Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Теория управления особыми линейными и нелинейными непрерывными системами. Учебное пособие
.pdf
Если воспользоваться дополнительным правилом структурного
f
D
преобразования с переносом сумматора за динамическое звено с передаточной функцией
()Wp (рис. 1.5), то в этом случае можно в явном
1
виде выделить каналы приложения возмущения и компенсации, которые параллельны по отношению друг к другу:
() () () 0WpWpf Wpf
к 13
,
т. е. закон изменения во времени компенсационного воздействия представляет собой сигнал, обратный реакции выхода
y на действие f.
)(3pW
y
)(кpW
)(1pW
)(
)(
)(2pW
)(1pW
Рис. 1.5. Преобразованная структурная схема САУ по возмущению f
Техническая реализация САУ с комбинированным управлением
позволяет добиться приемлемой ошибки регулирования по возмущению и не оказывает какого-либо влияния на динамические свойства
системы по задающему воздействию
v по причине того, что канал
компенсации не входит в замкнутый контур и соответственно не влияет на распределение корней характеристического уравнения ()
p , ко-
торые отвечают за устойчивость и качество переходных процессов.
В целях обобщения рассмотренного выше примера на более общий
случай на рис. 1.6 изображена укрупненная функциональная схема
САУ, в которой сигнальное возмущение воздействует на выходную
переменную непосредственно через объект управления
ОУ («полез-
ная» нагрузка), а также используется в качестве входа управляющего
устройства
УУ, в результате чего дифференциальное уравнение в опе-
раторной форме записи принимает следующий вид:
ff ff
yW pf W pf W p W p f ,
() () () ()
ОУ ОУ
УУ УУ
21
где
f
f
f
f
я
M
я
ff
(), ()
WpWp – передаточные функции по возмущению и ка-
ОУ
УУ
налу компенсации соответственно, на основании которого в инвариантной системе должно выполняться требование
ff
() ()
WpWp .
УУ
ОУ
u
v
v
УУ
УУ
u
ОУ
ОУ
y
y
Рис. 1.6. Функциональная схема САУ с ком-
бинированным управлением
Основной трудностью в достижении независимости выхода y от
приложенного возмущения
является невозможность технической
реализации рассмотренных выше законов, что объясняется неправиль-
f
()
ной передаточной функцией
Wp, у которой размерность полино-
УУ
ма числителя выше, чем порядок знаменателя. При замене операции
идеального дифференцирования приближенными зависимостями в системе уже не будет соблюдаться условие инвариантности и могут возникать неустойчивые процессы.
Другой особенностью построения САУ данного типа является тот
факт, что в реальных ОУ не всегда имеется информация о
личине ,
в функции которой формируется компенсационное воздей-
текущей ве-
ствие, по причине чего на практике используются косвенные методы
оценки сигнального возмущения, базирующиеся на измеренных значениях координат состояния. Так, например, применительно к ДПТ НВ,
рассмотренного ранее в примере 1.2, приведенный к валу момент сопротивления можно вычислить по следующей формуле:
Ф
ci
c
здесь
i – сигнал с датчика тока, установленного в якорной цепи.
,
22
1.4. Условия инвариантности многоканальных
f
j
j
j
f
x
p
линейных непрерывных систем
Рассмотрим условие абсолютной инвариантности применительно к
многомерной линейной непрерывной САУ с перекрестными связями,
собственные динамические свойства которой относительно сигналь-
() ()
ных возмущений
1
tft
дифференциальных уравнений в операторной форме записи:
() () () (),
apxapx apx ft
11 1 12 2 1 1
apxapx a px ft
21 1 22 2 2 2
() () () (),
apxa px a px ft
11 2 2
nn nnnn
() () () (),
или
n
apx ft
iij
i
1
где ()
ap – полином произвольного вида, в котором нижний ин-
ji
декс
указывает на внешнее воздействие ()
за соответствующую координату состояния
ричной форме
описываются следующей системой
n
nn
nn
() ()
, 1,jn ,
t , а символ i отвечает
, или в векторно-мат-
i
pAxf,
()
xf – n-мерные векторы состояния и сигнальных возмуще-
где ,
ний; ( )
A – собственная квадратная матрица
() () () ()
ap ap a p ap
11 12 1, 1 1
ap ap a p a p
() () () ()
21 22 2, 1 2
A
()
p
() () () ()
apa p a pa p
n n nn nn
1,1 1,2 1, 1 1,
() () () ()
ap a p a p a p
12 ,1
nn nn nn
23
nn
nn
,
которая имеет размерность dim ( )
p
ppp
p
D
p
M
M
M
M
p
j
f
x
1
xA f f
()
nn
A , откуда
A
adj ( )
det ( )
A
, (1.8)
здесь det ( )
линомом ()
составленная из алгебраических дополнений
понимается дополнительный минор к элементу
, где i и j – номер выбранной строки и столбца соответст-
(1)
A – определитель, являющийся характеристическим по-
adj ( )
ij
p ; adj ( )
p
A
A – присоединенная матрица
() () () ()
pMp Mp Mp
11 12 1 1
() () () ()
pM p M p M p
21 22 2 2
() () () ()
pMp Mp Mp
12
i i ij in
() () () ()
pM p Mp M p
12
n n nj nn
jn
jn
Т
A , под которыми
a , взятый со знаком
ij
,
венно.
