Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Теория управления особыми линейными и нелинейными непрерывными системами. Учебное пособие
.pdf
становится справедливым равенство
j
j
x
j
j
p
23
Как нетрудно заметить, в данном случае один из коэффициентов характеристического полинома является отрицательным, в результате чего исследуемое невозмущенное движение, по А.М. Ляпунову, является неустойчивым.
Dp p p p
() det det 3 5
EA .
p
11
2
Теоремы Ляпунова, формулирующие необходимое и достаточное
условие устойчивости, получили широкое распространение на практике в силу своей простоты и возможности применения хорошо проработанного математического аппарата теории линейных непрерывных
систем.
7.3. Прямой (второй) метод анализа устойчивости
А.М. Ляпунова
Для иллюстрации базовых положений прямого (второго) метода
А.М. Ляпунова воспользуемся графическим представлением процессов
в нелинейной САУ с использованием
ний, в котором имеется ряд замкнутых поверхностей произвольной
формы, описываемых следующей зависимостью:
n-мерного пространства состоя-
C – параметр, характеризующий функцию V при заданных зна-
где
чениях координат
Как нетрудно заметить из уравнения (7.2), с уменьшением
( )
Vx x x C , (7.2)
12
jnjj
.
ij
C про-
исходит сужение ограниченных областей пространства, которые в переделе стремятся к началу координат, отвечающему за невозмущенное
движение
.
0x
Допустим, что при всех возможных из требования нормального
функционирования автономной САУ ненулевых начальных условий
траектория движения изображающей точки из исходного положения М
последовательно проходит через все поверхности, которым соответ-
ствует меньшее значение параметра
141
()
CC
, что показывает
1
j
рис. 7.3. Данный тип процессов возникает только в случае отрицатель-
x
ной производной левой части уравнения (7.2), которая также должна
удовлетворять требованиям
знакоопределенной или знакопостоянной
функции. Под знакоопределенной понимают такую зависимость, которая кроме начала координат отлична от нуля и сохраняет один и тот же
знак при любых аргументах, например
го вектора отклонений, а
знакопостоянная функция, помимо этого,
22
Vx x в случае двумерно-
12
может обращаться в нуль и в других точках как квадратичная зависимость вида
()Vxx .
12
2
x
2
M
x
0
C
1
C
2
C
x
3
Рис. 7.3. Графическая иллюстрация пря-
мого метода А.М. Ляпунова для трехмерного вектора отклонений
3
( )xx xx
123
1
CCC
321
T
Допустим, дифференциальные уравнения нелинейной САУ по
каждому из отклонений представлены в виде уравнения (7.1), причем
() 0
f только при 0
i
x
, тогда любая функциональная зависимость
i
вида
() ( )
VVxx x
x ,
12
n
которая обладает следующими свойствами:
– включает в себя все составляющие вектора
xx
12
;
n
,,,
– непрерывна вместе со всеми своими частными производными
первого порядка в некоторой области, содержащей начало координат;
142
– тождественно обращается в нуль при
x
j
движение), будет называться
данной функции, носящей название
нова в силу системы
, находится как
функцией А.М. Ляпунова. Производная
производной функции А.М. Ляпу-
0
x
(невозмущенное
i
VV V V
V
xx
()
T
x
dx dx
12
dt x dt x dt
12
dx
n
,
n
или с учетом правой части (7.1)
т. е. при
Vff f
() 0V x
VV V
( ) () () ()
x
xx x
12
изображающая точка в n-мерном пространстве пере-
секает замкнутые области ()
() 0V
А.М. Ляпунова, а при
x
12
VC
x в сторону увеличения функции
,
n
n
, наоборот, в сторону уменьшения ()V x .
Прямой метод А.М. Ляпунова. Возмущенное движение асимптотически устойчиво, если можно подобрать такую знакоопределен-
ную функцию
VVxx xC
12
x
n
, производная которой по не-
() ( )
зависимому параметру t с учетом дифференциальных уравнений САУ
в отклонениях также является знакоопределенной (знакопостоянной),
но противоположного знака.
