Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Теория управления особыми линейными и нелинейными непрерывными системами. Учебное пособие
.pdf
Таким образом, как видно из представленного выше примера,
x
s
преднамеренное использование скользящего режима позволяет обеспечить устойчивость системы с линейным ОУ и «правыми» корнями, а
также инвариантность САУ относительно действия внешних и внут-
ренних возмущений, так как динамика выходной координаты
на
1
участке 0s описывается уравнением
kt
xCe
1
1
,
где C – постоянная интегрирования, и не зависит от параметров ОУ
a и 2a . При этом в практических приложения технические устрой-
1
ства, участвующие в реализации алгоритма управления вида (6.1), всегда обладают различного рода запаздываниями, гистерезисом или
инерционностью, в результате чего частота переключения управляющего воздействия u будет конечной и возникнет реальный скользящий
режим.
6.2. Анализ движений САУ в скользящем режиме
Проанализируем поведение фазовых траекторий в n-мерном пространстве состояний произвольной релейной системы с аддитивным
вхождением скалярного управления (рис. 6.2), математическая модель
которой задается в виде (3.3)
(,) (,)ttu
xax bx, (6.3)
а разрывное управляющее воздействие формируется в соответствии со
следующим законом:
здесь ()
x – непрерывная функция, описывающая гиперповерхность
переключения
uu s
S размерностью 1n
sign ( )
x
m
, или в частном случае гипер-
, (6.4)
плоскость
1
n
() 0
sx kx
x . (6.5)
nii
1
i
121
),( txa
s
u
u
m
u
m
),( txb
x
x
)(x
Рис. 6.2. Укрупненная структурная схема релейной
САУ
Как было рассмотрено ранее в главе 4, при помощи линий переключения представляется возможным разбить фазовую плоскость на
листы с различными темпами и формами движений изображающей
точки, конкретный вид которых зависит от текущих значений выхода
статической кусочно-линейной характеристики. По аналогии с данным
методом анализа в момент времени
венство
() 0s
и происходит дискретное по уровню изменение состояния «идеального
двухпозиционного реле» с
пространство на две области с постоянством знака управления
n
Rs
() 0
x
n
Rs
и
() 0
x
t , при котором выполняется ра-
*
x ,
u на mu , разделим все n-мерное
m
:
uR
при ,
m
u
uR
при ,
m
n
x
n
x
с учетом чего правая часть исходного дифференциального уравнения
(6.3) преобразуется к виду
ax bx x
(,) (,)при ,
tu t R
fx
(,)
t
ax bx x
(,) (,)при .
m
tu t R
m
122
n
n
Далее рассмотрим начальный этап пересечения фазовой траекто-
R
R
R
R
s
R
t
рии гиперповерхности S в момент времени
(,)t
санная выше вектор-функция
fx
направлена в другую сторону
, при котором опи-
*
знакопостоянства u . В этом случае при переходе изображающей точки
n
n
в
из
становится справедливым неравенство
или по аналогии при
n
Rs
nn
Rs
() 0
x , ( ) 0sx
R
n
() 0
x , ( ) 0s x
,
,
откуда
()() 0ss
В свою очередь, в момент времени
(,)t
функция
а при
fx удаляется от ()
n
Rs
nn
R
n
Rs
xx.
t и
*
x , то
() 0
x , ( ) 0s
() 0
x , ( ) 0s x
x
nn
R
, когда вектор-
,
,
в результате чего окончательно получаем
()() 0ss xx
т. е. фазовая траектория не возвращается обратно на участок () 0s
,
x .
