Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Теория управления особыми линейными и нелинейными непрерывными системами. Учебное пособие
.pdf
ГЛАВА 5
x
x
f
W
Ax
x
МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
5.1. Коэффициенты гармонической линеаризации
Широкое распространение при анализе процессов в нелинейных
САУ высокого порядка (
нической линеаризации, теоретические основы которого были заложены в 1934 г. советскими математиками Н.М. Крыловым (1879–1955)
и Н.Н. Боголюбовым (1909–1992) и в дальнейшем развиты отечественными учеными Л.С. Гольдфарбом (1910–1960), Е.П. Поповым (1914–
1999) и др. В основу метода положено предположение, что на выходе
автономной системы с одной нелинейностью возникают незатухающие
автоколебания (рис. 5.1)
НЭ ЛЧ
0v
( )
) получил приближенный метод гармо-
2n
sin
At
.
)(
tAfy sin
)( p
sin
t
Рис. 5.1. Структурная схема нелинейной САУ
В наиболее общем случае выходной сигнал нелинейного элемента
НЭ изменяется во времени по произвольному закону, в связи с чем линейная часть ЛЧ должна обладать свойством фильтра низких частот,
т. е. пропускать только первую, или основную, гармонику входа
(sin )yfA t, а все остальные – более высокого порядка – подавлять.
По причине того, что
проверку данного условия на начальном этапе
анализа состояния САУ выполнить нельзя, указанное выше допущение
101
получило название гипотезы фильтра низких частот линейной части.
На рис. 5.2 изображены АЧХ линейной части при наличии (кривая 1) и
отсутствии (кривая 2) нулевого полюса в передаточной функции ЛЧ,
удовлетворяющие вышеизложенной гипотезе, которая имеет место,
если
Wjk Wj
при 2,3,k
, (5.1)
причем из последнего неравенства следует, что для ЛЧ с форсирующими свойствами также необходимо, чтобы порядок полинома числителя ()Wp был ниже, чем старшая степень в многочлене знаменателя,
т. е.
Gjk
Djk
0
при k .
)(jW
1
2
0
Рис. 5.2. АЧХ линейной части нелиней-
ной САУ, иллюстрирующие гипотезу
фильтра низких частот
0
2
0
Далее рассмотрим частотный спектр (sin )yfA t
лебания
при помощи его разложения в тригонометрический
2/T
ряд Ж. Фурье:
B
yfA t A kt B kt
( sin ) sin( ) cos( )
0
2
kk
1
k
102
за период ко-
,
где
B
B
B
x
, ,
AB
0
AfAtktdt fAtktdt
k
– коэффициенты, соответственно определяемые как
kk
T
2
T
sin sin( ) sin sin( )
00
при 1, 2, 3
k
2/
,
T
2
fA t ktdt fA t ktdt
sin cos( ) sin cos( )
k
T
00
при 0,1,2,3
k
2/
В соответствии с принятым ранее допущением вида (5.1) исследуем прохождение основной гармоники по замкнутому контуру нели-
нейной САУ, для которой в случае симметричных колебаний (
0B
0
справедлива приближенная зависимость
(sin ) sin cosyfA t A tB t
.
11
В дальнейшем, воспользовавшись промежуточными коэффициентами
A
1
qAA ,
()
()
qA
1
,
A
перепишем последнее равенство к следующему виду:
()sin ()cos
yqAA tqAA t
.
Первое слагаемое в правой части представляет собой произведение
выхода системы sin
At
на ()qA, причем в силу того, что
sin 1
dt dx
cos
t
,
dt A dt
)
cos
1
tpx
A
,
окончательно получаем
() ()
yfA t qAx px qA px
(sin ) () ()
qA qA
103
,
(), ()qA q A
где
деляемые как
– коэффициенты гармонической линеаризации, опре-
2
qA f A d
qA f A d
1
() sin sin
() sin cos
A
0
2
1
A
0
, (5.2)
, (5.3)
здесь
t – фазовый угол первой гармоники.
Таким образом, пренебрежение на выходе линейной части высокочастотными членами ряда Ж. Фурье позволяет описать нелинейный
элемент
гармонически линеаризованной передаточной функцией сле-
дующего вида:
()
Коэффициент ()
(,,) ()
WAp qA p
нэ
qA характеризует выходную гармоническую со-
qA
.
