Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Теория управления особыми линейными и нелинейными непрерывными системами. Учебное пособие
.pdf
k
р
2
()
Wp k
КУ 4
Tp T p aT pT p
213 т 13 13
откуда окончательно получаем
Tp T
()
Wp
КУ
22
aT k p aT k aT k p
т 13 раз т 13 раз т 13 раз
k
13
11 (1)
1
1
,
1
,
где
kkkkk
раз 1234
мкнутом состоянии.
В итоге, как видно из последнего равенства, последовательное КУ представляет собой параллельное соединение безынерционного и интегрирующего
звеньев (ПИ-регулятор). Применение ПИ-закона обеспечит нормированный
переходный процесс по выходу с
4,14tT
p13
.
– коэффициент передачи контура регулирования в разо-
%4,32%
и временем регулирования
2.2. Способы повышения статической точности САУ
при последовательной коррекции
Уменьшить статическую ошибку регулирования ()yt можно за
счет увеличения коэффициента передачи САУ в разомкнутом состоянии, реализуемого путем включения в прямой канал пропорционального регулятора. Однако такой подход приводит к уменьшению запасов устойчивости по модулю ()
рис. 2.10, из которого видно, что чрезмерное повышение
привести к расходящимся во времени процессам и, как следствие, не-
работоспособности системы.
Вместе с тем для обеспечения астатического регулирования по задающему и возмущающему воздействию необходимо в прямой канал
последовательно с ОУ включать интегрирующее звено, имеющее фазовый сдвиг во всей области частот –90°, что приводит к смещению
ФЧХ в
разомкнутом состоянии влево от частоты среза
величины () (рис. 2.11, пунктирная линия). При этом необходимо
отметить, что увеличение порядка астатизма системы, например за
счет включения двух интегрирующих звеньев (начальный фазовый
L
и фазе ()
, что показывает
k может
аз
и снижению
c
41
сдвиг ) у объекта без форсирующих свойств, будет приводить к не-
L
L)(
L
устойчивому состоянию САУ.
)(
*
lg20 k
раз
lg20 k
раз
0
сопр
T
c
1
lg
)(
)(
Рис. 2.10. АЧХ и ФЧХ в логарифмическом масштабе
при увеличении коэффициента передачи системы в разом-
кнутом состоянии
20
)(
lg20 k
раз
c
0
сопр
T
1
lg
)(
)(
L
)(
Рис. 2.11. ЛАЧХ и ФЧХ системы при допол-
нении прямого канала САУ последовательным КУ в виде интегрирующего звена с еди-
ничным коэффициентом передачи
42
Компромиссным вариантом выбора структуры КУ является одно-
p
временное сочетание в законе управления как самой ошибки ()
yt
и ее интеграла:
, так
kTp
где
()
Wpk k
КУ КУ1 КУ1
, kk – коэффициенты передачи П- и И-составляющих про-
КУ1 КУ2
КУ2 КУ
порционально-интегрального КУ соответственно;
1
Tp
, (2.2)
КУ
Tkk
КУ КУ1 КУ2
–
постоянная времени изодрома.
На рис. 2.12. изображена структурная схема ПИ-регулятора, а на
рис. 2.13 и 2.14 – его ЛАЧХ и переходная характеристика.
v
k
КУ1
)(
y
Рис. 2.12. Структурная схема ПИ-регулятора
KУ
1
pT
u
k
20lg 20lg
kT
КУ2
КУ1
КУ
0
Рис. 2.13. ЛАЧХ пропорционально-интегрального КУ
)(L
20
T
сопр КУ
0
lg
1
1
43
k
КУ1
()ht
arctg k
КУ2
t
0
Рис. 2.14. Переходная характеристика КУ
с передаточной функцией (2.2)
2.3. Оценка влияния малого параметра
на устойчивость линейной непрерывной системы
Одним из наиболее эффективных подходов к улучшению статической точности регулирования с одновременным повышением быстродействия переходных процессов является увеличение коэффициента
передачи САУ в разомкнутом состоянии, который в пределе желательно приближать к бесконечности:
1
где 0
– малый параметр.
