра второго порядка
должны удовлетворять неравенству…
а)
21kT; в)
1 фф
б)
21kT; г)
1 фф
21kT
1 фф
21kT
1 фф
;
.
6.4.7. Отметьте правильный ответ
Помимо технической регуляризации скользящего режима дифференцирующий фильтр в канале отрицательной обратной связи одномерной САУ выполняет функцию…
а) увеличения запасов устойчивости по модулю и фазе;
б) оценки неизменяемых координат состояния;
в) частичной компенсации «большой» постоянной времени ОУ;
г) достижения желаемой статической точности.
Ответы: 6.4.1 – идеальным скользящим; 6.4.2 – а); 6.4.3 – б); 6.4.4 – г);
6.4.5 – б); 6.4.6 – г); 6.4.7 – б).
Вопросы для самоконтроля
1. Поясните особенности идеального скользящего режима и пере-
числите его основные достоинства.
2. Изобразите обобщенную структурную схему релейной САУ одноканальным ОУ произвольного вида с линейным вхождением вектора
управления.
3. Сформулируйте необходимое и достаточное условие существования скользящего режима.
4. Получите формулу для определения эквивалентного управле-
u при движении изображающей точки системы вдоль малой
ния
eq
s
окрестности поверхности переключений управления () 0
5. Запишите дифференциальное уравнение, описывающее динами-
ку выходной переменной линейной непрерывной САУ второго порядка в скользящем режиме.
6. Поясните влияние коэффициента передачи канала безынерционной отрицательной обратной связи по выходу САУ с регулятором в
x .
133
виде «идеальное двухпозиционное реле» и линейной частью второго
порядка на граничные значения участка скольжения.
7. Перечислите способы параметрической стабилизации частоты
переключений релейного регулятора при технической регуляризации
идеального скользящего режима.
8. Опишите функциональное назначение дифференцирующего
фильтра в составе САУ с разрывным управлением.
134
ГЛАВА 7
x
x
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ
НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
7.1. Общие вопросы устойчивости
Как было рассмотрено в первой части пособия [5], устойчивость и
качество переходных процессов в линейных структурах однозначно
определяется распределением корней характеристического уравнения
на комплексной плоскости. В непрерывных САУ, которые содержат в
своем составе элементы с нелинейными характеристиками ()
динамические режимы работы гораздо сложнее и многообразнее, так
как текущее значение выхода зависит от величины внешнего воздействия или ненулевых начальных условий, и поэтому к ним неприменим принцип суперпозиции. В этой связи при решении задач на устойчивость в системах данного класса используются математические мо-
дели, представленные в отклонениях
подлежащего анализу, от
возмущенного, к которому относится любой
невозмущенного движения
другой закон изменения во времени исследуемой переменной ()
() () ()
tytyt,
iii
*
yfx
*
()
yt,
i
yt
i
,
где ()
t – вариация i-й координаты, или при переходе к вектору
i
состояния вида (1.1)
xx xx .
12
В зависимости от интервала численных значений координат ()
различают
асимптотическую устойчивость «в малом», «в большом» и
т
n
tx
«в целом», т. е. когда при t система устойчива при бесконечно
малых, конечных и неограниченных отклонениях от состояния равновесия соответственно, а также отдельно выделяют
135
абсолютную устой-
чивость, которая справедлива для ограниченного диапазона статиче-
f
x
x
x
f
ских нелинейностей, удовлетворяющих следующему неравенству:
()
rk – некоторые действительные числа, или иначе для всех зави-
где ,
симостей ()
x , расположенных внутри сектора (, )rk с углом
arctg arctg
образованным прямыми линиями
rx f x kx ,
kr ,
rx и kx при rk
, что показывает
рис. 7.1.
В свою очередь, для оценки динамических свойств алгебраического вектора ()
ной устойчивости
где
() () ()tttxxx
tx во временной области введено понятие экспоненциаль-
t
() ( )
tcte
xx ,
T
– евклидова норма; const 0c
0
– некоторая
постоянная величина, масштабирующая начальные условия;
const 0 – показатель степени, характеризующий темп затуха-
ния ()
t .
i
)(
kx
rx
0
Рис. 7.1. Статические нелинейности,
заключенные в секторе (
r, k)
В 1892 г. профессор Харьковского университета, академик Петербургской Академии наук А.М. Ляпунов (1857–1918) впервые сформу-
136
лировал общее определение устойчивости и предложил два метода для
t
ее определения:
– невозмущенное движение 0
значении
число
0 , сколь угодно оно бы не было мало, существует такое
, зависящее от , что при начальных условиях
0
x устойчиво, если при заданном
()
xt ,
0
i
при дальнейшем движении 0tt будет всегда соблюдаться неравенство
()
xt ,
i
в противном случае оно неустойчиво.
x
2
)(tx
0
x
1
t
0
0
x
Рис. 7.2. Графическая иллюстрация общего усло-
вия устойчивости, по А.М. Ляпунову, для дву-
мерной системы
()tx
Графическая интерпретация данного определения для двумерного
вектора
()txxx
12
из которого видно, что изображающая точка, находящаяся при
внутри цилиндра радиусом
всегда находится в малой окрестности 0
гда ее не покидает, т. е.
