Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Теория управления особыми линейными и нелинейными непрерывными системами. Учебное пособие
.pdf
Порядок получения результирующей нелинейной зависимости
x
x
x
x
x
x
x
()yfx при данном способе соединения подчиняется следующей по-
следовательности действий.
1. Первоначально выполняется построение статических нелинейно-
стей в прямом канале
причем по оси абсцисс одновременно откладываются вход
жуточные координаты
()yfx и канале обратной связи
1
,
x
в одном и том же масштабе.
12
()
fy,
2
и проме-
2. На следующем этапе выход y разбивается на дискретные значе-
ния с равным шагом
численные величины
y и затем при const
i
и
1i
.
2i
y
i
графически определяют
3. Далее с учетом знака обратной связи по формуле
xx
12ii i
вычисляют входное воздействие и, таким образом, получают точку
суммарной нелинейной характеристики.
При этом, как видно из рис. 3.18, отрицательная обратная связь
(кривая 1) уменьшает крутизну ()yfx
, а положительная (кривая 2),
наоборот, ее увеличивает.
y
)(2yfx
2
2
)(1xfy
y
i
0
Рис. 3.18. Графические зависимости
при преобразовании нелинейностей
с обратной связью
ix2
ix1
71
1
1
iixx21
Изложенные выше подходы к преобразованию соединенных раз-
x
xf
x
f
x
x
x
x
f
личными способами статических нелинейных элементов в одно эквивалентное звено позволяют представить САУ в стандартном виде
(рис. 3.19). Если из-за наличия перекрестных связей в структуре автономной системы не удается разделить между собой линейную ЛЧ и
нелинейную НЭ части, то в этом случае
используют подход, основанный на дифференциальном уравнении, которое связывает между собой
выходы НЭ и ЛЧ, что иллюстрирует приведенный ниже пример 3.3.
НЭ
0v
)(
)(
ЛЧ
)(
)(лчpW
Рис. 3.19. Структурная схема нелинейной САУ
в стандартном виде
Пример 3.3. Преобразовать нелинейную САУ, изображенную на рис. 3.20,
к стандартному виду. В соответствии с исходной структурной схемой дифференциальное уравнение в операторной форме записи, связывающее между
собой вход и выход нелинейного элемента НЭ, находится как
() ()() () () () ()
Wp Wpfx y WpW p W p fx ,
13 132
в результате чего линейная часть будет включать в себя три звена, связанных
между собой с помощью параллельного и последовательного способов соединения (рис. 3.21).
НЭ
72
)(
y
)(2pW
)(3pW
)(
0v
)(
Рис. 3.20. Исходная структурная схема нелинейной САУ
)(1pW
)( yf
f
)(3pW
ЛЧ
НЭ
y
0v
)(
Рис. 3.21. Преобразованная структурная схема нелинейной САУ
)(f
в стандартном виде
)(2pW
)(1pW
y
3.5. Тестовые задания
3.5.1. Дополните
Замена нелинейной системы уравнений эквивалентной ей линейной называется _______________.
3.5.2. Отметьте правильный ответ
Нелинейная статическая характеристика, которая удовлетворяет
равенству () ( )
а) несимметричной;
б) симметричной относительно оси абсцисс;
в) симметричной относительно начала координат;
г) четно-симметричной.
xfx, является…
3.5.3. Дополните
Статическая нелинейность, у которой при одной и той же величине
входа выходная переменная может принимать несколько различных
значений в зависимости от предыдущего состояния, называется
_______________.
3.5.4. Отметьте правильный ответ
Типовая статическая характеристика, изображенная
на рисунке,
носит название…
а) «зона нечувствительности»;
73
f
x
t
)(
x
f
x
б) «ограничение»;
в) «идеальное двухпозиционное реле»;
с
г) «люфт».
с
3.5.5. Отметьте правильный ответ
К неоднозначным статическим характеристикам относится…
а) «идеальное двухпозиционное реле»;
б) «ограничение»;
в) «двухпозиционное реле с гистерезисом»;
г) «зона нечувствительности».
3.5.6. Дополните
()
Временная зависимость
x
в виде последовательности прямо-
вх
угольных импульсов со сдвигом относительно входного гармонического воздействия
()
t , которые изображены на рисунке, присут-
вх
ствует на выходе типового статического нелинейного звена
_______________.
)(),(
txxf
вхвх
c
)(вхxf
a
a
c
)(вхtx
74
3.5.7. Отметьте правильный ответ
x
Математическая модель состояния многомерной нестационарной
нелинейной САУ с аддитивным вхождением вектора управления описывается векторным дифференциальным уравнением вида…
а)
б)
в)
xAxBu
г)
Ответы: 3.5.1 – линеаризацией; 3.5.2 – г); 3.5.3 – неоднозначной;
3.5.4 – в); 3.5.5 – в); 3.5.6 – «двухпозиционное реле с гистерезисом»;
3.5.7 – а).
,,ttxFx Bx u;
ttxA xB u;
,,txFxu;
.
Вопросы для самоконтроля
1. Приведите примеры реальных ОУ и технических систем в машиностроительной отрасли, состояние которых в процессе эксплуатации
описывается нелинейными уравнениями.
2. Перечислите особенности преобразования входного воздействия
нелинейными элементами, а также их квалификационные признаки.
3. Сформулируйте базовые положения метода линеаризации нелинейной функции, основанного на ее разложении в ряд Б. Тейлора относительно
нелинейную систему в пространстве состояний в общем виде, а также
при линейном аддитивном вхождении вектора управлений.