k
paз
Помимо этого в целях упрощения исходной математической модели ОУ или реального физического процесса довольно часто пренебрегают «малыми» постоянными времени динамических звеньев в силу их
незначительности на фоне остальных коэффициентов дифференциального уравнения, например при последовательном соединении апериодических звеньев (см. пример 2.1). Учет влияния больших коэффициентов,
или малых величин, на устойчивость линейной непрерывной
САУ произведем путем преобразования характеристического уравнения системы к следующему виду:
,
() () () 0Dp Ap Bp
, (2.3)
44
здесь (),()Ap Bp – полиномы n-го и m-го порядка вида
A
B
p
()
pap ap apa
()
pbp bp b pb
nn
,
01 1
mm
.
01 1
1
1
nn
mm
Для анализа распределения корней (2.3) на комплексной плоскости
осуществим при помощи 0
переход к вырожденному характери-
стическому уравнению
() 0
Dp bp bp b p b
mm
. (2.4)
01 1
1
mm
Практический интерес с точки зрения устойчивости представляет
случай, когда все корни имеют отрицательную вещественную часть
и выполняется неравенство nm , т. е. m корней (2.3) будут стре-
миться к
m корням вырожденного уравнения, а оставшиеся nm
будут уходить в бесконечность, приближаясь к ней тем ближе, чем
меньше 0
.
Первоначально преобразовав уравнение (2.3) к виду
()
Dp a p ap a p a
nn
01 1
11
nn
1
mm
bp bp b p b
01 1
mm
0,
выполним замену оператора дифференцирования
в соответствии со
следующей формулой:
p
nm
q
,
1
откуда
nm
1
nn
n
45
1
nn
()
Dq a a a a
qq q
01 1
nn m n m
11
mm
D
D
qq q
bb b b
01 1
mm
11
nm nm
1
.
mm
1
1
1
nm
1
0
В итоге после умножения последнего равенства на коэффициент
m
1
1
()
nn m
nm
получаем следующее выражение для ()
11
() 1 (1)
nnm n nn m
aq aq a q a bq
01 1 0
или при 0
1
() 1
nm m
(2.5)
aq bq a b aq b
00 0 00 0
bq b q b
11
n
nm nm
q
.
m
q
q :
1
n
nm
nn
1
mm
nm nm
mm
0,
0
В зависимости от численных значений коэффициентов и порядков
исходного и вырожденного характеристических уравнений возможны
три различные ситуации корней ()
q
q при 0:
nm
,
b
0
a
0
а именно:
1nm. В этом случае имеет место один вещественный ко-
, который будет отрицательным, если соблюдается неравенство
рень
1)
q
b
0
0
; (2.6)
a
0
46
2) 2nm. При данной разности порядков и соблюдении нера-
венства (2.6) получаем пару чисто мнимых корней
qj
Для оценки движения данных корней к мнимой оси при 0
bb
00
aa
00
.
про-
анализируем выражение (2.5) с учетом первого порядка приближения,
2
обнулив все члены с
и более высоким показателем степени, т. е.
nm
11
() 0
Dq aq aq bq bq
nnmm
.
010 1
Разделив последнее равенство на
22
11
1mq
с учетом того, что 2nm
,
получим
11
32
() 0Dq aq aq bq b
0101
22
.
В рамках алгебраического критерия А. Гурвица (Adolf Hurwitz, 1859–
1919) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
11
22
,
10 0 1
0ab a b
или
ab
3)
3nm. В последнем случае имеем три корня
11
ab
00
3
,
q
0
; (2.7)
b
0
a
0
из которых хотя бы один будет положительным вещественным.