ставляющую, совпадающую по фазе с входным воздействием нелинейного элемента, а ()
в зависимости от знака ()
qA
– сдвинутую на угол
qA
, причем для всех однозначных статиче-
вперед или назад
/2
ских характеристик, симметричных относительно начала координат,
справедливо равенство
(,,)WAp
нэ
4
A
() 0qA
/2
0
Пример 5.1. Получить
зависимость «вход–выход» которого изображена на рис. 3.3. В соответствии с
уравнением (5.2) и последним равенством, а также при ограничении интервала интегрирования четвертью периода можно записать
() sin sinqA f A d
.
идеального двухпозиционного реле,
,
104
откуда
A
A
A
D
или окончательно
что показывает рис. 5.3.
( ) cos cos cos 0
qA
44 4
cc c
/2
0
(,,) ()
WAp qA
нэ
нэ
AA
)()(
AqAW
2
4
c
, (5.4)
,
0
Рис. 5.3. Коэффициент гармонической
линеаризации статической нелинейности
«идеального двухпозиционного реле»
В соответствии с вышеизложенным можно сформулировать следующие основные требования и ограничения, накладываемые на практическое применение метода гармонической линеаризации:
1) характеристическое уравнение линейной части не должно иметь
чисто мнимых и «правых» корней, причем наличие нулевых полюсов
передаточной функции допускается;
2) должна выполняться гипотеза фильтра низких частот, которая
справедлива для большинства реальных
3) порядок входного линейного дифференциального оператора ()
Wp должен быть меньше, чем наибольшая степень полинома зна-
в ()
менателя ()
p ;
технических систем;
Gp
105
4) незатухающие автоколебания линеаризованной системы в пер-
f
x
вом приближении соответствуют границе устойчивости (паре чисто
мнимых корней при остальных с отрицательной вещественной частью), которое при необходимости может быть уточнено с помощью
анализа последующих гармоник более высокого порядка;
5) коэффициенты ()
qA и ()qA
в малой окрестности исследуе-
мой амплитуды основной гармоники должны изменяться достаточно
плавно;
6) при отсутствии форсирующих свойств линейной части САУ и
однозначной статической нелинейности автоколебания возникают при
, а в случае неоднозначной зависимости – при
3n
.
2n
Основным недостатком данного подхода к анализу состояний САУ
является отсутствие критериев точности получаемых результатов и
уверенности в правомерности замены функции (sin )
At
эквива-
лентным линейным коэффициентом, которое проверяется на заключительном этапе. Однако, как показывает практический опыт, с повышением сложности системы и ее порядка точность расчетов повышается.
5.2. Уравнение гармонического баланса
Воспользовавшись методом гармонической линеаризации, предварительно приняв допущение о присутствии на выходе нелинейной системы (см. рис. 5.1) незатухающих автоколебаний, представим линеаризованную структуру в виде, изображенном на рис. 5.4, в соответствии которым дифференциальное уравнение САУ в замкнутом состоянии находится как
() () (,,)
Wpy WpW Ap x
,
нэ
откуда
() (,,) 1WpW Ap
нэ
, (5.5)
или при переходе в частотную область
() () 1Wj W A
нэ
106
. (5.6)
НЭ ЛЧ
x
x
Рис. 5.4. Структурная схема гармонически
Равенством (5.6) описываются условия существования автоколебаний, и оно носит название
Аналогичный результат можно получить, если воспользоваться частотным критерием устойчивости Г. Найквиста (Harry Nyqvist, 1889–
1976), в соответствии с которым в линейной непрерывной системе при
наличии в характеристическом уравнении пары чисто мнимых корней
с остальными «левыми» АФЧХ САУ в разомкнутом состоянии проходит через критическую точку – 1, т. е. выполняется требование
pAW
нэ
линеаризованной САУ
уравнения гармонического баланса.
y
),,(
)(pW
1
или при переходе к логарифмическому масштабу
() ()0LL ,
c нэ c
() () 1Wj W A
,
нэ
() ()
.
c нэ c
5.3. Определение устойчивости и параметров
автоколебательных режимов работы
нелинейной САУ
На основании уравнения (5.6) разработано несколько практических
приемов нахождения параметров гармонического закона изменения во
времени выхода нелинейной системы, включающих в себя аналитический метод Е.П. Попова и приближенные графоаналитические методы
Л.С. Гольдфарба и Р. Коченбургера, которые при наличии нескольких
найденных решений также позволяют определить их устойчивость, так
как при несоблюдении
клонение амплитуды (
приведет к исчезновению автоколебаний.
