Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Теория управления особыми линейными и нелинейными непрерывными системами. Учебное пособие
.pdf
собственного ()
D
x
x
x
x
p и входного ()Gp линейных операторов можно за-
писать
11
() ()
GpyDpu
,
– промежуточная координата состояния.
где
По аналогии с изложенным выше для получения математической
модели САУ в пространстве состояний вводятся новые переменные
вида (1.3)
(1)
x
, 1,in ,
i
i
1
образующие вектор состояния
xx xx , с учетом кото-
12
T
n
рого
1
nnnnn
ybx bx bx b x bx
,
uax ax a x ax
a
0
011 21 12 1mmm m m
121 121
,
откуда
01 0 0
00 1 0
A
представленного в стандартной форме записи:
00 0 1
Пример 1.1. Получить векторно-матричную модель колебательного звена,
11 1 1
aa a a a a aa
01020 10
nn n
C .
bb bb
mm
110
2
dy dy
2
ТТyku
2
2
dt
dt
00
.
,
B ,
a
0
0
1
11
В соответствии с ранее изложенным, задаваясь координатами состояния
x
p
yx
1
,
xy
12
,
с учетом скалярного управляющего воздействия
u
u
можно записать следующую систему дифференциальных уравнений второго
порядка в форме Коши:
,
xx
12
или в виде уравнения (1.4), в котором собственная матрица
управлениях
B находятся как
2,
xxTxТ kТ u
221
122
A и матрица при
A
а управляемая переменная
ния
xxx через матрицу выхода
T
12
01
21
2ТТ
yx
связана с алгебраическим вектором состоя-
1
10
C .
,
B
0
2
kТ
,
По аналогии с одноканальным случаем при анализе детерминированных стационарных многомерных систем также применяется аппарат передаточных функций. В случае
u и k-мерного вектора выхода y дифференциальное уравне-
ний
m-мерного вектора управле-
ние (1.4) в операторной форме записи принимает следующий вид:
здесь
d
– оператор дифференцирования,
pdt
p
xAxBu,
откуда
()pxEABu,
1
или окончательно
1
() ()
yCEA BuW u.
p
12
При нулевых начальных условиях ()
p
p
я
я
M
я
передаточной функцией
WCEAB . (1.5)
()
pp
и имеет размерность dim ( )
Wp W p
1
11 1
Wp W p
kkm
W называется матричной
km
W :
() ()
() ()
1
m
Элементы ()
Wp, которые при ij располагаются на главной
ij
диагонали, называются собственными передаточными функциями, а
при соблюдении неравенства ij
они носят название передаточных
функций перекрестных связей.
Так как обратная матрица по определению представляет собой отношение присоединенной (взаимной) матрицы adj( )
к определите-
лю det( )
adj( )
p
то знаменатель det ( )p
1
EA
()
p
EA является собственным оператором (харак-
EA
EA
det( )
p
, (1.6)
теристическим полиномом), отвечающим за свободное движение координат многомерного выхода
Пример 1.2. Получить линеаризованную векторно-матричную модель
двигателя постоянного тока независимого возбуждения (ДПТ НВ) относительно угловой скорости вала
двумерный вектор координат состояния, а в качестве внешних воздействий
принять напряжение
тивления
ний в форме Коши в этом случае задается в следующем виде:
(сигнальное возмущение). Система дифференциальных уравне-
c
u (управление) и приведенный к валу момент сопро-
y .
, образующей совместно с током якоря
i
di R
яя
dt L L L
dc
Ф 11
dt J J J
c
Ф 1
iu
яя
яяя
iM MM
cec
13
,
(),
здесь
я
x
я
я
я
J
Ф const – магнитный поток, создаваемый обмоткой возбуждения;
, RL – активное сопротивление и индуктивность якорной цепи;
я
– кон-
c
структивный коэффициент, зависящий от числа активных проводников и пар
полюсов, а также параллельных ветвей обмотки якоря;
constJ
– суммар-
ный момент инерции ротора и нагрузки, или в более общей форме записи
ax ax bu
111112211
xaxbu
221122
,
,
в результате чего математическую модель ДПТ НВ в пространстве состояний
можно представить как
xAxBu
где
colon ( ) colon ( )ixxx – двумерный вектор состояния;
colon ( ) colon ( )uM uuu – двумерный вектор внешних воздействий;
c12
12
Cx
,
,y
y – выходная скалярная переменная;
R
aa
11 12
A
a
21
b
1
B
0
LL
0
Ф
c
J
1
0
L
я
b
2
0
Ф
c
я
я
;
0
0
;
1
001cC .
2
14
В свою очередь,
я
яяя
я
J
()pW включает в себя обратную матрицу 1()pEA ,
определяемую по формуле (1.6), исходная которой находится как
()
p
EA
а ее определитель
det ( )
p
0
()
p
ppapaa
EA ,
det ( )
ppp
11
TT TT
мя мя
11 12 11 12
p
EA
pa a
11 12
ap
21
EA
2
мя м
0
aap
21 21
R
я
p
LL
Ф
c
J
R
2
я
LJL
яя
1(),TTp T p Dp
aa pa a
0
Ф
c
я
,
p
2
11 12 21
2
( Ф)
c
,
TR
L
– электромагнитная постоянная времени, с;
где
тромеханическая постоянная времени, с;
Tc – элек-
() 1Dp TTp T p – характери-
2
мя м
R
м
( Ф)
2
стический полином.
