Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Теория управления особыми линейными и нелинейными непрерывными системами. Учебное пособие
.pdf
x
,
x
x
x
1 м 2 дв 2 дв
C – постоянная интегрирования
где
12
x
10
Tx ku x ku C
x
1
ln
м 20 дв 20 дв 10
lnCT x ku x ku x ,
в которой нижним индексом 0 обозначены начальные значения координат
состояния.
В итоге после подстановки в по-
следнее уравнение соответствующего
Рис. 4.13. Фазовая траектория САУ
угловым положением вала ДПТ НВ
управляющего воздействия
u
, зависящего от текущего знака
max
x
, получаем график движения
1
изображающей точки САУ, который
u
max
или
представлен на рис. 4.13.
Пример 4.3
. На основании метода фазовой плоскости выполнить анализ
состояний нелинейной САУ, в состав которой входят «двухпозиционное реле
с гистерезисом» (рис. 3.6) и линейная часть ЛЧ, представляющая собой последовательное соединение двух интегрирующих звеньев с суммарным коэффициентом передачи
k (рис. 4.14).
НЭ
НЭ
)(1xf
0v
x
0v
x
1
1
)(
)(
)(1xf
x
x
k
k
p
p
1
1
2
2
p
p
x
x
1
1
ЛЧ
ЛЧ
Рис. 4.14. Структурная схема нелинейной САУ второго
порядка
В соответствии с рис. 4.14 математическое описание исходной системы в
форме Коши имеет следующий вид:
,
xx
12
kf x
21
(),
91
а выход нелинейного элемента НЭ (вход ЛЧ) с учетом знака
x
x
f
x
f
x
x
x
находится как
1
при ,0,
cxax
fx
()
1
11
cxax
при ,0,
в результате чего, исключая независимую переменную
11
t , получаем диффе-
ренциальное уравнение фазовых траекторий
()dx kf x
21
dx x
12
,
или иначе
dx kf x dx
22 1 1
()
.
Применительно к левой (относительно линии переключения) области
двумерного пространства (см. рис. 4.10,
()
xc, можно записать
1
2
21
x
1
22
kc kc
или по аналогии для правой полуплоскости с
2
в), для которой справедливо
C
,
()
xc
1
2
C
1
22
22
kc kc
,
x
где
, CC – постоянные интегрирования.
x
10
a
a
x
1
12
На рис. 4.15 изображена траектория
движения изображающей точки исходной
нелинейной системы второго порядка
из ненулевого начального состояния
T
0xx , которая меняет свой вид
значений a, соот-
1
Рис. 4.15. Фазовая траектория нелинейной САУ, в структуру которой входит «двухпозиционное
реле с гистерезисом»
010
при достижении
ветствующих переключениям выхода ку-
сочно-линейной неоднозначной статической характеристики НЭ.
92
Далее рассмотрим, как связаны между собой
x
x
x
x
C и 2C при заданных
1
начальных состояниях, которые удовлетворяют равенствам
C
10
1
,
2
20
0x ,
xkc
откуда
2C kcx
,
110
т. е. временные законы изменения первой и второй координат находятся как
2
x
2
,
110
x
2
kc
2( )
kc x x.
2110
Из условия непрерывности фазовых траекторий в режиме скачкообразной
смены выхода «двухпозиционного реле с гистерезисом» при
1
a
становит-
ся справедливым выражение
2
xC C
22 2
1
22 2 2
kc kc kc kc
2( )
kc x x
110
a
,
в результате чего окончательно получаем формулу, связывающую между собой постоянные интегрирования на линии переключения:
2224C kc a x x kc a x kca C ,
2110 101
причем в силу того, что
CC ,
21
переходный процесс будет расходящимся.
4.5. Графоаналитический метод изоклин
Если непосредственное разделение переменных в дифференциальном уравнении вида (4.2) затруднено, то в этом случае можно воспользоваться приближенным методом изоклин, под которыми понимается
93
геометрическое место точек, в которых угол наклона касательной к
фазовой траектории относительно продольной оси одинаковый, т. е.
скорость движения изображающей точки постоянна:
dx F x x
dx F x x
1112
(, )
2212
const
(, )
,
или при переходе к малым приращениям
dx x
22
dx x
11
tg const
N
ii
,
в результате чего получаем уравнение изоклины
(, )
Fxx
N
212
i
(, )
Fxx
112
. (4.10)
const
Из всего многообразия изоклин отдельно выделяют два типа, относящихся к горизонтальным и вертикальным касательным прямым,
проходящим соответственно параллельно оси абсцисс и ординат, в которых скорость изменения во времени соответствующей координаты
состояния равна нулю. В первом случае справедливо
dx F x x
2212
dx F x x F x x
1112 112
(, )
0
,
(, ) (, )
0
откуда
arctg 0 0
,
а во втором
dx F x x F x x
2212 212
dx F x x
1112
(, ) (, )
,
(, ) 0
arctg 90
.
На начальном этапе построения фазовой траектории в правую
часть уравнения (4.10) подставляют координаты исходной точки
94
(, )
M
M
1
xx
01020
и затем определяют величину
которой вычисляется начальный угол
mm
arctg arctg
00
11
N
mmFxx
2211020
constN
0
(, )
Fx x
21020
(, )
, на основании
,
где
, mm – масштабы продольной и поперечной осей соответст-
12
венно.