Если в системе обеспечивается независимость всех координат состояния от всего алгебраического вектора f , то такая инвариантность
называется полной, или полиинвариантностью, в противном случае
частичной.
Из (1.8) следует, что для исключения влияния произвольного сигнального возмущения ()
t на ()
t необходимо выполнение тожде-
i
ственного равенства
ij
Mp
() (1)
ij
24
() () () ()
M
x
p
j
f
ap a p a p ap
11 1,1 1,1 1
ap a pa p a p
1, 1 1, 1 1, 1 , 1
ijijini
det 0
ap a pa p a p
1, 1 1, 1 1, 1 , 1
ijijini
ap a p a p a p
11,1,
njnjnnn
() () () ()
() () () ()
() () () ()
jj n
,
или применительно ко всему вектору f при нулевых начальных условиях
() () ()
pf M pf M pf
11
x
iijjinn
i
() () ()
Wpf Wpf Wpf .
11
ii ij j in n
det ( )
p
A
,
Таким образом, принцип инвариантности многомерных линейных
систем, предложенный в 1939 г. Г.В. Щипановым (1903–1953), заключается в обнулении всех алгебраических дополнений, стоящих при соответствующих элементах вектора сигнальных возмущений
()
Mp
() 0
Wp
ij
ij
det ( )
p
A, (1.9)
причем det ( ) 0p A .
В рассмотренном ранее случае dim dimxf, в результате чего по-
лиинвариантность достигается при равенстве нулю всех элементов
A , или иначе, при () 0
adj ( )
ap, что не имеет под собой никакого
ji
физического смысла. В этой связи для выполнения требования (1.9)
необходимо, но недостаточно, чтобы количество ()
t было меньше,
чем общее число координат состояния, т. е.
dim dim n
fx. (1.10)
25
Из ограничения (1.10) также следует, что равенства нулю переда-
j
f
x
точной функции можно добиться только в случае ее представления в
виде следующей линейной комбинации:
() () () 0
Wp W p W p
ij ij ij
.
12
На основании этого в 1955 г. академиком Б.Н. Петровым (1913–1980)
были сформулированы условия практической реализуемости требования абсолютной инвариантности систем с отрицательной обратной
связью, получившие название принципа двухканальности, который
заключается в наличии как минимум двух каналов передачи возмуще-
ния ()
натой состояния
t между точкой его приложения и соответствующей коорди-
()
t
.
i
Пример 1.3. Рассмотрим задачу обеспечения частичной статической инвариантности двумерного взаимосвязного безынерционного ОУ в рамках принципа управления по отклонению, в каждом из каналов которого действует
независимое сигнальное возмущение
x
1
bb u f
Выбрав управляющие воздействия в следующем виде:
x
11 12 1 1
bb u f
21 22 2 2
2
.
uxx
и выполняя их подстановку в исходную модель, получаем следующее алгебраическое уравнение в векторно-матричной форме записи:
в котором собственная матрица системы находится как
11bb bb
A ,
11 11 12 21 11 12 12 22
bb bb
21 11 22 21 21 12 22 22
,
1111122
uxx
2211222
Ax f ,
26
а ее присоединенная матрица вычисляется по формуле
x
x
f
f
x
f
x
f
1
bb bb
A ,
adj
21 12 22 22 11 12 12 22
bb bb
21 11 22 21 11 11 12 21
1
откуда
1
bb bb
112111122
21 12 22 22 11 12 12 22
det det
AA
ffWpfWpf
() ()
,
bb bb
21 11 22 21 11 11 12 21
21 2211222
det det
AA
1
ffWpfWpf
() ()
.