В итоге с учетом формулы для присоединенной матрицы
pa pa
adj( )
p
EA
apa apa
12 11 21 11
T
21 12
,
15
я
EA
я
M
я
adj( )
p
p
k
дв
ям
1
Ф
ck
c
pp
LTk
Ф 1
p
JT
м
Tk T
я
мдв я
,
здесь
действию
дв
u , 1(B c) ;
сигнальному возмущению
()
p
1
( Ф)k с – коэффициент передачи ДПТ НВ по управляющему воз-
2
( Ф)kRс
– коэффициент передачи ДПТ НВ по
мя
,
(A B c )
c
adj( ) 1
p
EA
1
EA
EA
det ( )
p
1
()
p
EA
21
, получаем
pa
2
papaa
11 12 21
p
TT
мя
k
() 1
Dp
м
Tk T
мдв я
apa
21 11
k
дв
Tk
м
.
p
12
,
Отсюда формула (1.5) применительно к данному ОУ окончательно преобразуется к следующему виду:
1
WCEAB
papaa
1
2
11 12 21
pp
() ( )
c
0,
pa b
2
apa b
21 11 2
12 1
0
0
0
()
pcacpca
W
papaa
() () () ( )pWpWp cbabcpa
W
11 12 2 1 21 2 2 11
1
2
11 12 21
221 2 211
1
2
papaa
11 12 21
b
1
0
,
b
2
16
,
где
M
я
(), ()WpWp – скалярные передаточные функции
11 12
cba
()
Wp
11
2121
2
papaa
11 12 21
,
Wp
12
()
()
bc p a
22 11
2
papaa
11 12 21
.
Таким образом, векторное дифференциальное уравнение, характеризующее динамику изменения во времени угловой скорости вала ДПТ НВ
сительно двумерного вектора внешних входных воздействий
() () ()ypWpWp
JL R
( Ф)
c
1 Ф
c
яя
2
Dp
()
D p JL JL
1
kkTp
дв м я
()
,
11
в котором в качестве элементов
Wu u,
11 12
(1)
Tp
яя
я
(1) ,
() ()Wpu WpM
12 c
()pW выступают передаточные функции
Mp
()
up
я
p
()
c
u, находится как
()
up
я
()
c
вида
1
()
Wp
11
( Ф)
c
22
TTp T p TTp T p
мя м мя м
11
k
дв
,
отно-
Wp
()
12
RTp kTp
яя мя
22 2
cTTpTp TTpTp
( Ф)1 1
мя м мя м
1(1)
.
1.2. Виды ограничений области
допустимых состояний и управлений
Одним из необходимых условий синтеза законов управления техническими ОУ является учет имеющихся в реальной системе различного рода ограничений таких, как, например, по мощности источника,
17
механической прочности узлов, коммутационных явлений и т. д.
Предполагается, что в пространстве соответствующей размерности,
образуемом элементами вектора
x или u , имеется некоторая замкну-
тая область и все рабочие значения координат располагаются внутри
ее или на ее границе
x
x
,
u
.
u
Область допустимых управлений
, которая находится в ведении
u
разработчика, может иметь различную конфигурацию и часто задается
в виде различного рода неравенств, например, как
uuu
1max 2maxiii
,
или
т. е.
u является отдельным управляющим воздействием, диапазон из-
i
uu,
maxii
менения которого не зависит от текущих значений остальных составляющих
u , в результате чего
представляет собой m-мерный па-
u
раллелепипед. Другим подходом к обеспечению требования ограничения вектора
u – максимальная величина евклидовой нормы, в результате
где
max
чего
стве замкнутая область допустимых управлений при
вид прямоугольника со сторонами
u является применение неравенства
Т 2
uuu , (1.7)
образует m-мерный шар. Например, в двумерном простран-
u
m
uu
i
1
i
2,u
1max
max
uu
2u , а при использова-
2max
maxii
имеет
нии выражения (1.7)
22 2
12max
18
0uuu
u
2
u
max2
u
max
u
u
1
u
max1
u
max2
u
max1
Рис. 1.2. Области допустимых управлений при двумерном векторе
ных способах ограничения
задается в форме окружности радиусом
u
u и различ-
u . Как видно из
max
рис. 1.2, в последнем случае более полно используется ресурс управления (выделенная серым цветом область), причем максимальное зна-
чение амплитуды
u при обоих подходах является одинаковым.
max
1.3. Инвариантность линейных непрерывных САУ
при комбинированном управлении
Практическое применение принципа Жана Виктора Понселе (JeanVictor Poncelet, 1788–1867) или комбинированного управления при по-
строении САУ позволяет полностью или частично до желаемой вели-
чины
на выходную координату
вариантности
парировать негативное влияние сигнального возмущения f
y , т. е. добиться ее независимости, или ин-
, по отношению к данному внешнему воздействию.
В качестве примера рассмотрим САУ с обратной связью и компенсирующим устройством с передаточной функцией
()Wp, которая изоб-
к
ражена на рис. 1.3.
19
)(кpW
f
f
f
)(3pW
v
)(
)(1pW
)(
)(2pW
y
Рис. 1.3. Структурная схема САУ с управлением
по отклонению и возмущению
)(3pW
)(кpW
)(
)(
Рис. 1.4. Структурная схема одномерной САУ по возмущающему
воздействию
)(1pW
)(2pW
Передаточную функцию системы в замкнутом состоянии относительно входа
(рис. 1.4) получают на основании следующего диффе-
ренциального уравнения в операторной форме записи:
() () () ()Wpf yWpfWpWp y
3 к 12
1()() ()() ()()WpW p y W pWp W pWp f,
12 2 3 к 1
,
y
откуда
Wp
f
1()()
WpW p
12
,
() () () ()
Wp WpWpWp
3 к 12
()
в результате чего инвариантность САУ будет иметь место при выполнении следующего равенства:
1
() () ()Wp WpW p
.
к 31
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]