Таким образом, необходимое и достаточное условие существования
скользящего режима заключается в выполнении неравенства
()() 0ss
Из уравнения (6.4) следует, что конкретный вид
xx.
u при () 0s
x не-
известен, и поэтому возникает задача доопределения. Для нахождения
123
закона движения САУ в скользящем режиме воспользуемся равен-
x
ством
() ()
ds ds
() (,) (,)
sttu
xxaxbx
xx
dd
xx
n
s
i
atbtu
x
i
1
eq
(,) (,) 0,
xx
iieq
на основании которого усредненное значение управляющего воздействия
u в течение бесконечно малого периода переключения релей-
eq
ного элемента находится как
n
s
(,)
x
at
u
eq
i
i
1
n
1
i
x
i
s
bt
i
x
i
(,)
x
,
или после его использования в исходной модели (6.3)
n
s
(,)
x
at
(,) (,)
xax bx
tt
i
i
1
n
1
i
x
i
s
bt
i
x
i
. (6.6)
(,)
x
В результате при выполнении подстановки в (6.6) координаты состояния
, выраженной из (6.5), представляется возможным получить
n
дифференциальное уравнение движения изображающей точки на
n
участке скольжения 1
порядка.
6.3. Релейная САУ угловым положением
вала ДПТ НВ
В качестве практической иллюстрации описанного выше режима
работы нелинейной системы рассмотрим позиционную САУ с релейным регулятором, предназначенную для отработки скачкообразного
124
сигнального возмущения или ненулевых начальных условий по угло-
я
вому положению вала ДПТ НВ при Ф const и const
J
(см. пример 1.2). При общепринятых допущениях и питании обмотки якоря от
безынерционного источника тока математическая модель электромеханических процессов имеет следующий вид (рис. 6.3):
d
d
,
dt
11
dt J t J t
Ф () Ф sign ( ) ,
ci Mt ic Mt
() ()
я cc
m
где – угловое положение вала ДПТ НВ; k
– коэффициент передачи
канала безынерционной отрицательной обратной связи по углу поворота; k
– ошибка регулирования;
принимающий дискретные значения
)(
0v
i
)(
i
m
я
i
m
Фc
i
m
)(
k
i
– ток якорной цепи,
.
)(ctM
1
ptJ )(
1
p
Рис. 6.3. Структурная схема релейной САУ угловым положением
Далее в рамках метода пространства состояний примем в качестве
первой (выход) и второй (производная выхода) координаты состояния
угловые положение и скорость вала соответственно, в результате чего
с учетом
x и 2x получаем
1
dx
1
xa
dt
21
dx
2
at bti s
() () sign ( ),
dt
2
(),
x
(6.7)
m
x
125
1
s
() , () () ()axatJtMt
здесь
состоянию;
по управлению; ( )
x
122 c
() Ф ()bt c J t
x – поверхность переключения управлений, кото-
1
– элемент второй строки вектор-функции
– элементы вектор-функции по
рая в данном случае имеет вид прямой и в соответствии с (6.5) находится как
21211
,
0xkxxkx
на основании чего систему (6.7) в развернутой векторно-матричной
форме вида (6.3) можно представить как (рис. 6.4)
xa
где
– скалярное управляющее воздействие вида (6.4)
u
11
xat
22
sign ( )
()
x
()
ui s
x . (6.8)
m
0
bt
()
,
u
)(2ta
0v
)(
Рис. 6.4. Структурная схема позиционной электромеханической
системы постоянного тока в пространстве состояний
u
1
1
)(tb
d
dt
x
2
k
1
x
2
x
1
Для определения закона движения координат вектора
() ( )txxx в скользящем режиме воспользуемся формулой (6.6),
12
T
предварительно определив
xkx
()
ds
x
dd
211
xx
126
1
k
,
1
откуда
xkx
x
x
xa a
11 1
22 11
xx
() ()
() ( )
0
btxat ka
() ()
ka a t
x
11 2
()
bt
.
x
В итоге с учетом того, что при нахождении изображающей точки системы на прямой () 0s
x выполняется равенство
,
211
то в соответствии с вышеизложенным становится справедливым
() ,
axkx
т. е. в скользящем режиме временная зависимость
x
11 2 11
x
() ,
ka kx
211 12
x описывается
1
однородным дифференциальным уравнением первого порядка, которое
не зависит от параметров ОУ.