x
2
1
1
0
C
1
C
2
C
3
x
3
Рис. 7.4. Фазовые траектории устойчивых
3
3
движений
0 CCC
2
2
x
1
321
143
В целях графической иллюстрации изложенной выше теоремы на
x
рис. 7.4 изображены три различных типа движения:
– кривая
рой производная ()
положный знак по отношению к ()
– применительно к траектории
1 соответствует асимптотической устойчивости, для кото-
V x
является знакоопределенной и имеет противо-
V x ;
2 производная ()V x
является знакопостоянной, что соответствует менее «жесткому» условию неасимптотической устойчивости, при которой вследствие () 0
Vx
изображаю-
щая точка «залипает» вне начала координат;
– в последнем (третьем) случае имеет место асимптотическая
устойчивость относительно положения равновесия, хотя вдоль него
условие А.М. Ляпунова не выполняется, так как производная ()
совпадает по знаку с ()
V x (функция ()V x возрастает по абсолютному
V x
значению), в связи с чем теорема А.М. Ляпунова формулирует только
достаточное условие устойчивости.
Основной трудностью практического применения рассмотренного
выше подхода к анализу состояний нелинейных САУ является отсутствие общих рекомендаций к конкретному выбору функции ()
V x , ко-
торую, как правило, задают в виде квадратичной положительноопределенной формы
где
diag( )
H – диагональная матрица положительных весовых
()
VhxhxhxxxHx ,
n
h
i
1
i
коэффициентов размерностью dim
T22 2
11 2 2
nn
H , независимых от
nn
.
i
Откуда ее производная
TT
xHx x H x
()
()V
xxHxxxxHx
V
()
1
xxHxxHxxHxHx
TTTT
xxxx
TT T T
xx x x
TT TTT
T
TT
xxx
144
,
,
или с учетом того, что
x
T
HH,
x
x
,
E
T
окончательно получаем
T
()
следующей системой дифференциальных уравнений второго порядка:
А.М. Ляпунова в следующем виде:
откуда
xxxHHxxHxxHFx
V
() 2 2
Пример 7.2. Пусть исходная нелинейная САУ в отклонениях описывается
В соответствии с изложенными выше рекомендациями выберем функцию
xHx
T
x
TT T T
Vhx hx
dx
1
xxx
() 2 2
x
212
dt
dx
2
2.
dt
()Vhxhxx ,
121
22
11 2 2
dx dx
12
11 2 2
dt dt
2
,
xx
2
,
.
Как нетрудно заметить из последнего равенства,
ленной с обратным знаком по отношению к
() 2 2 2Vhxxxxhxxxx x
11 2 12 2 2 1 1 2
() 2 2 2Vxxhhxxhh x
12 1 2 1 2 1 2
12
22
0h ,
22
()V x , если
0h ,
2
2hh
,
1
145
,
.
()V x
будет знакоопреде-
в результате чего окончательно получаем
j
h
22
()
Vhx xx .
1
11 2
2
Прямой метод, формулирующий достаточное условие устойчивости систем произвольного вида, применяется для анализа движений
«в малом». Однако если удается подобрать одну или несколько функций А.М. Ляпунова, которые включают в себя начало координат и по
мере удаления от него имеют возрастающие по модулю значения
C ,
то можно выделить области асимптотической (неасимптотической)
устойчивости как «в большом», так и «в целом», непосредственная
конфигурация которых зависит от конкретного вида ()
V x .
7.4. Частотный критерий абсолютной устойчивости
В-М. Пóпова
В 1959 г. румынский математик Василь-Михай Пóпов (Vasile Mihai
Popov, род. 1928) применительно к САУ с одной однозначной непре-
рывной статической нелинейностью, расположенной в секторе
с ограничением по продольной оси, доказал следующую теорему:
абсолютной устойчивости системы с устойчивой линейной частью и
однозначной статической нелинейностью, находящейся в секторе
(0, )k, достаточно, чтобы существовало такое произвольное дей-
ствительное число h, при котором в случае
венство
0
выполняется нера-
(0, )k
для
Re (1 ) ( ) 0jh W j
1
, (7.3)
k
где ()Wj – АФЧХ линейной части системы
lim ( ) 0Wj
,
причем k .
При решении практических задач устойчивости САУ на основе
данного критерия более широкое распространение на практике получила другая формулировка, предложенная автором, для вывода кото-
146
рой первоначально воспользуемся следующим разложением функции
комплексной переменной:
1()()()()()jh W j P jQ jh P h Q ,
1()()() ()()jh W j P h Q j h P Q ,
в результате чего неравенство (7.3) перепишется к виду
() () 0PhQ
.
