Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Теория управления особыми линейными и нелинейными непрерывными системами. Учебное пособие
.pdf
7.5.6. Отметьте правильный ответ
Видоизмененная АФЧХ линейной части САУ в критерии абсолютной устойчивости В-М. Пóпова описывается формулой…
*
а)
()Re() Im()Wj Wj j Wj ;
*
() Re() Im()Wj Wj j Wj ;
б)
*
в)
() Re() Im()Wj Wj jWj ;
*
()Re() Im()Wj Wj j Wj .
г)
7.5.7. Отметьте правильный ответ
Уравнение линии В-М. Пóпова имеет вид…
здесь
а)
1
PkQ
; в)
*
h
1
PhQ
; г)
б)
*
k
*
()Q – мнимая составляющая видоизмененной АФЧХ.
1
*
QhP
;
k
1
*
QkP
,
h
Ответы: 7.5.1 – абсолютной; 7.5.2 – г); 7.5.3 – в); 7.5.4 – знако-
определенной; 7.5.5 – г); 7.5.6 – а); 7.5.7 – б).
Вопросы для самоконтроля
1. Перечислите основные виды асимптотической устойчивости, ис-
пользуемые при анализе процессов в нелинейной САУ.
2. Поясните отличие между возмущенным и невозмущенным движением, а также сформулируйте общее условие устойчивости по
А.М. Ляпунову.
3. Запишите дифференциальное уравнение первого приближения
нелинейной САУ в отклонениях с использованием матрицы К. Якоби.
4. Дайте определение необходимого и
достаточного условия устой-
чивости невозмущенного движения по дифференциальным уравнениям первого приближения и поясните критический случай.
5. Сформулируйте основные требования, которые предъявляются к
выбору функции ()
V x в рамках прямого (второго) метода А.М. Ляпу-
нова.
151
6. Графически изобразите траектории движения изображающей
точки устойчивой САУ в случае знакоопределенной и знакопостоянной производной функции А.М. Ляпунова.
7. Опишите последовательность действий при анализе устойчивости непрерывной системы на основании второго метода А.М. Ляпунова.
8. Проиллюстрируйте с помощью комплексной плоскости влияние
1
k
точки
прямой В-М. Пóпова на абсолютную устойчивость нели-
нейной САУ.
152
ПРИЛОЖЕНИЕ
f
At
t
A
В приложении представлен теоретический материал, посвященный
рассмотрению гармонически линеаризованных передаточных функций
(,,)WAp наиболее распространенных статических нелинейностей,
нэ
который первоначально выполним для типового звена «двухпозиционное
реле с гистерезисом» (рис. 3.6). Как следует из временной зависимости,
показанной на рис. П1, скачкообразное изменение выхода (sin )
возникает при достижении мгновенного значения входа
ня
a , что объясняет наличие углового сдвига
между выходными им-
1
пульсами и входным воздействием, которое удовлетворяет равенству
sinAa
,
1
откуда
c
a
1
a
. (П1)
1
tAfsin
t
sin
arcsin
1
a
A
At
sin
уров-
c
Рис. П1. Выход нелинейности типа «двухпозицион-
ное реле с гистерезисом» при входном гармони ческом сигнале
По формуле (5.2) коэффициент гармонической линеаризации ()qA
за половину периода вычисляется как
A
2
() sin sin
qA f A d
1
AA
0
153
,
1
qA c d c d
() sin sin
2
A
qA
() cos cos
0
2
c
A
0
cc
24
cos cos0 cos cos cos ,
AA
111
,
1
1
1
или, учитывая (П1), а также квадратичную связь между тригонометрическими функциями косинуса и синуса, окончательно получаем
44
qA
По аналогии ()
() 1 sin sin 1
cca
AA
qA
определяется в соответствии с интегральным
равенством (5.3) и находится как
1
qA c d c d
() cos cos
2
A
qA
() sin sin
0
2
c
A
cc
sin sin 0 sin sin sin ,
AA
111
или на основании равенства (П.1)
qA
()
11
1
1
0
4
ac
.
2
A
2
.
2
A
,
1
154
Таким образом, гармонически линеаризованная передаточная
p
A
f
функция «двухпозиционного реле с гистерезисом» описывается следующим выражением:
()
WAp qA p
(,,) ()
нэ
qA
444
ca ac c aa
AAA
22
11
22 2
AA A
p
. (П2)
)(),( AqAq
2
ac
)(Aq
a
0
2
ac
4
ac
Рис. П2. Коэффициенты гармонической ли-
неаризации «двухпозиционное реле с гисте-
резисом»
2a
)( Aq
При A выход нелинейности
ным, вследствие чего, как видно из рис. П2, имеет место () 0
sin
Atc
будет неизмен-
qA .
Помимо этого из рис. П1 также следует, что прямоугольные импульсы
отстают от гармонического входа на величину
qA
() 0
, так как положительный знак давал бы опережение. В свою
155
, по причине чего
1
очередь, при увеличении A снижается влияние ширины трубки гисте-
c
резиса по отношению к области ограничения
() 0qA
.
