Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Теория управления особыми линейными и нелинейными непрерывными системами. Учебное пособие
.pdf
Если на комплексной плоскости изобразить АФЧХ линейной части
M
A
j
при изменении частоты от 0 до
1
нэ
()WA
, то в точках пересечения двух кривых будет
при varA
и на ней же построить годограф
выполняться равенство (5.9). Так как линеаризованная система находится на границе устойчивости, то в соответствии с базовыми положениями частотного критерия Г. Найквиста АФЧХ САУ в разомкнутом
состоянии
() ()Wj W A проходит через критическую точку 10j.
нэ
Если при небольшом положительном приращении амплитуды вектор
() ()Wj W A
охватывает критическую точку –1, то автоколебания
нэ
будут неустойчивы, в противном случае – устойчивы.
В практических расчетах применяют более простую графоаналити-
ческую формулировку, которая основывается на анализе величины модуля
, что показывает рис. 5.6.
() ()Wj W A в малой окрестности точек пересечения ()Wj и
нэ
1
()WA
нэ
)(
W
1
)(
AW
нэ
N
4
Im
Re
0
N
N
3
N
0
2
0
1
1
N
2
Рис. 5.6. АФЧХ линейной части САУ и нели-
1
нейный годограф
системы
()WA
линеаризованной
нэ
111
Если из начала координат комплексной плоскости провести два
N
N
N
N
M
луча
00
00
и
1
через точки
2
и
1
, которым соответствуют раз-
3
личные по знаку приращения амплитуды гармонического сигнала
на выходе САУ, то при увеличении A справедливо неравенство
00 ()
NWj, откуда
12
Wj
,
()
N
2
или после умножения левой и правой части на
()()1
Wj W A ,
NN
21
что соответствует охвату критической точки 10j
WA
()
нэ
нэ
1
N
1
()
WA получим
нэ
(неустойчи-
N
1
вость).
Аналогично для луча
при aAA
2
Wj
,
()
N
4
()()1
Wj W A ,
NN
43
WA
()
нэ
нэ
1
N
3
00
в результате чего АФЧХ линеаризованной САУ в разомкнутом состоянии проходит справа относительно 10j
, что соответствует устой-
чивости.
Обобщая вышеизложенное, можно заключить, что в точке
любое отклонение текущей величины амплитуды основной гармоники
от
A будет приводить к нарушению условия равновесия автоколеба-
a
ний. Применительно к другой точке пересечения
будет наблюдать-
ся обратная ситуация, на основании чего можно сформулировать следующее правило: периодические колебания в нелинейной САУ будут
устойчивы, если при устойчивости линейной части с астатизмом
112
нулевого или первого порядка и увеличении амплитуды гармонического
A
A
A
A
A
1
WA
сигнала годограф
нэ
выходит из контура линейной части
АФЧХ.
Пример 5.2. В соответствии с базовыми положениями приближенного
графоаналитического метода Л.С. Гольдфарба определить параметры устойчивого автоколебательного режима работы САУ с линейной частью третьего
порядка и статической нелинейностью типа «двухпозиционное реле с гистерезисом» (рис. 3.6). Гармонически линеаризованная передаточная функция
данного типового нелинейного звена приведена в приложении (см. формулу (П2)) и
находится как
() 4
WAp qA p p
нэ
(,,) () 1
qA c a a
Если выполнить замену оператора дифференцирования
1
Ж. Фурье
j , то обратная зависимость
1
()
WA
нэ
41
cj
()WA
нэ
A
2
aa
2
A
2
2
A
.
A
p на оператор
примет следующий вид:
,
или после умножения последнего равенства на комплексно-сопряженную величину с учетом знака
2
aa
1
1
() 1
WA j
нэ
444
ccc
1
Из последней функциональной зависимости следует, что
j
2
A
22 2
aa A
22
AA
Aaa
A
2
.
1
Im ( )WA
нэ
является постоянной величиной и не зависит от амплитуды входного
1
гармонического сигнала
. При
a
годограф
()WA
находится на
нэ
113
отрицательной мнимой полуоси и движется в начало координат, а при
A
A
A
a принимает значение 1(0, (4 ) )ja c
, после чего располагается
параллельно оси абсцисс, в пределе устремляясь в бесконечность. Таким образом, преобразованное уравнение гармонического баланса (5.9)
выполняется в точках 1 и 2, изображенных на рис. 5.7, причем точка 2
1
()WA
удовлетворяет критерию Л.С. Гольдфарба, так как кривая
возрастании
выходит из контура АФЧХ линейной части САУ.
при
нэ
Im
)(
jW
лч
0
Re
2
2
1
)(
AW
нэ
0
a
j
c
4
1
1
Рис. 5.7. АФЧХ линейной части и годограф
1
WA
САУ с нелинейностью типа «двух-
нэ
позиционное реле с гистерезисом»
Графоаналитический метод Р. Коченбургера (Ralph John Kochen-
burger, США, 1950 г.) базируется на видоизмененном уравнении гармонического баланса (5.6)
()
WA
.
нэ
В рамках данного метода численные значения
ются из точек пересечения зависимостей
1
()
Wj
()WA и
нэ
A и
a
определя-
a
1
()Wj
в соот-
ветствии со следующим правилом: если при увеличении амплитуды
годограф
()WA входит в замкнутый контур обратной зависимо-
нэ
сти АФЧХ линейной части с астатизмом первого или нулевого поряд-
114
ка, то такие автоколебания устойчивые, в противном случае – не-
устойчивые, что показывает рис. 5.8, на котором точка 2 удовлетворя-
ет данному критерию.