1
k
В левой части последнего неравенства записана
видоизмененная
АФЧХ линейной части САУ
**
()Re() Im() () ()Wj Wj j Wj P jQ ,
которая отличается от обычной характеристики масштабом по поперечной оси на величину
, с учетом чего
1
() ()PhQ
*
. (7.4)
k
Если на комплексной плоскости изобразить асимптотическую
прямую
1
PhQ
, (7.5)
*
k
1
проходящую через точку с координатами
ния неравенства (7.4) при
()
**
()hQ hQ необходимо, чтобы
PP
,
что достигается только в том случае, если кривая
(,0)kj
, то для выполне-
*
()Wj
располагает-
ся правее линии (7.5), в результате чего критерий формулируется в
следующем виде:
для абсолютной устойчивости САУ с однозначной
статической нелинейностью достаточно, чтобы при условии устой-
1
(,0)kj
чивости линейной части через точку
147
можно провести
хотя бы одну негоризонтальную прямую (линия В-М. Пóпова), которая
P
P
k
не пересекается с видоизмененной частотной характеристикой
*
()Wj , но при этом может иметь общие точки.
Im
*1
hQkP
1
k
)(
0
0
Re
)(** QQ
)(*jW
Рис. 7.5. Графическая интерпретация критерия
В-М. Пóпова при абсолютной устойчивости
нелинейной САУ
Im
Im
k
1
0
Re
)(*jW
1
0
Re
)(*jW
а б
Рис. 7.6. Графическая интерпретация критерия В-М. Пóпова
при устойчивой (
а) и неустойчивой (б) нелинейной САУ
На рис. 7.5 и 7.6 изображены видоизмененные АФЧХ линейной части и прямые В-М. Пóпова, иллюстрирующие различные состояния
САУ, из которых следует, что расширение сектора (0, )
148
k , приводящее
к большему количеству однозначных непрерывных статических нели-
p
W
x
x
f
x
r
x
f
r
f
1
k
нейностей, сопровождается смещением точки
вправо к началу
координат и, как следствие, приближением к границе устойчивости.
Если в линейной части системы содержатся нулевые корни, то путем дополнения исходной структурной схемы двумя равными, но противоположными по знаку безынерционными связями по входу и выходу можно добиться их смещения в «левую» область комплексной
плоскости.
rx
rx
0v
)(
)(exf
)(
)(
rx
)(
ЛЧНЭ
)(
)(
)(epW
Рис. 7.7. Структурное преобразование нелинейной САУ с нейтрально
устойчивой линейной частью
Как видно из рис. 7.7, при сколько угодно малом коэффициенте передачи 0
r нулевой корень становится отрицательным веществен-
ным
()
()
Wp
e
Wp
1()
rW p
,
а нелинейный элемент будет описывается как
() ()
xfxrx
,
e
что соответствует принадлежности его характеристики к сектору
(, )
rkr
.
В заключение необходимо отметить, что частотный критерий
В-М. Пóпова, так же как и прямой метод А.М. Ляпунова, формулирует
только достаточные условия устойчивости, по причине чего их невыполнение может приводить как к расходящимся, так и к затухающим с
течением времени переходным процессам.
149
7.5. Тестовые задания
7.5.1. Дополните
Асимптотическая устойчивость, которая справедлива для САУ со
статическими нелинейностями произвольного вида, расположенными
внутри заданного сектора, называется _______________.
7.5.2. Отметьте правильный ответ
При анализе устойчивости по А.М. Ляпунову возмущенное движение возникает вследствие…
а) дрейфа параметров ОУ;
б) помех в канале отрицательной обратной связи;
в) сигнального возмущения;
г) приращения в невозмущенном движении.
7.5.3. Дополните
В соответствии с базовыми положениями трех теорем А.М. Ляпунова сделать вывод об устойчивости невозмущенного движения по
уравнениям первого приближения нельзя, если среди корней характеристического уравнения присутствуют…
а) «правые» комплексно-сопряженные корни;
б) кратные «левые» вещественные корни;
в) пара чисто мнимых корней;
г) «правые» вещественные корни.
7.5.4. Дополните
Функция, которая не меняет свой знак во всей области допустимых
аргументов и обращается в нуль только в начале координат, называется _______________.
7.5.5. Отметьте правильный ответ
Выберите знакопостоянную функцию отклонений между возмущенным и невозмущенным движением:
а)
()Vxxx ; в)
б)
22
12
()Vxxx ; г)
12
2
()Vxxx .
150
222
()Vxxx
x ;
123
12
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]