, что приводит к
Далее получим гармонически линеаризованную передаточную
функцию статической нелинейности типа «ограничение с зоной нечувствительности и линейным участком», изображенной на рис. 3.9, у ко-
торой в силу однозначности характеристики () 0
qA
.
При нахождении мгновенного значения гармонического сигнала
вне нулевой окрестности начала координат, внутри которой прямой
канал разомкнут и () 0
qA
, возможны две различные ситуации.
1. Амплитуда входного сигнала удовлетворяет неравенству
aAa .
12
В соответствии с формулой (5.2) коэффициент ()
qA можно пред-
ставить в следующем виде:
/2
qA d a d q A q A
() sin sin () ()
1 1 11 21
qA kA a d
() sin sin
11
/2 /2
44
kk
11
4
A
1
2
,
,
A
в котором вторая составляющая находится как
/2
4
() sin cos
qA a d
21 1
44
() 1sin sin 1
qA
21 1 1
k
AA
1
ka ka
AA
44
11
cos cos cos ,
2
ka ka a
111
AA
156
4
ka
1
/2
1
11
2
.
2
A
Для нахождения
мулой
()qA
воспользуемся тригонометрической фор-
11
1cos2
2
sin
, (П3)
2
откуда
/2 /2 /2 /2
22 221
() cos2 cos2 (2)
qA d d d d
11
qA k
11 1 1 1
kk kk
11 11
22
kk kk
() sin2 sin sin2
2
() 2sin cos
qAk
11 1 1 1
/2
1
2
kk
2
,
,
,
или окончательно после использования равенства (П1)
2
2
( ) arcsin 1
qA k
1
k
aka a
11 1
AA
2
.
2
A
В итоге применительно к данному диапазону изменения амплитудного значения A коэффициент гармонической линеаризации находится
как
24
2
() () () arcsin 1 1
qA q A q A k
11121
k
aka a ka a
11 1 1 1
AA A
22
22
AA
,
или окончательно
2
k
( ) arcsin 1
qA k
1
aa a
11 1
AA
157
2
.
2
A
2. Второй участок при
A
a
.
2
2
() sin sin sin () ()qA kA a d c d q A q A
2 1 12 22
44
AA
Вычисление
12
()qA совпадает с аналитической процедурой опре-
22
/2
деления ()qA «двухпозиционного реле с гистерезисом»
/2
откуда с учетом
() 1 1 1
qA
22
22
22
4
AA A
AA
44
cc
cos cos cos ,
AA
sinaA и
c
aka aka a
22212
AAA
44
() sin cos
qA c d
2
22
2
()cka a
222
44
222
В свою очередь, формулу для вычисления
гии с предыдущим пунктом для интервала
222
44
qA kA a d d d
( ) sin sin sin sin
12 1
AA
111
c
/2
2
окончательно получаем
21
.
()qA
найдем по анало-
12
aAa
12
k
2
:
4
ka
1
.
,
22 2
2
() cos2 (2) sin
qA d d d
12
qA
12 2 1
kk
11 1
kk
2
() sin2 cos
158
4
ka
1
,
A
ka
4
22
11
1
,
A
4
A
2
( ) sin 2 sin 2 cos cos
qAA
12 2 1 2 1 2 1
kk
ka
1
,
2
k
( ) arcsin arcsin
qA
12
422
ka a ka a ka a
1211 22
AAA
22 2
11 1.
22 2
AA A
aa
21
AA
Таким образом, после суммирования отдельных компонентов ()qA
гармонически линеаризованная передаточная функция нелинейного
элемента типа «ограничение с зоной нечувствительности и линейным
участком» при
( , , ) arcsin arcsin 1 1
WAp
нэ
Aa находится как
2
(,,) () () ()WAp qAqAqA
нэ 12 22
2
k
,
aaaaaa
212211
AAA A
22
22
AA
,
что показывает рис. П3.
)()(
нэ
2
2
k
a
ak
1
1
a
a
2
2
a
1
1arcsin
2
a
2
AqAW
)(Aq
0
a2a
1
Рис. П3. Коэффициент гармонической линеаризации ()qA нелинейности
типа «ограничение с зоной нечувствительности и линейным участком»
На основании рассмотренных выше примеров можно получить
формулы
(,,)WAp других типовых статических нелинейностей как
нэ
частные случаи вышеприведенных.
159
k
)()(
A
нэ
AqAW
A
0
Рис. П4. Коэффициент гармонической лине-
аризации нелинейности типа «ограничение»
a
Так, например, применительно к нелинейному звену типа «ограничение», изображенному на рис. 3.4, для интервала 0 Aa
справед-
ливо
/2
где
kca
– коэффициент передачи линейного участка, откуда с уче-
(,,) () sin sinWAp qA kA d
нэ
1
4
A
0
,
том тригонометрической формулы (П3)
а при
a
( , , ) ( ) sin sin sinWAp qA kA d c d
нэ
(,,) ()WAp qAk
нэ
44
AA
,
1
/2
0
1
После выполнения необходимых математических преобразований
(рис. П4)
.
2
kaaa
(,,) () arcsin 1
WAp qA
нэ
160
AA
2
.
2
A
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]