Как видно из последних алгебраических соотношений, коэффициенты
, в первом равенстве и
12 22
,
во втором одновременно входят в
11 21
две передаточные функции соответствующего канала, т. е. полиинвариантность в данном случае принципиально обеспечить невозможно. Данный факт
объясняется несоблюдением неравенства (1.10), по причине чего в принятый
ранее закон управления необходимо дополнительно вводить компенсационную связь по
или
1
.
2
Таким образом, для обеспечения частичной инвариантности первой координаты состоянии
от второго сигнального возмущения
1
необходимо
2
осуществить выбор коэффициентов передачи канала отрицательной обратной
связи из равенства
b
а при независимости
2
от
22 12
как
1
11 21
11
,
b
12
b
22
.
b
21
27
1.5. Тестовые задания
p
p
p
1.5.1. Дополните
Математическая модель многомерной линейной непрерывной
САУ, элементы матриц которой неизменны во времени и являются постоянными величинами, называется _______________.
1.5.2. Отметьте правильный ответ
Матричная передаточная функция ()
а) dim ( )
б) dim ( )
здесь , , nmk – размерность алгебраических векторов состояния x ,
управления u и выхода y соответственно.
Характеристический полином многомерной линейной непрерывной САУ, представленной в векторно-матричной форме записи, находится как…
а)
det p EA; в)
det p EB; г)
б)
Замкнутая область допустимых значений двумерного вектора
управлений при покомпонентном ограничении управляющих воздействий с одинаковыми уровнями максимально допустимых значений
имеет вид _______________.
nmW ; в) dim ( )pnk
kmW ; г) dim ( )pmn
1.5.3. Отметьте правильный ответ
1.5.4. Дополните
1.5.5. Дополните
W имеет размерность:
W ;
W ,
det pEC;
det pED.
САУ, в которой достигается полная или частичная до желаемой величины
мущения, называется _______________.
независимость выходной переменной от сигнального воз-
28
1.5.6. Дополните
p
Инвариантность, при которой в системе достигается независимость
всех координат состояния от всего n-мерного вектора сигнальных возмущений
,f называется _______________.
1.5.7. Отметьте правильный ответ
Требование практической реализуемости инвариантной САУ с отрицательной обратной связью достигается в рамках принципа…
а) разделения движений; в) двухканальности;
б) аргумента; г) суперпозиции.
Ответы: 1.5.1 – стационарной; 1.5.2 – б); 1.5.3 – а); 1.5.4 – квадрата; 1.5.5 – инвариантной; 1.5.6 – полной (полиинвариантной); 1.5.7 – в).
Вопросы для самоконтроля
1. Укажите размерности всех алгебраических векторов и матриц,
входящих в математическую модель многомерной линейной непрерывной САУ в рамках метода пространства состояний.
2. Изобразите векторно-матричную структурную схему линейной
стационарной многомерной САУ в пространстве состояний.
3. Запишите собственную матрицу Ф.Г. Фробениуса для линейного
одноканального объекта, описываемого однородным дифференциальным уравнением n-
4. Получите формулу для матричной передаточной функции
W , а также поясните связь ее элементов с координатами алгебраи-
()
ческих векторов выхода y и управления u .
5. Объясните необходимость ограничения управляющих воздей-
ствий и переменных в технических системах, а также графически проиллюстрируйте различные подходы к формированию области допустимых управлений
6. Перечислите основные трудности технической реализации инвариантных САУ в рамках структур с комбинированным управлением.
го порядка с постоянными коэффициентами.
на примере двумерного пространства.
u
29
7. Запишите аналитическое выражение инвариантности произволь-
ной координаты состояния многомерной линейной САУ относительно
всего алгебраического вектора сигнальных возмущений
полученное
,f
в 1939 г. Г.В. Щипановым.
8. Сформулируйте условия практической реализуемости требова-
ния абсолютной инвариантности САУ с обратными связями (принцип
двухканальности Б.Н. Петрова).
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]