После этого, задаваясь близкой к
constN и по уравнению (4.10) изображают вторую изоклину, затем
1
величиной
0
, находят
1
третью, четвертую…, т. е. на фазовой плоскости наносится сетка
изоклин с соответствующими касательными (рис. 4.16). Далее из
(, )
xx
01020
проводятся два луча под углами
и
0
, а также бис-
1
сектриса, которая делит получившийся сектор пополам, формируя таким образом аппроксимированный участок фазовой траектории в виде
отрезка (рис. 4.17), который заканчивается в точке пересечения с бли-
1
жайшей изоклиной
121 1
tgNmm
, после чего данная графическая
процедура повторяется.
x
, N
77
, N
66
2
, N
M
x
0
20
x
10
00
, N
11
x
1
, N
22
, N
, N
55
, N
44
33
Рис. 4.16. Сетка изоклин на фазовой плоскости
95
x
x
M
2
0
m
N
0
2
tg
0
m
0
1
1
m
N
2
tg
1
m
1
1
M
1
0
Рис. 4.17. Графическая иллюстрация постро-
ения участка фазовой траектории с помощью
метода изоклин
x
1
В заключение необходимо отметить, что точность данного приближенного графоаналитического метода в первую очередь определяется общим количеством и плотностью нанесенных на плоскость изоклин.
4.6. Свойства фазовых траекторий одномерных
нелинейных систем
В частном случае одномерных нелинейных САУ второго порядка
дифференциальное уравнение (4.2) преобразуется к виду
где
x
– координата состояния, откладываемая по поперечной оси.
12
2212
dx x
12
Законы движения изображающей точки в двумерном пространстве обладают следующими тремя основными свойствами.
1. Фазовые траектории никогда не пересекаются, за исключением
особых точек, в которых имеет место неопределенность вида
(, )dx F x x
, (4.11)
(, )
Fxx
212
x
2
96
0
.
0
2. Ось абсцисс является изоклиной, относящейся к классу верти-
x
кальных касательных прямых, так как в данном случае справедливо
равенство
0x
,
2
откуда
(,0)
Fx
tg
21
,
0
или окончательно
arctg ( ) 90
.
3. В верхней полуплоскости двумерного фазового пространства, в
котором вследствие
12
0xx
выходная координата
может только
1
возрастать, изображающая точка всегда движется слева направо, а в
нижней, наоборот, справа налево.
Таким образом, обобщая изложенный в данном разделе теоретический материал, можно сделать вывод, что по конкретному виду фазового портрета можно получить полное представление обо всех видах
движений нелинейной САУ второго порядка и об условиях
их возникновения. Например, можно выявить автоколебательные режимы работы с определением их амплитуды или качественно оценить характер
переходного процесса (колебательный или апериодический) в той или
иной области двумерного пространства. При этом основным ограничением метода фазовой плоскости является возможность анализа систем
с 2n , так как при несоблюдении данного условия
существенно
усложняются аналитические процедуры расчетов и данный подход
становится неэффективным.
4.7. Тестовые задания
4.7.1. Дополните
Система, в которой отсутствуют какие-либо внешние воздействия,
называется _______________.
97
4.7.2. Отметьте правильный ответ
Особая точка линейной непрерывной САУ второго порядка, характеристическое уравнение которой имеет два различных по знаку вещественных корня, называется…
а) «неустойчивый фокус»;
б) «седло»;
в) «неустойчивый узел»;
г) «центр».
4.7.3. Отметьте правильный ответ
Гармоническому закону изменения во времени выходной переменной линейной САУ соответствует особая точка типа
а) «седло»;
б) «устойчивый фокус»;
в) «центр»;
г) «неустойчивый фокус».
4.7.4. Отметьте правильный ответ
…
x
2
x
1
0
Геометрическое место точек на фазовой плоскости, в которых угол
наклона касательной к фазовой траектории относительно
оси является постоянной величиной, называется _______________.
Изображенная на фазовой плоскости
линия переключения относится к типовому нелинейному звену…
а) «двухпозиционное реле с гистерезисом»;
б) «идеальное двухпозиционное реле»;
в) «зона нечувствительности»;
г) «ограничение с зоной нечувствительности и линейным участком».
4.7.5. Дополните
продольной
98
4.7.6. Отметьте правильный ответ
Уравнение изоклины одномерной нелинейной САУ второго порядка, у которой по поперечной оси фазовой плоскости откладывается
первая производная выхода, имеет вид…
(, )
Fxx
а)
б)
в)
г)
N
112
N
;
i
(, )
Fxx
212
(, )
Fxx
212
Nx
i
Nx
i
i
1
(, )
Fxx
212
2
(, )
Fxx
212
(, )
Fxx
112
const
const
const
const
;
;
.
4.7.7. Дополните
Изображающая точка одномерной нелинейной САУ второго порядка в верхней части фазовой плоскости движется _______________.
Ответы: 4.7.1 – автономной; 4.7.2 – б); 4.7.3 – в); 4.7.4 – б); 4.7.5 –
изоклиной; 4.7.6 – в); 4.7.7 – слева направо.
Вопросы для самоконтроля
1. Поясните базовые положения математического описания процессов в автономной нелинейной САУ с использованием многомерного пространства состояний и дифференциальных уравнений системы в
частных производных.
2. Дайте определения фазовой плоскости, изображающей точки, и
фазового портрета.
3. Запишите дифференциальные уравнения фазовой траектории в
общем виде, а также в частном случае одномерной системы.
4. Опишите
ного уравнения фазовых траекторий по структурной схеме нелинейной
САУ, представленной в стандартном виде.
аналитическую процедуру получения дифференциаль-
99
5. Изобразите фазовые и временные траектории движения коорди-
нат состояния линейной непрерывной САУ второго порядка применительно к различным типам особых точек.
6. Сформулируйте основные достоинства многолистного представления процессов в двумерном пространстве с использованием линий
переключения.
7. Перечислите основные этапы построения фазового портрета с
помощью графоаналитического метода изоклин.
8. Назовите основные
свойства фазовых траекторий одномерной
нелинейной САУ второго порядка.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]