Далее на основании метода фазовой плоскости, базовые положения
которого изложены в главе 4, рассмотрим условия выхода позиционной САУ на участок скольжения. В целях упрощения последующего
анализа пренебрегаем сигнальным возмущением
чего
() 0at , и исходная векторно-матричная модель (6.7) с учетом
2
()Mt , вследствие
c
разрывного закона управления (6.8) преобразуется к виду
dx
1
x
,
dx
2
dt
2
bt i x kx
() sign( ),
dt
m
211
откуда дифференциальное уравнение фазовых траекторий (4.11)
dx
dx x
В зависимости от знака аргумента функции
уравнения (6.9) принимает значения
bt
2
12
()
ixkx
sign ( )
m
127
211
()
ibtx
m
. (6.9)
sign
1
, в результате чего
2
правая часть
двумерное пространство можно разбить на две области знакопостоян-
x
x
x
s
x
x
ства управлений, в которых динамические свойства электромеханической системы на базе ДПТ НВ при () 0s
x подчиняются следующим
уравнениям:
dx
где
C – постоянная интегрирования, зависящая от ненулевых началь-
1
2
dx x
12
dx i b t dx
22 1
2
,
211
ных условий, или по аналогии для участка () 0s
dx
dx x
2
212
()
bt
m
()
bt
i
m
()
i
m
.
,
2()
ibtx C
m
2
,
12
2()
ibtx C
m
,
x
Как нетрудно заметить, последние аналитические зависимости являются параболами с вершинами в функции
касательная к фазовой траектории совпадает с прямой ()
C и 2C (рис. 6.5). Если
1
x , то стано-
вится справедливым условие
dx
2
k
dx
1
,
1
откуда с учетом правой части уравнения (6.9) окончательно получаем
формулы для крайних точек отрезка скольжения АВ:
1
()
kibt
,
2A 1
m
2B 1
интервал которого тем шире, чем больше величина
1
kibt
,
()
m
()
ibt
m
и меньше
«глубина» влияния цепи отрицательной обратной связи по выходу
x .
1
128
x
s
x
x
)(
2
0xs
A
·
x
1
B
·
0
xs
Рис. 6.5. Фазовый портрет релейной САУ
Для параметрической стабилизации амплитуды и частоты переключений
u в малой окрестности ()
x (техническая регуляризация
скользящего режима), которые в пределе стремятся к нулю и беско-
нечности соответственно, можно воспользоваться петлей гистерезиса в
«идеальном двухпозиционном реле» или сформировать сигнал ошиб-
в функции текущих оценок координат состояния
ки
чаемых на выходе дифференцирующего фильтра второго порядка,
изображенного на рис. 6.6.
xkx
112
ˆ
ˆ
и
1
, полу-
2
ˆ
x
x
1
)(
2
T
ф
2 T
1
p
фф
1
p
1
ˆ
x
2
Рис. 6.6. Структурная схема дифференцирующего фильтра
второго порядка
Включение в канал отрицательной обратной связи непрерывной
САУ колебательного звена увеличивает порядок ее линейной части до
четырех, вследствие чего для ее анализа нельзя применять фазовую
плоскость. По этой причине, принимая на начальном этапе допущение
129
о выполнении гипотезы фильтра низких частот (см. раздел 5.1), заме-
ним в соответствии с формулой (5.4) релейный элемент коэффициентом гармонической линеаризации
4
()
ci – дискретное значение выхода типовой статической нели-
где
нейности «идеальное двухпозиционное реле».
m
qAA
c
,
0v
)(
ф
Рис. 6.7. Линеаризованная структурная схема САУ по-
ложением ДПТ НВ с дифференцирующим фильтром
второго порядка в канале отрицательной обратной связи
В силу однозначности данной нелинейной характеристики параметры автоколебаний определим на основании метода Е.П. Попова в
соответствии с системой уравнений (5.8), которая с учетом изображенной на рис. 6.7 структуры включает в себя следующие составляющие:
() ()
и находится как
PT ,
Pkbt
() 1
D
TbtkbtT
() .
qA
G
22 3 3
ф aa 1фф a
1
22 2
ф aa
1()()2 0,
4
i
m
Akbt
а 1
u
Aq
22
,
Qbt ,
G
22 2
T
ф aa
)(ptb
2
kp
1
12
pTpT
фф
() ()
() 2
QT
D
1
()
a
фф a
x
1
3
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]