нейных звеньев, а также изобразите их характеристики ()yfx
и временные зависимости выхода в случае приложения внешнего гар-
монического воздействия.
нейных и нелинейных непрерывных систем.
малой окрестности точки
4. Изобразите структурную схему, описывающую многомерную
5. Запишите аналитические выражения типовых статических нели-
6. Поясните отличие в правилах структурного преобразования ли-
.
0
75
7. Объясните последовательность действий при построении резуль-
тирующей статической характеристики «вход–выход» в случае различных способов соединения нелинейных звеньев.
8. Проиллюстрируйте на примере САУ с одной нелинейностью и
перекрестными связями правила преобразования структурной схемы к
стандартному виду.
76
ГЛАВА 4
F
x
x
x
x
МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ
4.1. Общие вопросы представления нелинейных САУ
в пространстве состояний
Как указывалось в предыдущей главе, в наиболее общем виде математическую модель нелинейной многомерной нестационарной системы в векторно-матричной форме записи можно представить в форме (3.2), в которой дифференциальные уравнения состояния в форме
Коши имеют вид
dx
i
(, , , ; )
xx x t
, 1,in . (4.1)
in
dt
12
Если в
каждой из осей отложить мгновенное
значение ()
n-мерном пространстве по
t , полученное после инте-
i
M
M
3
3
0
0
грирования правых частей уравнения (4.1), то произвольному моменту
x
времени можно поставить в соответствие
изображающую точку. Геометри-
0 1
0
x
1
ческое место таких точек при изменении
x
x
2
состояния системы получило название
фазовой траектории (рис. 4.1). В слу-
чае различных ненулевых начальных
условий получается совокупность фазовых траекторий, называемая
портретом
, по которому можно наглядно проследить все возможные из-
менения каждой из координат ()
фазовым
t на временном интервале от 0 до
i
2
Рис. 4.1. Фазовая траектория
в трехмерном пространстве
.
При анализе всех возможных состояний нелинейной САУ целесообразно разделить все многообразие систем на
77
неавтономные и авто-
номные. В неавтономных системах характер динамических режимов
x
F
x
работы зависит от момента приложения и конкретного вида векторов
управления
u и возмущения f , а в автономных все внешние воздей-
ствия отсутствуют, причем в последнем случае представляется возможным исключить из последующего анализа
n
ход от уравнения (4.1) к 1
дифференциальным уравнениям с част-
t и осуществить пере-
ными производными на основании следующей формулы:
dx F x x x
1112
kk n
dx F x x x
1112
(, , , )
(, , , )
1, 1kn
, 11ik
n
(, , , )
xx
112
in
,
.
Данный аналитический прием позволяет рассматривать процесс,
протекающий в некоторой ограниченной области пространства состояний размерности 1
kn , бесконечно долго.
4.2. Двумерное пространство состояний
Наиболее простая геометрическая интерпретация текущего состояния нелинейной САУ получается в частном случае 2
нение (4.1) принимает следующий вид:
dx
1
(, ),
Fxx
dt
dt
2
112
xx
(, ),
212
dx
т. е. изображающая точка системы будет располагаться на фазовой
плоскости, представляющей собой двумерное координатное простран-
ство, в котором по продольной и поперечной осям откладываются
()xt и 2()xt соответственно. Для исключения времени выполним де-
1
ление второго уравнения на первое, в результате чего получаем дифференциальное уравнение фазовых траекторий
n
, когда урав-
dx F x x
2212
dx F x x
1112
(, )
, (4.2)
(, )
78
x
(, )
312
решение которого связывает между собой координаты
x
()xxx
12
T
на плоскости.
Точки, в которых правая часть уравнения (4.2) представляет собой
неопределенность в виде отношения нулей, называются особыми, т. е.
(, )0
Fxx, 1, 2i .
12
i
Из последнего равенства следует, что в данном случае дифференциалы переменных состояния также равны нулю, что соответствует
установившемуся процессу. В зависимости от конкретного вида
(, )
x
312
в САУ имеют место различные интегральные кривые, в свя-
зи с чем различают несколько типов особых точек.
4.3. Особые точки одномерных линейных
непрерывных систем
В качестве примера рассмотрим автономную линейную стационарную систему, состояние которой описывается следующим однородным
дифференциальным уравнением второго порядка:
21
0yayay
, (4.3)
которое после использования промежуточных переменных (1.3)
, xyx x
112
, (4.4)
преобразуется к виду
dx
1
x
,
dt
2
dt
2
ax a x
11 2 2
.
dx
В свою очередь, характеристическое уравнение системы, корни которого отвечают за мгновенную форму переходного процесса в САУ,
находится как
() 0Dp p ap a
2
, (4.5)
21
79
в результате чего уравнение фазовых траекторий принимает вид
xux
x
x
x
dx a x a x
21122
dx x
12
т. е. единственной особой точкой является начало координат
0x . Для решения уравнения (4.6) первоначально произведем за-
2
, (4.6)
0x
1
мену
21
в правой части и далее продифференцируем по
dx
2
dx dx
11
(4.7)
, откуда
1
du
ux
. (4.8)
1
В итоге после подстановки промежуточных равенств (4.7), (4.8) в
(4.6) окончательно получим следующее дифференциальное уравнение
с разделяющимися переменными:
du
ux a a a a
11212
dx x u
12
du
ux u a u a
121
dx
x
,
1
2
,
1
1
,
udu
2
uaua
21
dx
1
,
1
или по правилу Э. Безу (Étienne Bézout, 1730–1783)
где
C – постоянная интегрирования;
udu
**
up up
12
ln
C
,
1
**
, pp – корни квадратного
12
уравнения.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]