этих условий любое сколько угодно малое от-
частота в линеаризованной системе постоянна)
107
Метод Е.П. Попова применяется для САУ с 5n
M
p
M
M
M
A
и базируется на
анализе годографа А.В. Михайлова, который при нахождении системы
на границе устойчивости проходит через начало координат комплексной плоскости
( ) () () 0
Mj P jQ
,
M
т. е.
P
M
() 0
, () 0
Q .
M
Преобразуем выражение (5.5), являющееся одновременно характе-
ристическим уравнением линеаризованной САУ, к следующему виду:
() (,,) 1 0WpW Ap
нэ
,
или иначе
() ()
Gp q A
() 1 0
Dp
Gp qA p Dp
где (), ()
Gp Dp – полиномы числителя и знаменателя передаточной
() () () 0
qA p
()
()
qA
,
, (5.7)
функции линейной части соответственно.
Далее осуществим переход к функции комплексной переменной пу-
тем замены оператора дифференцирования
на оператор Ж. Фурье j:
( ) () () ( ) () () 0
Gj qA jq A Dj P jQ
.
M
Так как последнее равенство описывает автоколебательный режим, то
путем приравнивания к нулю вещественной ()
P
и мнимой ()
Q
частей годографа А.В. Михайлова вычисляются искомые амплитуда и
частота гармонического сигнала. При наличии нескольких решений с
различными значениями
и
a
, удовлетворяющих последнему ра-
a
венству, в дальнейшем осуществляется проверка условия устойчивости в соответствии со следующим правилом:
108
при устойчивых периоди-
ческих движениях выхода в случае положительного приращения ам-
A
A
j
M
плитуды
A
a
годограф А.В. Михайлова должен проходить через
следующий квадрант комплексной плоскости (устойчивость), а при ее
уменьшении
вость)
, что изображено на рис. 5.5.
A – не охватывать начало координат (неустойчи-
a
Im
)(
A
a
Re
AA
a
0
AA
a
Рис. 5.5. Годографы А.В. Михайлова
при приращении амплитуды в случае
устойчивых автоколебаний
В случае однозначной нелинейной статической характеристики,
симметричной относительно начала координат, у которой () 0
аналитическая процедура расчета
A и a значительно упрощается.
a
qA
Из уравнения (5.7) следует, что
()() () 0
qAGp Dp ,
или после выделения вещественной и мнимой части с использованием
оператора Ж. Фурье
PqAP
() () () 0,
DG
QqAQ
() () () 0,
DG
откуда
()
P
qA
()
P
D
G
()
QQ
,
() () 0
DG
()
P
D
P
()
G
,
,
109
или окончательно
A
A
() () () () 0,
PQ PQ
DG G D
() .
qA
()
P
D
P
G
()
(5.8)
Из первого уравнения системы (5.8) находят частоту основной гар-
моники
из второго отношения – ее амплитуду
При порядке 4n
, которая зависит только от параметров линейной части, а
a
.
a
можно также воспользоваться алгебраическим
критерием А. Гурвица, применительно к которому наличие в характеристическом уравнении пары чисто мнимых корней при остальных с
отрицательной вещественной частью соответствует соблюдению требования
– диагональный минор n – 1 порядка матрицы А. Гурвица.
здесь
1n
n
1
0
,
Из последнего равенства определяют все возможные численные
значения
A и a , после чего осуществляется их проверка на устой-
a
чивость, которая будет иметь место, если с ростом амплитуды все диагональные миноры будут положительны, а при ее уменьшении
A
a
, наоборот, хотя бы один из них окажется отрицательным (не-
устойчивость).
Метод Л.С. Гольдфарба (1947 г.) основывается на видоизмененном
уравнении (5.6):
()
Wj
11
() () ()
WA qA jqA
нэ
. (5.9)
Равенство (5.9) после умножения на комплексно-сопряженную
() ()qA jq A
функцию
можно также представить в виде линейной
комбинации вещественной и мнимой части:
1()() () ()
()
WA
нэ
qA jq A qA q A
222
() () () () () ()
qA qA qA qA qA qA
222
110
j
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]