Im
)(нэAW
2
A
)(1jW
1
1
2
Re
0
0
Рис. 5.8. Обратная АФЧХ линейной части
и годограф
WA
нэ
Рассмотренные в данной главе графоаналитические методы
Л.С. Гольдфарба и Р. Коченбургера формулируют необходимое условие устойчивости автоколебаний только для систем с однозначными
нелинейностями и в общем случае неприменимы к неоднозначным зависимостям, хотя в практических расчетах приводят к правильным результатам.
5.4. Тестовые задания
5.4.1. Отметьте правильный ответ
Метод гармонической линеаризации базируется на разложении выходного сигнала нелинейного элемента в ряд…
а) П.А. Лорана;
б) Б. Тейлора;
в) Ж. Фурье;
г) К. Маклорена.
115
5.4.2. Дополните
A
Гипотеза фильтра низких частот линейной части соблюдается при
выполнении неравенства…
а)
Wjk Wj при 2,3,k
Wjk Wj
б)
в)
Wjk Wj при 2,3,k
г)
Wjk Wj при
при 2,3,k
;
;
;
,
2,3,k
здесь k – порядковый номер гармоники.
5.4.3. Дополните
Статические нелинейности, у которых коэффициент гармонической линеаризации ()qA
равен нулю, относятся к классу
_______________.
5.4.4. Отметьте правильный ответ
Гармонически линеаризованная передаточная функция, график которой в функции амплитуды входа A изображен на рисунке, относится к статической нелинейности типа…
)()(
нэ
AqAW
а) «двухпозиционное реле
с гистерезисом»;
б) «ограничение»;
в) «зона нечувствительности»;
г) «идеальное двухпозиционное
реле».
0
5.4.5. Отметьте правильный ответ
Уравнение гармонического баланса имеет вид…
а)
() ()1Wj W A;
нэ
116
б)
1
() () 1WjWA
;
нэ
() () 1Wj W A
в)
г)
нэ
1
() ()1WjWA
.
нэ
;
5.4.6. Отметьте правильный ответ
Коэффициент ()qA характеризует составляющую основной гармо-
ники выхода нелинейного элемента, сдвинутую относительно входно-
го воздействия на угол…
а) ;
б) 0;
в) / 2 ;
г)
/4 .
5.4.7. Дополните
Аналитический метод Е.П. Попова, предназначенный для определения устойчивости и параметров автоколебательного режима работы
нелинейной непрерывной САУ, базируется на частотном критерии
_______________.
Ответы: 5.4.1 – в); 5.4.2 – г); 5.4.3 – однозначных; 5.4.4 – г); 5.4.5 – в);
5.4.6 – б); 5.4.7 – А.В. Михайлова.
Вопросы для самоконтроля
1. Сформулируйте основные допущения, которые применяются при
гармонической линеаризации нелинейной САУ.
2. Дайте графическую интерпретацию гипотезы фильтра низких
частот применительно к АЧХ линейной части с различными порядками астатизма.
3. Перечислите основные ограничения, которые накладываются на
структуру и вид непрерывной САУ при практическом применении метода гармонической линеаризации.
4. Запишите в общем виде
эффициенты гармонической линеаризации ()qA и ()qA
формулы, по которым вычисляются ко-
нелинейных
функций.
117
5. Получите уравнение гармонического баланса по обобщенной
структурной схеме САУ в стандартном виде, а также с использованием
частотных характеристик системы в разомкнутом состоянии.
6. Изобразите годографы А.В. Михайлова на комплексной плоскости в случае различного вида корней характеристического уравнения
линеаризованной системы относительно малой окрестности начала
координат.
7. Объясните последовательность действий при
определении параметров автоколебательного режима работы САУ на основании аналитического метода Е.П. Попова.
8. Дайте определение устойчивости автоколебаний в соответствии
с правилами Л.С. Гольдфарба и Р. Коченбургера.
118
ГЛАВА 6
СКОЛЬЗЯЩИЕ РЕЖИМЫ РЕЛЕЙНЫХ САУ
6.1. Идеальный скользящий режим
В непрерывных САУ с дискретным по уровню, или иначе разрывным, характером управлений возникает особый вид движений, называемый скользящим режимом, который рассмотрим на примере линейного непрерывного ОУ второго порядка, описываемого дифференциальным уравнением вида (4.3) в форме Коши:
dx
1
,
x
dx
Сформируем скалярное управляющее воздействие в функции первой координаты состояния на основании закона вида
2
dt
2
ax a x u
dt
11 2 2
.
здесь
0a выбирается из условия пары вещественных корней с различны-
3
consta – коэффициент, численное значение которого при
3
ми знаками, а при
ufx ax
0a – комплексно-сопряженных корней с поло-
3
, (6.1)
131
жительной вещественной частью.
В результате этого получаем две линейные структуры с расходящимися процессами, соответствующими особым точкам типа «седло»
(см. рис. 4.7) и «неустойчивый фокус» (см. рис. 4.9).
Изменение знака
будет производиться, если выполняется одно из
u
двух условий:
0,
x
1
skx x
11 2
119
(6.2)
0,
где
бования нахождения прямой 0s
0k
– некоторый постоянный коэффициент, выбираемый из тре-
1
ниже сепаратрисы, или в более об-
щем виде
при 0,
ax xs
31 1
u
при 0.
ax xs
31 1
Как видно из рис. 6.1, изображающая точка из любого ненулевого
начального положения попадает на прямую (6.2)
111
0sx kx
и в дальнейшем не покидает ее окрестность, перемещаясь в точку равновесия (начало координат). Данный вид движения, при котором фазовые траектории направлены навстречу друг другу, а управления имеют
бесконечно большую частоту переключений и амплитуду, стремящуюся к нулю, называется идеальным скользящим режимом.
x
2
x
0
1
Рис. 6.1. Фазовые траектории нелинейной САУ
второго порядка со скалярным разрывным
управлением
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]