Таким образом, для оценки устойчивости по вырожденному характеристическому уравнению (2.4) необходимо соблюдение неравенства
47
2nm и выполнение вышеприведенных условий (2.6) и (2.7).
D
xx
В противном случае малым параметром
ется исследовать знак вещественной части корней по ()
пренебрегать нельзя и требу-
p вида (2.3).
2.4. Синтез линейных непрерывных систем
со звеном чистого запаздывания
Процесс функционирования большинства реальных САУ сопро-
вождается временной задержкой воспроизведения выходной коорди-
:
наты на величину
yt kut t
() ( ), ,
() 0, ,
yt t
(2.8)
что объясняется особенностями прохождения и преобразования сигналов различного рода физическими устройствами.
В качестве реального примера системы с запаздыванием можно
привести измерительный канал в составе прокатного стана (рис. 2.15).
Проходя через валки В1 и В2, лист, движущийся с постоянной скоростью const
v , изменяет свою толщину от начального значения до ве-
личины
h , текущая информация о которой поступает в управляющее
устройство через временной интервал
l
,
v
l – расстояние между валками и бесконтактным датчиком толщи-
где
ны ДТ.
Пусть в некоторой произвольной точке А, находящейся после валков, толщина листа равна
времени
t лист переместится в точку Б с координатой
(,)hxt. По истечении малого промежутка
A
, при-
чем его толщина останется неизменной, т. е.
(,) ( , ) (,)hxt hx xt t hxt
A Б
.
48
l
t
r
t
cons
t
x
x
x
x
v
В
1
cons
ДТ
)(th
)(th
В2
cons
Рис. 2.15. Упрощенная функциональная
схема подсистемы измерения толщины
листа прокатного стана
В этот же момент времени
часть заготовки, для которой справедливо
чего частная производная измеряемого параметра по пройденному
расстоянию
h
lim lim
xx x
xx
определяется как
( , )(, ) (,)(, )
h x xt t h xt t h xt h xt t
Б AAA
00
При постоянстве поступательной скорости const
угловой скорости вращений валков const
где
r – радиус валка, справедливо равенство .
в точку А переместится другая
tt
(, )hxt t
A
, в результате
v
, зависящей от
,
vr
,
vt
С учетом этого
.
1(,)(,)1
hhxthxtth
lim
vtvt
0
t
,
или
1
hh
vt
0
.
Таким образом, динамические свойства рассматриваемого канала
измерения описываются линейным дифференциальным уравнением
49
первого порядка с частными производными (система с распределен-
ными параметрами).
Для получения передаточной функции звена чистого запаздывания
разложим правую часть первого уравнения системы (2.8) в ряд К. Маклорена (Colin Maclaurin, 1698–1746) как
()
() () ()
( ) () () () ()
ut ut
ut ut u t
2
1! 2 ! !
n
n
,
n
или в операторной форме записи
ut u e u
()1 ()
pp p
1! 2 ! !
2
() ()
,
n
p
n
откуда
p
()
Wp ke
. (2.9)
На основании равенства (2.9) характеристический полином, отвечающий за свободное движение выходной переменной звена чистого
запаздывания
()
Dp e ,
p
имеет бесконечное множество корней с бесконечно большой отрицательной вещественной частью.
Как было рассмотрено ранее, наличие временной задержки в прохождении сигнала снижет запасы устойчивости по модулю ()
и, как следствие, ухудшает качество переходных процес-
фазе ()
L и
сов, для улучшения которого в практических приложениях структура
КУ дополняется линейным упредителем, или предиктором.
На рис. 2.16 изображена структурная схема линейной непрерывной
САУ со звеном чистого запаздывания, в которой передаточная функция последовательного КУ принимается в виде
()
Wp
Wp
КУ
()
1()()
p
WpWp
py
, (2.10)
где
()Wp – передаточная функция регулятора, обеспечивающего же-
p
лаемые показатели качества переходного процесса по управляемой
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]