T
в функции времени представлена на рис. 7.2,
tt
, на бесконечно большом промежутке t
x , зависящей от
, и нико-
невозмущенное движение устойчиво, если при
0
достаточно малых начальных отклонениях вызванное ими возмущен-
137
ное движение сколь угодно мало отличается от невозмущенного, при-
f
чем оно асимптотически устойчиво, если при t выполняется
предельное требование
lim ( ) 0
Под
возмущением, по А.М. Ляпунову, понимается любое малое
начальное приращение
в траектории движения
xt
i
t
() ()
yt y t
ii
при котором справедливо неравенство 0
.
*
()
yt
i
*
,
x .
7.2. Первый метод анализа устойчивости
А.М. Ляпунова
Первый метод А.М. Ляпунова применяется для анализа устойчивости многомерных нелинейных САУ, динамика которых описывается
следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений в
нормальной форме Коши:
dx
i
dt
или в векторно-матричной форме
xx x
, 1,in , (7.1)
12
in
() colon ()
xFx x
n
f
i
,
1
i
в случае их линеаризации относительно некоторого исходного состояния, соответствующей появлению возмущенного движения в момент
времени
tt ,
0
()
txx xxx .
01020 0 0
Приняв в качестве
x начало координат пространства соответ-
0
T
n
ствующей размерности, применительно к которому какие-либо откло-
138
нения отсутствуют и 0() 0
x
f
x , далее разложим правую часть урав-
i
x
нения (7.1) в ряд Б. Тейлора:
где
начиная со второго и выше;
xax
iiijji
– функция, включающая в себя члены высокого порядка,
i
()
ffff
iiii
T
x
T
x
x
0
x
x
x
0
a – коэффициенты, определяемые как
ij
xx x
12
()
f
x
i
n
j
1
,
n
, 1,jn ,
aa a
ii in
12
которые получаются путем подстановки в результат дифференцирования нулевых значений
После исключения из последующего анализа
модель САУ в
первом приближении принимает следующий вид:
dx
i
dt
или с учетом многомерности алгебраического вектора
где
T
x
– матрица К. Якоби (Carl Gustav Jacob Jacobi, 1801–
0
x
Fx
A
1851) размерностью dim
(невозмущенное движение).
i
ax a x a x
11 2 2
ii inn
, 1,in ,
xAx
nn
A :
,
математическая
i
x
ff
11
xx
1
Fx
x
T
A
0
x
ffaa
nnnnn
xx
1
139
aa
n
n
11 1
1
n
,
в результате чего по конкретному виду собственных чисел матрицы A ,
x
или иначе корней характеристического полинома
pa a a
11 12 1
apa a
() det
Dp p
EA
21 22 2
aa pa
12
nn nn
n
n
,
можно сделать вывод об устойчивости линеаризованной системы на
основании следующих теорем, доказанных А.М. Ляпуновым.
Если вещественные части всех корней характеристического
1.
уравнения первого приближения отрицательны, то невозмущенное
движение
0x асимптотически устойчиво независимо от членов
выше первого порядка малости.
2. Если среди корней характеристического уравнения первого при-
ближения найдется хотя бы один с положительной вещественной
частью, то невозмущенное движение
от членов выше первого порядка малости.
3.
Если среди корней характеристического уравнения имеется
неустойчиво независимо
0x
один или несколько корней с нулевой вещественной частью при
остальных с отрицательной, то сделать вывод об устойчивости невозмущенного движения
0
x по линеаризованной модели нельзя.
Последний случай корней характеристического уравнения является
критическим, и для его анализа необходимо исследовать полную си-
стему нелинейных дифференциальных уравнений вида (7.1).
Пример 7.1
рой в отклонениях задано в следующем виде:
После выполнения линеаризации исходной модели относительно точки
равновесия
A
. Исследовать устойчивость двумерной САУ, состояние кото-
() 2 3 ,
fxxx
xf xxx
() 0 0txxx с помощью матрицы К. Якоби
01020
ff
11
Fx
x
T
x
xx
12
ff
22
0
xx
12
x
11 1 21
x
() .
22 122
T
T
25 3
x
0
5
2
4
x
1
112
x
2
x
0
23
11
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]